1. Vinklar och trianglar
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 5
1.
Vinklar och trianglar
Lektionen fokuserar på geometri, särskilt trianglar och deras vinklar. Den förklarar olika typer av trianglar, såsom rätvinkliga, liksidiga och likbenta trianglar, och hur man kan använda Pythagoras sats för att beräkna sidorna. Sidan innehåller också information om hur man räknar ut vinklar i trianglar, inklusive användningen av olika geometriska tecken och symboler. Dessutom förklaras begrepp som hypotenusa, kateter och vinkelsumma. Det finns exempel och illustrationer som hjälper till att förstå dessa koncept.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 11 sidor teori |
| | 33 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Vinklar och trianglar
Sida av 11
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Vinkel
- Vinkeltyper
- Triangel
- Pythagoras sats
- Notation inom geometri
Förkunskaper
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Vinkel
En vinkel är en plan figur som bildas av två strålar som har samma startpunkt. Denna gemensamma punkt kallas för vinkelspetsen och strålarna är vinkelben.
Det finns olika sätt att beteckna en vinkel och ofta använder man symbolen ∧
framför namnet. Ett sätt att namnge en vinkel är att använda punkten som utgör vinkelspetsen. Ett annat sätt är att använda alla tre punkter som används för att beskriva vinkeln. I detta fall skrivs punkten som utgör vinkelspetsen alltid i mitten av namnet, men däremot används inte alltid symbolen ∧. Utöver dessa sätt så kan vinklar ibland namnges med gemena latinska och grekiska.
| Notation | |
|---|---|
| Vinkelspets | ∧ B |
| Vinkelspets och en punkt på varje stråle | ∧ ABC eller ∧ CBA |
| Vinkelspets och en punkt på varje stråle, utan ∧ | ABC eller CBA |
| Grekiska bokstäver | T.ex. ∧ α eller ∧ β eller ∧ θ |
Ibland används symbolen ∠
i stället för ∧ för att beteckna vinklar. Värdet av en vinkel är antalet grader mellan vinkelbenen. Det kan mätas med hjälp av en gradskiva.
Insida och utsida av en vinkel
En vinkel kan dela in ett plan i två delar.
- Området mellan vinkelbenen, eller vinkels
insida
. - Området utanför vinkelbenen, eller vinkels
utsida
.
Dessa områden kan undersökas i följande applikation.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Vinkeltyper
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Hur stora är vinklarna?
Bestäm vinklarnas storlek.
{"type":"text","form":{"type":"list","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false,"ordermatters":false,"numinput":3,"listEditable":false,"hideNoSolution":true},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["40","60","80"]}}
Ledtråd
Vinklarna bildar tillsammans en rak vinkel.
Lösning
Vinklarna bildar tillsammans en rak vinkel, så summan av dem är 180^(∘). Det betyder att 6x+8x+4x=180^(∘).
x är alltså lika med 10^(∘). Det använder vi för att bestämma vinklarna.
| Vinkel | Uttryck | Beräkning | = |
|---|---|---|---|
| Grön | 6x | 6* 10^(∘) | 60^(∘) |
| Blå | 8x | 8* 10^(∘) | 80^(∘) |
| Röd | 4x | 4* 10^(∘) | 40^(∘) |
Vinklarnas storlek är alltså 60^(∘), 80^(∘) och 40^(∘).
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Triangel
En triangel är en polygon med tre vinklar och tre sidor. Symbolen △
används för att skriva namnet på en triangel. Bredvid denna symbol skrivs triangelns tre hörn i vilken ordning som helst. Till exempel kan en triangel med hörn A, B och C skrivas som både △ ABC och △ BCA.
Trianglar kan delas in i kategorier baserat på antingen deras sidlängder eller deras vinklar.
I följande tabell finns alla olika typer av trianglar, indelade i olika grupper baserat på om de har att göra med triangelns vinklar eller sidlängder.
| Typer av trianglar | |
|---|---|
| Vinklar | Sidlängder |
| Spetsvinklig triangel | Likbent triangel |
| Rätvinklig triangel | Liksidig triangel |
| Trubbvinklig triangel | |
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Vad är höjden i en triangel?
Markera höjden h i triangeln △ ABC när basen utgörs av sidan AB, AC respektive BC.
Svar
Graf:
Ledtråd
En triangels höjd är ett linjesegment mellan en av triangelns hörn och dess motsatta sida, som bildar en rät vinkel med den motsatta sidan.
Lösning
En triangels höjd är ett linjesegment mellan en av triangelns hörn och dess motsatta sida, som bildar en rät vinkel med den motsatta sidan. Vi går igenom fallen ett i taget.
Basen är AB
Vi drar höjden från C vinkelrät mot basen AB som i nedanstående figur.
Basen är AC
I det här fallet måste basen AC förlängas utanför triangeln först. Så om AC utgör bas mäts höjden till B utanför triangeln som i figuren nedan.
Basen är BC
På samma sätt som när AC var basen måste basen BC utökas. Sedan dras höjden från A.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Hur stor är tredje vinkeln i triangeln?
Vad är vinkeln vid hörn C?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"C=","formTextAfter":"^(∘)","answer":{"text":["34"]}}
Ledtråd
Summan av måtten på vinklarna i en triangel är alltid lika med 180^(∘).
Lösning
Vinkel A är 56^(∘) och vinkeln B är rät, det vill säga 90^(∘). Summan av vinklarna A, B och C ska vara lika med vinkelsumman för en triangel: 180^(∘). Detta bildar en ekvation, som man kan lösa med t.ex. balansmetoden.
56^(∘)+90^(∘)+C=180^(∘)
SimpTerms
Förenkla termerna
146^(∘)+C=180^(∘)
SubEqn
VL-146^(∘)=HL-146^(∘)
C=34^(∘)
Vinkeln vid hörn C är alltså 34^(∘).
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Pythagoras sats
För rätvinkliga trianglar är hypotenusan i kvadrat lika med summan av kvadraterna på kateterna.
Satsen kan användas för att hitta längden på den tredje sidan när två sidlängder är kända.
Bevis
AnvändningBörja med att rita fyra kongruenta rätvinkliga trianglar med kateterna a och b, och hypotenusan c. Dessa trianglar kan arrangeras för att bilda två kvadrater, med en kvadrat inuti den andra.
Observera att sidlängderna på den yttre kvadraten är lika med a+b. Dessutom är sidlängderna på den inre kvadraten lika med c. Arean för båda kvadraterna och arean för de fyra trianglarna är följande.
| Area för den inre kvadraten | Area för den yttre kvadraten | Area för de fyra trianglarna |
|---|---|---|
| c^2 | (a+b)^2 | 4* ab/2 = 2ab |
Arean för den yttre kvadraten är lika med summan av arean för den inre kvadraten och arean för de fyra trianglarna. Det visar den tidigare figuren. (a+b)^2=c^2+2ab Denna ekvation kan förenklas genom att utveckla det algebraiska uttrycket på vänstra sidan.
(a+b)^2=c^2+2ab
PowToProdTwoFac
a^2=a* a
(a+b)(a+b)=c^2+2ab
Distr
Multiplicera in (a+b)
(a+b)a+(a+b)b = c^2+2ab
Distr
Multiplicera in a & b
a^2 + ab + ab + b^2 = c^2+2ab
AddTerms
Addera termerna
a^2+2ab+b^2=c^2+2ab
SubEqn
VL-2ab=HL-2ab
a^2+b^2=c^2 ✓
Extra
Lite om PythagorasDenna sats är uppkallad efter den grekiska filosofen och matematikern Pythagoras, som levde på 500-talet f.Kr. Pythagoras anses vara en av de första matematikerna som använde irrationella tal i sina beräkningar. Dessutom studerade han perfekta kroppar, perfekta tal och polygontal, bland andra ämnen. Här är definitionen av perfekta tal tillsammans med några exempel.
Pythagoras tillskrivs också andra upptäckter och bidrag till astronomi och filosofi. Med allt detta, fundera över detta roliga faktum: Det finns inga böcker eller anteckningar skrivna av Pythagoras själv!
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Bestäm okänd sida i en rätvinklig triangel
Bestäm den okända sidan i triangeln.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":"cm","answer":{"text":["13"]}}
Ledtråd
Använd Pythagoras sats.
Lösning
Vi har fått längderna för de två katetrarna i triangeln, alltså a och b i Pythagoras sats:
a^2 + b^2 = c^2.
Den okända sidan, x, är hypotenusan och betecknas av c i satsen. Vi sätter in de kända sidorna och löser ut x.
a^2+b^2=c^2
SubstituteExpressions
Sätt in uttryck
5^2+12^2=x^2
CalcPow
Beräkna potens
25+144=x^2
AddTerms
Addera termerna
169=x^2
RearrangeEqn
Omarrangera ekvation
x^2=169
SqrtEqn
sqrt(VL)=sqrt(HL)
x=± sqrt(169)
CalcRoot
Beräkna rot
x=± 13
x > 0
x= 13
Hypotenusan x är alltså 13cm lång. Vi fick ett negativt resultat också, men eftersom det är en längd vi är ute efter måste den vara positiv.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Är triangeln rätvinklig?
Triangeln nedan har sidlängderna 33cm, 55cm och 65cm. Är den rätvinklig?
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
Ledtråd
Använd Pythagoras sats för att avgöra om triangeln är en rätvinklig triangel.
Lösning
En av vinklarna i figuren ser ut att vara 90^(∘), men det är omöjligt att veta säkert utan beräkningar. Pythagoras sats gäller bara för rätvinkliga trianglar, vilket innebär att man kan använda den för att avgöra om en triangel är rätvinklig eller ej.
a^2 + b^2 = c^2
Sätter vi in sidlängderna i föregående formel, där a och b är de två kortare sidorna 33cm och 55cm och c är den längsta sidan 65cm, kommer likheten bara att gälla om triangeln är rätvinklig.
a^2+b^2=c^2
SubstituteValues
Sätt in värden
33^2+55^2\stackrel ? = 65^2
CalcPow
Beräkna potens
1\,089 + 3\,025 \stackrel ?= 4\,225
AddTerms
Addera termerna
4 114 ≠ 4 225
Likheten stämmer inte, vilket innebär att triangeln inte är rätvinklig.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Notation inom geometri
Geometri innehåller en hel del speciella tecken och symboler som är bra att känna till.
Notation
Trianglar: △En triangel kan betecknas med symbolen △ följt av bokstäverna vid dess hörn. Triangeln nedan benämns alltså △ ABC. En viss sida i en triangel kan anges med sidans start- och slutpunkt, t.ex. sidan mellan hörn A och B kallas AB.
Notation
Vinklar: ∧ eller ∠För att namnge en vinkel används tecknet ∧ eller ibland ∠, följt av en bokstav. Exempelvis kan den röda vinkeln i triangeln betecknas ∧ B.
Om en linje dras från ∧ B mot sidan AC delas vinkel B i två mindre vinklar. Nu är det inte längre entydigt vad som är ∧ B. Menar man den blå vinkeln som bildades i figuren nedan kallar man den ∧ ABD: man utgår ifrån hörn A, följer vinkelbenet mot B och sedan till hörn D. På motsvarande sätt kan man kalla hela den röda vinkeln för ∧ ABC och den gröna ∧ DBC.
Notation
Lika stora sidor eller vinklar: |, || eller |||Är två eller fler sidor lika stora kan man markera att de är det med ett streck genom sidornas mittpunkter. Finns det fler sidor som är lika stora markeras dessa med två streck, nästa med tre osv. Samma notation används för att markera vinklar som är lika stora. I figuren är den blå och gröna triangeln likbenta vilket innebär att två sidor och basvinklarna i respektive triangel är lika.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Vinklar och trianglar
Uppgifter
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"^(∘)","answer":{"text":["62"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"^(∘)","answer":{"text":["40"]}}
security
report
code
security
report
code
En triangel har alltid vinkelsumman 180^(∘). Om vi kallar den okända vinkeln för x kan vi alltså ställa upp ekvationen 40^(∘)+78^(∘)+x=180^(∘). Vi löser ut x.
Den okända vinkeln är 62^(∘).
Det kanske ser ut som att två vinklar är okända men så är det inte. En av dem är rät, dvs. 90^(∘). Om vi kallar den okända vinkeln för x kan vi därför ställa upp ekvationen
90^(∘)+50^(∘)+x=180^(∘).
Vi löser ut x.
Den okända vinkeln är 40^(∘).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":"le.","answer":{"text":["10"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":"le.","answer":{"text":["12"]}}
security
report
code
security
report
code
Eftersom triangeln är rätvinklig gäller Pythagoras sats: a^2 + b^2 = c^2. Sidan c är triangelns hypotenusa, dvs. den längsta sidan. I det här fallet är den sidan x, medan kateterna är 6 och 8 le. Vi sätter in värdena i ekvationen och löser ut x.
Ekvationen har två lösningar, men x är en sidlängd och måste ha ett positivt värde. Den negativa lösningen, x=-10, är inte intressant, och då vet vi att x=10 le.
Här är hypotenusan 13 le. Det är alltid den sida som står mittemot den räta vinkeln. Om c=13 le. måste a och b vara x och 5 le, men vilken som är vilken av de två spelar ingen roll.
Återigen får ekvationen två lösningar, men en sidlängd kan inte vara negativ. Därför måste x vara 12 le.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Bestäm vinkeln v.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"v=","formTextAfter":"^(∘)","answer":{"text":["122"]}}
security
report
code
security
report
code
I en triangel är vinkelsumman alltid 180^(∘). Det betyder att den okända gröna vinkeln i triangeln är 180^(∘)-65^(∘)-57^(∘)=58^(∘). Tillsammans med vinkeln v bildar den en rak vinkel.
Det betyder att summan av dem är 180^(∘): v+58^(∘)=180^(∘) ⇔ v=122^(∘). v är alltså lika med 122^(∘).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Bestäm vinkeln v.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"v=","formTextAfter":"^(∘)","answer":{"text":["36"]}}
security
report
code
security
report
code
Den totala vinkeln är rak, dvs. 180^(∘). Om vi summerar alla vinklar i figuren ska det alltså bli 180^(∘).
Vinkeln v är alltså 36^(∘).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"^(∘)","answer":{"text":["74"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"^(∘)","answer":{"text":["90"]}}
{"type":"choice","form":{"alts":["\u25b3 ABC","\u25b3 CMD"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
security
report
code
security
report
code
Tecknet ∧ står för vinkel. Om vi går från punkt A till M och vidare till C bildas den blå ∧ AMC som alltså är 74 ^(∘).
Vinkel ABD bildas i övre högra hörnet. Eftersom vi vet att ABCD är en rektangel är alla hörn 90 ^(∘), alltså är ∧ ABD=90 ^(∘).
Genom att markera trianglarna ser vi att △ ABC (blå) är större än △ CMD (röd), eftersom den blå består av △ ABM, som är lika stor som den röda △ CMD plus arean av △ ACM. Alltså har △ ABC större area.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Parkeringsplatsen är 30m bred och 60m lång. Dogge står vid ena hörnet och ska till det motsatta. Hur lång är den kortaste vägen dit? Svara i hela meter.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"ca","formTextAfter":"m","answer":{"text":["67"]}}
security
report
code
security
report
code
Om Dogge går längs parkeringsplatsens sidor går han först 30m och sedan 60m, dvs. totalt 90m till det motsatta hörnet. Det borde bli kortare att istället gå tvärs över, längs den streckade diagonalen nedan.
Vi ser att vägen Dogge går utgör hypotenusan i en triangel med kateterna 30 och 60. Då kan vi beräkna sidan x med hjälp av Pythagoras sats.
Vi förkastade den negativa lösningen eftersom en sträcka alltid är positiv. Går Dogge tvärs över parkeringsplatsen är det ca 67m till det motsatta hörnet.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
I figuren visas två räta linjer som skär varandra. Bestäm vinkeln x.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":"^(∘)","answer":{"text":["149"]}}
security
report
code
security
report
code
De gröna vinklarna är tillsammans 31^(∘)+31^(∘)=62^(∘). Eftersom ett helt varv är 360 ^(∘) måste resterande 298 ^(∘) fördelas på de övriga två okända vinklarna. Dessa är också lika stora så de blir båda hälften av 298^(∘): 298^(∘)/2=149^(∘). Vinkeln x är alltså 149^(∘).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
En fyrhörning ABCD har delats in i två trianglar.
Vilka av följande alternativ representerar vinkeln vid B?
{"type":"multichoice","form":{"alts":["A. \u2227 ABC","B. \u2227 ADC","C. \u2227 BCD","D. \u2227 C","E. \u2227 B"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[0,4]}
security
report
code
security
report
code
Vi kan exempelvis markera vinkeln som ∧ B. Eftersom hörnet endast består av en vinkel är betydelsen av ∧ B entydig.
Vi kan även peka ut vinkeln som ∧ ABC vilket innebär att vi vill peka ut vinkeln i hörn B som ligger mellan hörn A och C Man brukar då ta för givet att vinkeln man menar är den på insidan av figuren.
Alternativ A och E är svaren
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Beräkna vinkeln v.
Nationella provet VT02 MaA
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"v=","formTextAfter":"^(∘)","answer":{"text":["138"]}}
security
report
code
security
report
code
Alla fyrhörningar har en vinkelsumma på 360^(∘) så genom att addera vinklarna och likställa med 360^(∘) kan vi ställa upp en ekvation och lösa ut v. Från figuren ser vi att två av vinklarna är räta, dvs. 90^(∘), och att en tredje vinkel är 42^(∘).
Vinkeln v är alltså 138^(∘).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Vinklar och trianglar
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≤
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll