6. Tolka integraler
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 5
6.
Tolka integraler
Lektionen erbjuder en detaljerad förklaring av integraler och hur de används i olika verkliga situationer. Den primitiva funktionen används för att beräkna integralen, och exempel ges på hur integraler kan användas för att beräkna sträckor, volymer och andra förändringshastigheter. Det finns exempel på hur integraler används för att beräkna vattenflödet i en dusch, sträckan som en löpare springer, och antalet bakterier i en odling. Lektionen förklarar också hur integraler kan användas för att lösa problem när något förändras, som att beräkna sträckan en cyklist färdas under en cykeltur då farten varierar. Integralens enhet och tolkning diskuteras också, och det finns exempel på hur integraler kan användas för att beräkna körsträcka för en bil som ändrar sin hastighet.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 6 sidor teori |
| | 14 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Tolka integraler
Sida av 6
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Integraler som modeller
- Samband mellan sträcka hastighet och acceleration
- Samband mellan derivata och integral
- Lösa problem med integral
Förkunskaper
Förklaring
Dela
Rapportera fel
Integraler som modeller
Integraler kan användas i många verkliga situationer där värden varierar. Det kan handla om att beräkna
- körsträckan för en bil som ändrar sin hastighet,
- area eller volym för föremål med olika bredd på olika ställen,
- energi förbrukad av en lampa med varierande effekt (dvs. en dimmer).
Den vanliga formeln för att beräkna körsträcka är s = vt, där v är bilens fart och t tiden den kör. Men om bilen kör olika fort vid olika tidpunkter bör farten beskrivas som en funktion av tiden, v(t). Då beräknas körsträckan mellan tidpunkterna t_1 och t_2 istället med integralen s = ∫_(t_1)^(t_2) v(t) dt.
Man kan tänka på detta som samma formel s = vt, fast upprepad oändligt många gånger. Under ett oändligt kort tidsintervall dt hinner farten inte ändras. Då är hastigheten v(t) konstant, så bilen färdas sträckan v(t) dt på den tiden. Integralen summerar alla sådana delsträckor mellan t_1 och t_2, och på så sätt beräknas den totala sträckan.Regel
Dela
Rapportera fel
Sträcka, hastighet och acceleration
Sambandet mellan sträcka, hastighet och acceleration är en väldigt vanlig tillämpning av integraler. Derivatan av sträcka är hastighet, och därför är sträcka integralen av hastighet. På samma sätt kan hastighet deriveras till acceleration, vilket innebär att hastighet beräknas som integralen av acceleration.
På samma sätt kan man utvidga den här kopplingen mellan derivata och integral i ett allmänt fall, för någon funktion f(x).
Regel
Dela
Rapportera fel
Enhet för integral
Som hjälp för att tolka en integral i ett verkligt sammanhang kan man använda integralens enhet. Den hittar man genom att multiplicera enheterna på koordinataxlarna.
Regel
Integralens enhet= x-axelns enhet* y-axelns enhetEn bestämd integral kan tolkas som arean under en kurva. En sådan integral kan approximeras med en Riemannsumma, där arean under grafen delats in i staplar. Arean av en stapel är produkten av avståndet i x-led och y-led: Δ x * Δ y. Om man har enheter på x- och y-axeln, kommer integralens enhet därför att vara produkten av dessa. Om enheterna t.ex. är meter per sekund (m/s) och sekund (s) kommer stapelns bredd ha enheten s och stapelns höjd m/s.
Arean, som i det här fallet är integralen, kommer då att få enheten s* ms. Förenklas uttrycket får man enheten meter (m).
Metod
Dela
Rapportera fel
Lösa problem med integraler
Integraler kan användas för att lösa problem när något förändras, t.ex. för att beräkna sträckan en cyklist färdas under en cykeltur då farten varierar. Om cyklistens hastighet under en viss tid beskrivs med funktionen f(t)=0,5t-0,002t^2,
där t är tiden i sekunder efter att cykeln börjar rulla och f(t) är hastigheten i m/s, kan man beräkna sträckan som cyklisten färdas de första 30 sekunderna med en integral.
1
Bestäm integrationsgränser
expand_more Man ska beräkna sträckan under de 30 första sekunderna dvs. på intervallet 0-30 sekunder. Det betyder att integrationsgränserna är 0 och 30.
2
Ställ upp integralen
expand_more Hastighet beskriver en förändring av sträcka. Hastigheten 5.m /s. innebär t.ex. att sträckan ökar med 5 meter varje sekund. Den totala sträckan beräknas därför med integralen av hastigheten. Sträckan under de 30 första sekunderna ges då av ∫_0^(30)(0,5t-0,002t^2) dt.
3
Beräkna integralen
expand_more För att beräkna integralen börjar man med att bestämma en primitiv funktion till f(t).
Nu kan man använda denna primitiva funktion för att beräkna integralen.
Integralens värde är 207.
f(t)=0,5t-0,002t^2
AntiderivativeOne
Bestäm en primitiv funktion
F(t)=D^(-1)(0,5t)-D^(-1)(0,002t^2)
AntideriveXCo
D^(- 1)(ax) = ax^2/2
F(t)=0,5t^2/2-D^(-1)(0,002t^2)
AntideriveMonomCo
D^(- 1)(ax^n)=ax^(n+1)/n+1
F(t)=0,5t^2/2-0,002t^3/3
∫_0^(30)(0,5t-0,002t^2 ) d t
FundCalcArg
∫_a^b f(t) dt=[F(t)]_a^b
[0,5t^2/2-0,002t^3/3]_0^(30)
EnterIntLimitsGen
[F(t)]_0^(30)=F( 30)-F( 0)
0,5* 30^2/2-0,002* 30^3/3-(0,5* 0^2/2-0,002* 0^3/3)
CalcQuotProd
Beräkna kvot & produkt
0,5* 30^2/2-0,002* 30^3/3
CalcPow
Beräkna potens
0,5*900/2-0,002*27 000/3
SimpQuot
Förenkla kvot
0,5*450-0,002*9000
Multiply
Multiplicera faktorer
225-18
SubTerm
Subtrahera term
207
4
Besvara frågan i uppgiften
expand_more Eftersom integralens värde är 207 hinner cyklisten alltså 207 meter under de 30 första sekunderna. Man kan kontrollera att det är en sträcka man har räknat ut. f(t) har enheten m/s och t har enheten s. Det betyder att integralen får enheten m/s* s=m.
Exempel
Dela
Rapportera fel
Ställ upp och beräkna integralen
När Cassandra duschar varierar vattenflödet v(x) liter/min ur duschmunstycket enligt funktionen
v(x)=-0,025x^2+0,25x+12,
där x är antal minuter efter att hon vridit på vattnet. En dag testar hon att sätta i proppen i badkaret innan hon börjar duscha för att se hur mycket varmvatten hon gör av med. Om hon duschar i en kvart, hur många liter vatten bör då finnas i badkaret?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"liter","answer":{"text":["180"]}}
Ledtråd
Ställ upp en integral med den givna flödesfunktionen. Fundera på vilket tidsintervall som ska användas som gränser.
Lösning
Vi vill här summera en volym under en tid, vilket innebär att vi troligen kan lösa problemet med en integral.
Bestäm gränserna
Hon duschar i en kvart, dvs. i 15 minuter. Den undre integrationsgränsen är därför x=0 och den övre är x=15.
Ställ upp integralen
Funktionen v(x) beskriver hur många liter per minut som lämnar munstycket, och vi vill beräkna den totala volymen vatten som Cassandra gör av med. Eftersom flödeshastigheten förändras över tid kan vi integrera v(x) över denna tid för att hitta volymen: ∫_0^(15) (-0,025x^2+0,25x+12 ) dx.
Beräkna integralen
Vi börjar med att bestämma en primitiv funktion till v(x).v(x)=-0,025x^2+0,25x+12
AntiderivativeOne
Bestäm en primitiv funktion
V(x)=D^(- 1)(-0,025x^2)+D^(- 1)(0,25x)+D^(- 1)(12)
AntideriveMonomCo
D^(- 1)(ax^n)=ax^(n+1)/n+1
V(x)=-0,025x^3/3+D^(- 1)(0,25x)+D^(- 1)(12)
AntideriveXCo
D^(- 1)(ax) = ax^2/2
V(x)=-0,025x^3/3+0,25x^2/2+D^(- 1)(12)
AntideriveConst
D^(- 1)(a) = ax
V(x)=-0,025x^3/3+0,25x^2/2+12x
∫_0^(15)-0,025x^2+0,25x+12 d x
FundCalcArg
∫_a^b v(x) dx=[V(x)]_a^b
[-0,025x^3/3+0,25x^2/2+12x]_0^(15)
EnterIntLimitsGen
[V(x)]_0^(15)=V( 15)-V( 0)
-0,025* 15^3/3+0,25* 15^2/2+12* 15-(-0,025* 0^3/3+0,25* 0^2/2+12* 0)
CalcQuotProd
Beräkna kvot & produkt
-0,025*15^3/3+0,25*15^2/2+12*15
UseCalc
Slå in på räknare
180
Besvara frågan i uppgiften
Integralen har värdet 180. Eftersom v(x) har enheten liter/min och x har enheten minuter kommer integralen att få enheten literminuter * minuter = liter. Cassandra gör alltså av med 180liter vatten när hon duschat i 15 minuter. Eftersom ett normalstort badkar rymmer ungefär 150 liter behöver hon dra ur proppen om hon inte vill att badkaret ska svämma över.
Tolka integraler
Uppgift 3.1
Birgit har tillbringat sin semester med att bygga en friggebod, men när det oundvikliga regnet till slut kommer upptäcker hon att det finns ett hål i taket. Under de 3 timmar då det regnar läcker det in vatten i friggeboden enligt funktionen
f(t) = 0,01t^2 .ml /min,.
där t är antalet minuter efter att det börjar regna. Birgit ställer dit en fyralitershink när det börjar regna. När måste hon tömma den? Svara i hela minuter.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"Efter ca","formTextAfter":"minuter","answer":{"text":["106"]}}
security
report
code
security
report
code
Funktionen f(t) beskriver hur många ml vatten som rinner in per minut, så integrerar man den från starttiden t = 0 till tidpunkten t = t_1 får man hur mycket som har läckt in i friggeboden under den tiden. Vi söker den tidpunkt t_1 som ger att hinken är helt fylld. Det är en fyralitershink, så den rymmer 4000ml. Ställer vi upp detta som en ekvation får vi ∫_0^(t_1) f(t) dt = 4 000. Vi vet inte vad t_1 är lika med än, men det går fortfarande att utföra integrationen. Man gör bara som vanligt men sätter in t_1 som den övre integrationsgränsen. För att göra det behöver vi dock först bestämma en primitiv funktion till f(t).
Vi använder nu detta för att förenkla integralen i vår ekvation.
Vi har nu en vanlig potensekvation som vi kan lösa för att bestämma t_1.
Efter ungefär 106 minuter har det alltså kommit in 4 liter vatten i friggeboden och hinken bör tömmas för att inte spilla.
security
report
code
Henrik rullar nedför en backe i en tunna som har diametern 0,6m. När han lägger sig i tunnan står den stilla högst upp på backen. Tunnan accelererar sedan med 1 m/s^2 hela vägen ner. Det tar 5 sekunder för den att rulla ner för backen. Bestäm antalet varv tunnan rullade de sista 3 sekunderna. Avrunda till en decimal.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"Ungef\u00e4r","formTextAfter":"varv","answer":{"text":["5,6"]}}
security
report
code
security
report
code
För att bestämma antalet varv tunnan rullade de sista 3 sekunderna måste vi först beräkna sträckan den färdades under denna tid. Därefter dividerar vi sträckan med tunnans omkrets. För att bestämma sträckan använder vi sambanden mellan acceleration, hastighet och sträcka. Vi vet att tunnans acceleration, som vi kallar a, är 1.m /s^2.. Det kan beskrivas av funktionen a(t)=1, där t är antal sekunder efter att tunnan börjat rulla nedför backen. En primitiv funktion till accelerationen beskriver tunnans hastighet, v(t), och en primitiv funktion till hastigheten beskriver sträckan, s(t), tunnan färdats efter t sekunder. Vi bestämmer dessa i tur och ordning.
Primitiv funktion till a(t)
Konstanten C representerar tunnans hastighet då t=0, och eftersom tunnan var stillastående då så kommer C vara 0. Tunnans hastighet beskrivs alltså av funktionen v(t)=t.
Primitiv funktion till v(t)
Här representerar konstanttermen, E, den sträcka som tunnan färdats då t=0, och eftersom tunnan var stillastående så måste även E vara 0. Funktionen som beskriver sträckan är alltså s(t)= t^22. Nu kan vi bestämma hur långt tunnan rullade de sista 3 sekunderna, och gör det genom att integrera hastighetsfunktionen v(t) från t=2 till t=5, eftersom integralen av hastigheten ger sträckan: ∫_2^5t d t . Vi känner redan till en primitiv funktion till v(t), så vi kan beräkna integralen direkt.
Tunnan färdades 10,5 meter under de 3 sista sekunderna. Antalet varv den snurrade får vi genom att dividera sträckan med tunnans omkrets, vilken fås genom att multiplicera diametern 0,6 med π. Det ger oss 10,5/0,6π=5,57042... ≈ 5,6varv.
security
report
code
En bil som precis kört ut på en motorväg accelererar med 3,5.m /s^2. under 4 sekunder så att den når hastigheten 120.km /h..
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"Cirka","formTextAfter":"km\/h","answer":{"text":["70"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"Cirka","formTextAfter":"meter","answer":{"text":["105"]}}
security
report
code
security
report
code
Om man integrerar en acceleration får man en hastighet. Genom att integrera accelerationen mellan 0 och 4 sekunder kommer vi att få den totala hastighetsförändringen över den tiden. Vi ska alltså beräkna integralen ∫_0^43,5 d t . Vi börjar med att bestämma en primitiv funktion till integranden som vi kan kalla f(t).
Nu använder vi denna primitiva funktion för att beräkna integralen.
Integralens värde är alltså 14. Det betyder att hastigheten ökar med 14.m /s. under accelerationen. Vi vet att sluthastigheten är 120.km /h.. Vi skriver om denna hastighet till m/s istället. Det går 1 000 meter på 1 km och 3 600 sekunder på en timme. Detta innebär att vi kan skriva om 120.km /h. till m/s som nedan. 120 km/h=120 *1 000/3 600 m/s =120/3,6 .m /s.. Vi delar alltså 120.km /h. med 3,6 för att skriva om hastigheten till m/s. Sluthastigheten kan alltså skrivas som 1203,6.m /s. vilket betyder att begynnelsehastigheten är detta minus den totala hastighetsökningen på 14.m /s..
Bilen hade alltså hastigheten 583.m /s. från början. Men vi ska ju svara i km/h. Tidigare dividerade vi med 3,6 för att gå från m/s till km/h så när vi ska gå åt andra hållet ska vi istället multiplicera med 3,6: 58/3* 3,6=69,6 ≈ 70. Bilen hade alltså ungefär hastigheten 70.km /h. när den körde på motorvägen.
För att beräkna en sträcka ska vi integrera hastighetsfunktionen, men den känner vi inte till än. Däremot vet vi att det är en primitiv funktion till accelerationen.
Nu har vi alla primitiva funktioner till accelerationen. För att bestämma den som beskriver hastigheten i just det här fallet behöver vi ett villkor. Vi känner till att begynnelsehastigheten är 583 m/s vilket betyder att F(0)= 583. Vi använder detta för att bestämma C.
Funktionen som beskriver hastigheten är alltså F(t)=3,5t+ 583, och eftersom det är en hastighet väljer vi att kalla den v(t). För att beräkna sträckan ska vi nu integrera hastigheten under de fyra sekunder accelerationen pågår. Accelerationssträckan beräknas därför med ∫_0^4(3,5t+ 583 ) d t . Vi beräknar integralen genom att hitta en primitiv funktion till v(t)=3,5t+ 583.
Ni kan vi använda denna primitiva funktion för att beräkna integralen.
Accelerationssträckan är alltså cirka 105 meter.
security
report
code
Tolka integraler
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
≤
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll