Tolka integraler

Funktionen f(t) beskriver hur många ml vatten som rinner in per minut, så integrerar man den från starttiden t = 0 till tidpunkten t = t_1 får man hur mycket som har läckt in i friggeboden under den tiden. Vi söker den tidpunkt t_1 som ger att hinken är helt fylld. Det är en fyralitershink, så den rymmer 4000 ml. Ställer vi upp detta som en ekvation får vi ∫_0^(t_1) f(t) dt = 4000. Vi vet inte vad t_1 är lika med än, men det går fortfarande att utföra integrationen. Man gör bara som vanligt men sätter in t_1 som den övre integrationsgränsen. För att göra det behöver vi dock först bestämma en primitiv funktion till f(t).

Vi använder nu detta för att förenkla integralen i vår ekvation.

Vi har nu en vanlig potensekvation som vi kan lösa för att bestämma t_1.

Efter ungefär 106 minuter har det alltså kommit in 4 liter vatten i friggeboden och hinken bör tömmas för att inte spilla.

För att bestämma antalet varv tunnan rullade de sista 3 sekunderna måste vi först beräkna sträckan den färdades under denna tid. Därefter dividerar vi sträckan med tunnans omkrets. För att bestämma sträckan använder vi sambanden mellan acceleration, hastighet och sträcka. Vi vet att tunnans acceleration, som vi kallar a, är 1 m/s^2. Det kan beskrivas av funktionen a(t)=1, där t är antal sekunder efter att tunnan börjat rulla nedför backen. En primitiv funktion till accelerationen beskriver tunnans hastighet, v(t), och en primitiv funktion till hastigheten beskriver sträckan, s(t), tunnan färdats efter t sekunder. Vi bestämmer dessa i tur och ordning.

Primitiv funktion till a(t)

Konstanten C representerar tunnans hastighet då t=0, och eftersom tunnan var stillastående då så kommer C vara 0. Tunnans hastighet beskrivs alltså av funktionen v(t)=t.

Primitiv funktion till v(t)

Här representerar konstanttermen, E, den sträcka som tunnan färdats då t=0, och eftersom tunnan var stillastående så måste även E vara 0. Funktionen som beskriver sträckan är alltså s(t)= t^22. Nu kan vi bestämma hur långt tunnan rullade de sista 3 sekunderna, och gör det genom att integrera hastighetsfunktionen v(t) från t=2 till t=5, eftersom integralen av hastigheten ger sträckan: ∫_2^5t d t . Vi känner redan till en primitiv funktion till v(t), så vi kan beräkna integralen direkt.

Tunnan färdades 10.5 meter under de 3 sista sekunderna. Antalet varv den snurrade får vi genom att dividera sträckan med tunnans omkrets, vilken fås genom att multiplicera diametern 0.6 med π. Det ger oss 10.5/0.6π=5.57042... ≈ 5.6varv.

Om man integrerar en acceleration får man en hastighet. Genom att integrera accelerationen mellan 0 och 4 sekunder kommer vi att få den totala hastighetsförändringen över den tiden. Vi ska alltså beräkna integralen ∫_0^43.5 d t . Vi börjar med att bestämma en primitiv funktion till integranden som vi kan kalla f(t).

Nu använder vi denna primitiva funktion för att beräkna integralen.

Integralens värde är alltså 14. Det betyder att hastigheten ökar med 14 m/s under accelerationen. Vi vet att sluthastigheten är 120 km/h. Vi skriver om denna hastighet till m/s istället. Det går 1000 meter på 1 km och 3600 sekunder på en timme. Detta innebär att vi kan skriva om 120 km/h till m/s som nedan. 120 km/h=120 *1000/3600 m/s =120/3.6 m/s. Vi delar alltså 120 km/h med 3.6 för att skriva om hastigheten till m/s. Sluthastigheten kan alltså skrivas som 1203.6 m/s vilket betyder att begynnelsehastigheten är detta minus den totala hastighetsökningen på 14 m/s.

Bilen hade alltså hastigheten 583 m/s från början. Men vi ska ju svara i km/h. Tidigare dividerade vi med 3.6 för att gå från m/s till km/h så när vi ska gå åt andra hållet ska vi istället multiplicera med 3.6: 58/3* 3.6=69.6 ≈ 70. Bilen hade alltså ungefär hastigheten 70 km/h när den körde på motorvägen.

För att beräkna en sträcka ska vi integrera hastighetsfunktionen, men den känner vi inte till än. Däremot vet vi att det är en primitiv funktion till accelerationen.

Nu har vi alla primitiva funktioner till accelerationen. För att bestämma den som beskriver hastigheten i just det här fallet behöver vi ett villkor. Vi känner till att begynnelsehastigheten är 583 m/s vilket betyder att F(0)= 583. Vi använder detta för att bestämma C.

Funktionen som beskriver hastigheten är alltså F(t)=3.5t+ 583, och eftersom det är en hastighet väljer vi att kalla den v(t). För att beräkna sträckan ska vi nu integrera hastigheten under de fyra sekunder accelerationen pågår. Accelerationssträckan beräknas därför med ∫_0^4(3.5t+ 583 ) d t . Vi beräknar integralen genom att hitta en primitiv funktion till v(t)=3.5t+ 583.

Ni kan vi använda denna primitiva funktion för att beräkna integralen.

Accelerationssträckan är alltså cirka 105 meter.