6. Tolka integraler
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 5
6.
Tolka integraler
Lektionen erbjuder en detaljerad förklaring av integraler och hur de används i olika verkliga situationer. Den primitiva funktionen används för att beräkna integralen, och exempel ges på hur integraler kan användas för att beräkna sträckor, volymer och andra förändringshastigheter. Det finns exempel på hur integraler används för att beräkna vattenflödet i en dusch, sträckan som en löpare springer, och antalet bakterier i en odling. Lektionen förklarar också hur integraler kan användas för att lösa problem när något förändras, som att beräkna sträckan en cyklist färdas under en cykeltur då farten varierar. Integralens enhet och tolkning diskuteras också, och det finns exempel på hur integraler kan användas för att beräkna körsträcka för en bil som ändrar sin hastighet.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 5 sidor teori |
| | 14 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Tolka integraler
Sida av 5
Förklaring
Integraler som modeller
Integraler kan användas i många verkliga situationer där värden varierar. Det kan handla om att beräkna
- körsträckan för en bil som ändrar sin hastighet,
- area eller volym för föremål med olika bredd på olika ställen,
- energi förbrukad av en lampa med varierande effekt (dvs. en dimmer).
s=∫t1t2v(t)dt.
Man kan tänka på detta som samma formel s=vt, fast upprepad oändligt många gånger. Under ett oändligt kort tidsintervall dt hinner farten inte ändras. Då är hastigheten v(t) konstant, så bilen färdas sträckan v(t)dt på den tiden. Integralen summerar alla sådana delsträckor mellan t1 och t2, och på så sätt beräknas den totala sträckan.Regel
Sträcka, hastighet och acceleration
Sambandet mellan sträcka, hastighet och acceleration är en väldigt vanlig tillämpning av integraler. Derivatan av sträcka är hastighet, och därför är sträcka integralen av hastighet. På samma sätt kan hastighet deriveras till acceleration, vilket innebär att hastighet beräknas som integralen av acceleration.
På samma sätt kan man utvidga den här kopplingen mellan derivata och integral i ett allmänt fall, för någon funktion f(x).
Regel
Enhet för integral
Som hjälp för att tolka en integral i ett verkligt sammanhang kan man använda integralens enhet. Den hittar man genom att multiplicera enheterna på koordinataxlarna.
Regel
Integralens enhet=x-axelns enhet⋅y-axelns enhetEn bestämd integral kan tolkas som arean under en kurva. En sådan integral kan approximeras med en Riemannsumma, där arean under grafen delats in i staplar. Arean av en stapel är produkten av avståndet i x-led och y-led:
Δx⋅Δy.
Om man har enheter på x- och y-axeln, kommer integralens enhet därför att vara produkten av dessa. Om enheterna t.ex. är meter per sekund (m/s) och sekund (s) kommer stapelns bredd ha enheten s och stapelns höjd m/s. Arean, som i det här fallet är integralen, kommer då att få enheten s⋅sm. Förenklas uttrycket får man enheten meter (m).
Metod
Lösa problem med integraler
Integraler kan användas för att lösa problem när något förändras, t.ex. för att beräkna sträckan en cyklist färdas under en cykeltur då farten varierar. Om cyklistens hastighet under en viss tid beskrivs med funktionen
f(t)=0.5t−0.002t2,
där t är tiden i sekunder efter att cykeln börjar rulla och f(t) är hastigheten i m/s, kan man beräkna sträckan som cyklisten färdas de första 30 sekunderna med en integral.
1
Bestäm integrationsgränser
expand_more Man ska beräkna sträckan under de 30 första sekunderna dvs. på intervallet 0−30 sekunder. Det betyder att integrationsgränserna är 0 och 30.
2
Ställ upp integralen
expand_more Hastighet beskriver en förändring av sträcka. Hastigheten 5 m/s innebär t.ex. att sträckan ökar med 5 meter varje sekund. Den totala sträckan beräknas därför med integralen av hastigheten. Sträckan under de 30 första sekunderna ges då av
∫030(0.5t−0.002t2)dt.
3
Beräkna integralen
expand_more För att beräkna integralen börjar man med att bestämma en primitiv funktion till f(t).
Nu kan man använda denna primitiva funktion för att beräkna integralen.
Integralens värde är 207.
f(t)=0.5t−0.002t2
AntiderivativeOne
Bestäm en primitiv funktion
F(t)=D−1(0.5t)−D−1(0.002t2)
AntideriveXCo
D-1(ax)=2ax2
F(t)=20.5t2−D−1(0.002t2)
AntideriveMonomCo
D-1(axn)=n+1axn+1
F(t)=20.5t2−30.002t3
∫030(0.5t−0.002t2)dt
FundCalcArg
∫abf(t)dt=[F(t)]ab
[20.5t2−30.002t3]030
EnterIntLimitsGen
[F(t)]030=F(30)−F(0)
20.5⋅302−30.002⋅303−(20.5⋅02−30.002⋅03)
CalcQuotProd
Beräkna kvot & produkt
20.5⋅302−30.002⋅303
CalcPow
Beräkna potens
20.5⋅900−30.002⋅27000
SimpQuot
Förenkla kvot
0.5⋅450−0.002⋅9000
Multiply
Multiplicera faktorer
225−18
SubTerm
Subtrahera term
207
4
Besvara frågan i uppgiften
expand_more Eftersom integralens värde är 207 hinner cyklisten alltså
207 meter
under de 30 första sekunderna. Man kan kontrollera att det är en sträcka man har räknat ut. f(t) har enheten m/s och t har enheten s. Det betyder att integralen får enheten sm⋅s=m.
Exempel
Ställ upp och beräkna integralen
v(x)=−0.025x2+0.25x+12,
där x är antal minuter efter att hon vridit på vattnet. En dag testar hon att sätta i proppen i badkaret innan hon börjar duscha för att se hur mycket varmvatten hon gör av med. Om hon duschar i en kvart, hur många liter vatten bör då finnas i badkaret? Visa Lösning expand_more
Vi vill här summera en volym under en tid, vilket innebär att vi troligen kan lösa problemet med en integral.
Bestäm gränserna
Hon duschar i en kvart, dvs. i 15 minuter. Den undre integrationsgränsen är därför x=0 och den övre är x=15.
Ställ upp integralen
Funktionen v(x) beskriver hur många liter per minut som lämnar munstycket, och vi vill beräkna den totala volymen vatten som Cassandra gör av med. Eftersom flödeshastigheten förändras över tid kan vi integrera v(x) över denna tid för att hitta volymen:∫015(−0.025x2+0.25x+12)dx.
Beräkna integralen
Vi börjar med att bestämma en primitiv funktion till v(x).v(x)=−0.025x2+0.25x+12
AntiderivativeOne
Bestäm en primitiv funktion
V(x)=D-1(−0.025x2)+D-1(0.25x)+D-1(12)
AntideriveMonomCo
D-1(axn)=n+1axn+1
V(x)=3−0.025x3+D-1(0.25x)+D-1(12)
AntideriveXCo
D-1(ax)=2ax2
V(x)=3−0.025x3+20.25x2+D-1(12)
AntideriveConst
D-1(a)=ax
V(x)=3−0.025x3+20.25x2+12x
∫015−0.025x2+0.25x+12dx
FundCalcArg
∫abv(x)dx=[V(x)]ab
[3−0.025x3+20.25x2+12x]015
EnterIntLimitsGen
[V(x)]015=V(15)−V(0)
3−0.025⋅153+20.25⋅152+12⋅15−(3−0.025⋅03+20.25⋅02+12⋅0)
CalcQuotProd
Beräkna kvot & produkt
3−0.025⋅153+20.25⋅152+12⋅15
UseCalc
Slå in på räknare
180
Besvara frågan i uppgiften
Integralen har värdet 180. Eftersom v(x) har enheten liter/min och x har enheten minuter kommer integralen att få enheten minuterliter⋅minuter=liter. Cassandra gör alltså av med180 liter
vatten när hon duschat i 15 minuter. Eftersom ett normalstort badkar rymmer ungefär 150 liter behöver hon dra ur proppen om hon inte vill att badkaret ska svämma över. Tolka integraler
Övningar
Temperaturen på en spisplatta förändras med T′(x) ∘C/minut, där x är antal minuter efter plattan slås på. Tolka uttrycket.
T(0)=25
∫04T′(x)dx=120
∫1015T′(x)dx=0
security
report
code
security
report
code
Vi ska tolka T(0)=25 och börjar med att ta reda på vad T(x) beskriver. Eftersom T'(x) är derivatan av T(x), och T'(x) beskriver plattans temperaturförändring efter x minuter, måste T(x) representera plattans temperatur efter x minuter. T(0)=25 betyder alltså att temperaturen är25^(∘)C när plattan slås på.
Att integrera T'(x) från x=0 till x=4 innebär att vi summerar alla de temperaturförändringar som sker under de första fyra minuterna. Vi får då reda på den totala temperaturökningen och kan konstatera att
temperaturen ökar med120^(∘)C under de4första minuterna.
Nu är det perioden från x=10 till x=15 som beskrivs och vi ser att den totala temperaturökningen är 0^(∘)C. Tolkningen av integralen är alltså att
temperaturen är konstant10-15minuter efter plattan slås på.
security
report
code
En byggnadsarbetare kastar en tumstock rakt upp i luften till sin kollega som står på en byggnadsställning 4.5 m över marken. När kollegan ska fånga den missar han och tumstocken faller ner på arbetaren och träffar henne i huvudet 0.75 s efter att den har vänt i luften. Vilken hastighet har tumstocken när den träffar huvudet? Accelerationen i ett fritt fall är konstant −9.82 m/s2. Svara med en decimal.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"ca","formTextAfter":"m\/s","answer":{"text":["7.4"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi är bara intresserade av den del av tumstockens färd genom luften som äger rum efter att den har vänt. I ögonblicket när den vänder har tumstocken hastigheten 0 m/s. Vi vet också att fallet från vändpunkten till arbetarens huvud tar 0.75 s. Eftersom hastigheten är integralen av accelerationen kan den sökta hastigheten bestämmas genom att beräkna värdet av integralen ∫_0^(0.75)a(t) d t . Vi börjar med att bestämma en primitiv funktion till accelerationsfunktionen a(t)=- 9.82.
Nu beräknar vi integralen.
Storleken på tumstockens hastighet är alltså ca 7.4 m/s då den dimper ner i huvudet på arbetaren (vilket är ca 27 km/h). Minustecknet anger att hastighetens riktning är nedåt.
security
report
code
Pandemin Senapskålera drabbar världen. Antal personer som smittas varje dag kan beskrivas av funktionen
y(x)=1.5x,
där x är antalet dagar efter utbrottet. Bestäm hur många som är smittade efter 30 dagar. Avrunda till närmaste tusental.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"ca","formTextAfter":"st","answer":{"text":["473000"]}}
security
report
code
security
report
code
Tänk på att funktionen y(x) representerar antalet smittade per dag, dvs. en hastighet. Skulle vi sätta in x=30 i funktionen skulle vi alltså beräkna antalet som smittats under dag 30 och inte det totala antalet smittade från utbrottets start till och med dag 30, vilket är det som efterfrågas. Genom att integrera y(x) från dag 0 , dvs. utbrottets start, till dag 30 kan vi summera antalet smittade per dag under perioden i fråga. Vi vill alltså beräkna integralen ∫_0^(30)1.5^x d x . För att göra det måste vi först hitta en primitiv funktion till integranden.
Nu använder vi den primitiva funktionen för att beräkna integralens värde.
Totalt har ca 473 000 människor smittats efter 30 dagar.
security
report
code
Befolkningsförändringen i kommunen Lövköping kan beskrivas av funktionen
g(x)=−10x2+120x+200,
där g(x) är förändringen i antal personer per månad och x är antal månader av året som har passerat. Hur många personer ökade befolkningen med under andra kvartalet?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"st","answer":{"text":["1590"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi vet att g(x) beskriver förändring i antal/månad. Skulle man sätta in t.ex. x=3 får man alltså reda på hur många personer invånarantalet ökat eller minskat med efter att tre månader gått, dvs. 1:a april. Vi är dock intresserade av att veta hur stor befolkningsökningen var totalt under perioden första april till sista juni. För att beskriva denna summa av befolkningsförändringar över tid integrerar vi g(x) från 3 till 6: ∫_3^6(-10x^2+120x+200 ) d x . Vi bestämmer en primitiv funktion till integranden, som vi sedan använder för att beräkna integralen.
Nu bestämmer vi integralens värde genom att beräkna differensen G(6)-G(3).
Integralens värde är 1590, vilket betyder att invånarantalet i Lövköping ökade med 1590 st. under andra kvartalet.
security
report
code
Tolka integraler
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll