Tolka integraler

Mängden blod som Xander ska ge är integralen av hastigheten som blodet flödar med per minut, dvs. 0,3.dl /min. under hela perioden som Xander ger blod. Vi ser att integralens värde är 4,5 vilket alltså betyder att Xander ska lämna 4,5 dl blod.

Från integralen ser vi att integrationsgränserna är 0 och 15 och eftersom tiden mäts i minuter måste detta innebära att blodgivningen tar 15 minuter.

Eftersom starten tar 15 sekunder är de sista fem sekunderna mellan t=10 och t=15. Sträckan som planet har färdats får vi genom att beräkna integralen av hastigheten mellan dessa tider: ∫_(10)^(15)v(t) d t . Vi börjar med att bestämma en primitiv funktion till v(t).

Nu kan vi beräkna integralen mellan 10 och 15.

Planet färdas 312,5 meter de sista 5 sekunderna.

Vi ska ställa upp en integral som beskriver den sträcka Micah hinner under de första 45 minuterna, och börjar med att bestämma integrationsgränserna. Den nedre gränsen bör vara t=0 och övre gränsen t=0,75, eftersom 45 min =0,75h. Integranden kommer vara hastighetsfunktionen v(t), eftersom sträckan Micah springer kan beskrivas som integralen av hans hastighet. Sträckan representeras alltså av integralen ∫_0^(0,75)(29t-14,5t^2 ) d t .

Vi tar reda på hur långt han hinner på 45 minuter genom att beräkna värdet på integralen vi nyss ställde upp. Vi börjar med att bestämma en primitiv funktion till v(t).

Nu använder vi V(t) för att beräkna integralens värde.

Integralens värde är 6,1. Eftersom v(t) har enheten km/h och t har enheten h kommer integralen att få enheten km/h * h = km. Micah springer alltså ca 6,1km under de första 45 minuterna.

Vi vet från uppgiften att vattnet rinner ut med hastigheten f(t)=21-0,4t och att badkaret töms på 8 minuter. Genom att beräkna integralen till f(t) mellan integrationsgränserna 0 och 8 kan vi bestämma den sammanlagda förändringen under denna tid, dvs. den totala mängden vatten som runnit ut ur badkaret. Vi ska alltså bestämma integralen ∫_0^8f(t) d t , och måste då först bestämma en primitiv funktion till f(t).

Nu beräknar vi integralen.

Badkaret rymmer ca 155 liter.

Hastigheten som Glafkos kan hälla upp öl med kan beskrivas med funktionen v=0,15, där v har enheten liter/sekund. För att beskriva antalet liter öl han kan hälla upp på 5 minuter ställer vi därför upp en integral med integranden 0.15 och integrationsgränserna s=0 respektive s=300, eftersom 5 minuter är lika med 300 sekunder: ∫_0^(300)0,15 d s . Vi väljer integrationsvariabeln s eftersom tidsenheten i detta sammanhang är just sekunder.

Genom att beräkna integralen vi ställde upp i föregående deluppgift kan vi bestämma hur många liter öl Glafkos kan hälla upp på 5 minuter, vilket är en bra start när vi vill ta reda på hur många halvlitersglas han kan fylla på samma tid. För att beräkna integralen måste vi först bestämma en primitiv funktion till integranden.

Nu använder vi V(s) för att beräkna integralens värde.

Integralens värde är 45. Eftersom v har enheten liter/sekund och s har enheten sekund kommer integralen att få enheten liter/sekund * sekund = liter. Glafkos kan alltså hälla upp 45 liter öl på 5 minuter. Varje liter kan delas upp på 2 halvlitersglas, vilket innebär att han kan fylla 45*2=90 st. halvliterglas på5min.

Vi vet att antalet bakterier förändras över tid enligt funktionen f(t). Om vi integrerar funktionen får vi reda på hur antalet bakterier förändras över ett visst tidsintervall. På ett dygn går det 24 timmar, vilket betyder att integrationsgränserna är 0 och 24: ∫_0^(24)2,1* 2^(3t) d t . För att beräkna integralen börjar vi med att ta fram en primitiv funktion till f(t).

Den här primitiva funktionen använder vi för att beräkna integralen.

Efter det första dygnet finns det alltså cirka 4,8*10^(21) bakterier i odlingen.

Funktionen h(t) anger hur många gram av provet som sönderfaller per år vid en viss tidpunkt t, så integralen av h(t) på ett intervall kommer att vara den mängd torium som sönderfaller under den tidsperioden. För att kunna bestämma en sådan integral måste vi först bestämma en primitiv funktion till h(t).

Vi vill bestämma hur mycket som sönderfaller under det första året, alltså från t = 0 till t = 1, så vi ställer upp och beräknar integralen från 0 till 1 över funktionen h(t).

Under det första året har alltså ca 3,1 gram av provet sönderfallit.