Tolka integraler

Förklaring

Integraler som modeller

Integraler kan användas i många verkliga situationer där värden varierar. Det kan handla om att beräkna

körsträckan för en bil som ändrar sin hastighet,
area eller volym för föremål med olika bredd på olika ställen,
energi förbrukad av en lampa med varierande effekt (dvs. en dimmer).

Den vanliga formeln för att beräkna körsträcka är $s = vt,$ där $v$ är bilens fart och $t$ tiden den kör. Men om bilen kör olika fort vid olika tidpunkter bör farten beskrivas som en funktion av tiden, $v(t).$ Då beräknas körsträckan mellan tidpunkterna $t_1$ och $t_2$ istället med integralen $s = \displaystyle{\int_{t_1}^{t_2}} v(t) \, \text{d}t.$

Man kan tänka på detta som samma formel

s = vt,

fast upprepad oändligt många gånger. Under ett oändligt kort tidsintervall d

t

hinner farten inte ändras. Då är hastigheten

v(t)

konstant, så bilen färdas sträckan

v(t)\,\text dt

på den tiden. Integralen summerar alla sådana delsträckor mellan

t_1

och

t_2

, och på så sätt beräknas den totala sträckan.

Regel

Sträcka, hastighet och acceleration

Sambandet mellan sträcka, hastighet och acceleration är en väldigt vanlig tillämpning av integraler. Derivatan av sträcka är hastighet, och därför är sträcka integralen av hastighet. På samma sätt kan hastighet deriveras till acceleration, vilket innebär att hastighet beräknas som integralen av acceleration.

På samma sätt kan man utvidga den här kopplingen mellan derivata och integral i ett allmänt fall, för någon funktion $f(x).$

Tolkningen av en integral varierar från fall till fall, men en derivata beskriver en förändringshastighet och på motsvarande sätt kan en integral tolkas som en sammanlagd förändring. Om man har en modell för hur något förändras (t.ex. antal födslar per dag) kan man, med hjälp av integraler, beräkna hur mycket som förändrats (antal nyfödda på ett år).

Regel

Enhet för integral

Som hjälp för att tolka en integral i ett verkligt sammanhang kan man använda integralens enhet. Den hittar man genom att multiplicera enheterna på koordinataxlarna.

Regel
${\textstyle \text{Integralens enhet}=\\ x\text{-axelns enhet}\cdot y\text{-axelns enhet}}$

En bestämd integral kan tolkas som arean under en kurva. En sådan integral kan approximeras med en Riemannsumma, där arean under grafen delats in i staplar. Arean av en stapel är produkten av avståndet i $x$ -led och $y$ -led: $\Delta x \cdot \Delta y.$ Om man har enheter på $x$ - och $y$ -axeln, kommer integralens enhet därför att vara produkten av dessa. Om enheterna t.ex. är meter per sekund (m/s) och sekund (s) kommer stapelns bredd ha enheten s och stapelns höjd m/s.

Arean, som i det här fallet är integralen, kommer då att få enheten $\text{s}\cdot \frac{\text{m}}{\text{s}}.$ Förenklas uttrycket får man enheten meter (m).

Metod

Lösa problem med integraler

Integraler kan användas för att lösa problem när något förändras, t.ex. för att beräkna sträckan en cyklist färdas under en cykeltur då farten varierar. Om cyklistens hastighet under en viss tid beskrivs med funktionen $f(t)=0.5t-0.002t^2,$ där $t$ är tiden i sekunder efter att cykeln börjar rulla och $f(t)$ är hastigheten i m/s, kan man beräkna sträckan som cyklisten färdas de första $30$ sekunderna med en integral.

1

Bestäm integrationsgränser

Man ska beräkna sträckan under de $30$ första sekunderna dvs. på intervallet $0-30$ sekunder. Det betyder att integrationsgränserna är $0$ och $30.$

2

Ställ upp integralen

Hastighet beskriver en förändring av sträcka. Hastigheten $5$ m/s innebär t.ex. att sträckan ökar med $5$ meter varje sekund. Den totala sträckan beräknas därför med integralen av hastigheten. Sträckan under de $30$ första sekunderna ges då av $\int_0^{30}\left(0.5t-0.002t^2\right)\, \text dt.$

3

Beräkna integralen

För att beräkna integralen börjar man med att bestämma en primitiv funktion till $f(t).$

f(t)=0.5t-0.002t^2

Bestäm en primitiv funktion

F(t)=D^{\text{-}1}(0.5t)-D^{\text{-}1}\left(0.002t^2\right)

D ^{\text{-}1}(ax) = \dfrac{ax^{2}}{2}

F(t)=\dfrac{0.5t^2}{2}-D^{\text{-}1}\left(0.002t^2\right)

D ^{\text{-}1}\left(ax^n\right)=\dfrac{ax^{n+1}}{n+1}

F(t)=\dfrac{0.5t^2}{2}-\dfrac{0.002t^3}{3}

Nu kan man använda denna primitiva funktion för att beräkna integralen.

\displaystyle\int_{0}^{30}\left(0.5t-0.002t^2 \right) \, \text d t

\displaystyle \int_a^b f(t) \ \text dt=[F(t)]_a^b

\left[\dfrac{0.5t^2}{2}-\dfrac{0.002t^3}{3}\right]_0^{30}

\left[F(t)\right]_{{\color{#009600}{0}}}^{\color{#0000FF}{30}}=F\left({\color{#0000FF}{30}}\right)-F\left({\color{#009600}{0}}\right)

\dfrac{0.5\cdot{\color{#0000FF}{30}}^2}{2}-\dfrac{0.002\cdot{\color{#0000FF}{30}}^3}{3}-\left(\dfrac{0.5\cdot{\color{#009600}{0}}^2}{2}-\dfrac{0.002\cdot{\color{#009600}{0}}^3}{3}\right)

Beräkna kvot & produkt

\dfrac{0.5\cdot{\color{#0000FF}{30}}^2}{2}-\dfrac{0.002\cdot{\color{#0000FF}{30}}^3}{3}

Beräkna potens

\dfrac{0.5\cdot900}{2}-\dfrac{0.002\cdot27\,000}{3}

Förenkla kvot

0.5\cdot450-0.002\cdot9000

Multiplicera faktorer

225-18

Förenkla termer

207

Integralens värde är $207.$

4

Besvara frågan i uppgiften

Eftersom integralens värde är $207$ hinner cyklisten alltså $207 \text{ meter}$ under de $30$ första sekunderna. Man kan kontrollera att det är en sträcka man har räknat ut. $f(t)$ har enheten m/s och $t$ har enheten s. Det betyder att integralen får enheten $\dfrac{\text{m}}{\text{s}}\cdot \text{s}=\text{m}.$

Ställ upp och beräkna integralen

Uppgift

När Cassandra duschar varierar vattenflödet $v(x)$ liter/min ur duschmunstycket enligt funktionen $v(x)=\text{-}0.025x^2+0.25x+12,$ där $x$ är antal minuter efter att hon vridit på vattnet. En dag testar hon att sätta i proppen i badkaret innan hon börjar duscha för att se hur mycket varmvatten hon gör av med. Om hon duschar i en kvart, hur många liter vatten bör då finnas i badkaret?

Lösning

Vi vill här summera en volym under en tid, vilket innebär att vi troligen kan lösa problemet med en integral.

Bestäm gränserna

Hon duschar i en kvart, dvs. i $15$ minuter. Den undre integrationsgränsen är därför $x=0$ och den övre är $x=15.$

Ställ upp integralen

Funktionen $v(x)$ beskriver hur många liter per minut som lämnar munstycket, och vi vill beräkna den totala volymen vatten som Cassandra gör av med. Eftersom flödeshastigheten förändras över tid kan vi integrera $v(x)$ över denna tid för att hitta volymen: $\displaystyle \int_0^{15} \left(\text{-}0.025x^2+0.25x+12 \right) \text{d}x.$

Beräkna integralen

Vi börjar med att bestämma en primitiv funktion till $v(x).$

v(x)=\text{-}0.025x^2+0.25x+12

Bestäm en primitiv funktion

V(x)=D ^{\text{-}1}\left(\text{-}0.025x^2\right)+D ^{\text{-}1}\left(0.25x\right)+D ^{\text{-}1}\left(12\right)

D ^{\text{-}1}\left(ax^n\right)=\dfrac{ax^{n+1}}{n+1}

V(x)=\dfrac{\text{-}0.025x^3}{3}+D ^{\text{-}1}\left(0.25x\right)+D ^{\text{-}1}\left(12\right)

D ^{\text{-}1}(ax) = \dfrac{ax^{2}}{2}

V(x)=\dfrac{\text{-}0.025x^3}{3}+\dfrac{0.25x^2}{2}+D ^{\text{-}1}(12)

D ^{\text{-}1}(a) = ax

V(x)=\dfrac{\text{-}0.025x^3}{3}+\dfrac{0.25x^2}{2}+12x

Nu kan vi använda integralkalkylens huvudsats för att beräkna integralen.

\displaystyle\int_{0}^{15}\text{-}0.025x^2+0.25x+12 \, \text d x

\displaystyle \int_a^b v(x) \ \text dx=[V(x)]_a^b

\left[\dfrac{\text{-}0.025x^3}{3}+\dfrac{0.25x^2}{2}+12x\right]_0^{15}

\left[V(x)\right]_{{\color{#009600}{0}}}^{\color{#0000FF}{15}}=V\left({\color{#0000FF}{15}}\right)-V\left({\color{#009600}{0}}\right)

\dfrac{\text{-}0.025\cdot{\color{#0000FF}{15}}^3}{3}+\dfrac{0.25\cdot{\color{#0000FF}{15}}^2}{2}+12\cdot{\color{#0000FF}{15}}-\left(\dfrac{\text{-}0.025\cdot{\color{#009600}{0}}^3}{3}+\dfrac{0.25\cdot{\color{#009600}{0}}^2}{2}+12\cdot{\color{#009600}{0}}\right)

Beräkna kvot & produkt

\dfrac{\text{-}0.025\cdot15^3}{3}+\dfrac{0.25\cdot15^2}{2}+12\cdot15

Slå in på räknare

180

Besvara frågan i uppgiften

Integralen har värdet $180.$ Eftersom $v(x)$ har enheten liter/min och $x$ har enheten minuter kommer integralen att få enheten $\frac{\text{liter}}{\text{minuter}} \cdot \text{minuter} = \text{liter}.$ Cassandra gör alltså av med $180\text{ liter}$ vatten när hon duschat i $15$ minuter. Eftersom ett normalstort badkar rymmer ungefär $150$ liter behöver hon dra ur proppen om hon inte vill att badkaret ska svämma över.

Visa lösning

Tolka integraler

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Integraler som modeller

Sträcka, hastighet och acceleration

Enhet för integral

Regel

Lösa problem med integraler

1

2

3

4

Exempel

Ställ upp och beräkna integralen

Bestäm gränserna

Ställ upp integralen

Beräkna integralen

Besvara frågan i uppgiften

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}