{{ tocSubheader }}
{{ 'ml-label-loading-course' | message }}
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel {{ article.chapter.number }}
{{ article.number }}.
{{ article.displayTitle }}
{{ article.intro.summary }}
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | {{ 'ml-lesson-number-slides' | message : article.intro.bblockCount }} |
| | {{ 'ml-lesson-number-exercises' | message : article.intro.exerciseCount }} |
| | {{ 'ml-lesson-time-estimation' | message }} |
Kreditlista Bilder expand_more
- {{ item.file.title }} {{ presentation }}
Inga inlägg om filrättigheter hittades
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Integraler som modeller
- Samband mellan sträcka hastighet och acceleration
- Samband mellan derivata och integral
- Lösa problem med integral
Förkunskaper
Förklaring
Integraler som modeller
Integraler kan användas i många verkliga situationer där värden varierar. Det kan handla om att beräkna
- körsträckan för en bil som ändrar sin hastighet,
- area eller volym för föremål med olika bredd på olika ställen,
- energi förbrukad av en lampa med varierande effekt (dvs. en dimmer).
s=∫t1t2v(t)dt.
Man kan tänka på detta som samma formel s=vt, fast upprepad oändligt många gånger. Under ett oändligt kort tidsintervall dt hinner farten inte ändras. Då är hastigheten v(t) konstant, så bilen färdas sträckan v(t)dt på den tiden. Integralen summerar alla sådana delsträckor mellan t1 och t2, och på så sätt beräknas den totala sträckan.Regel
Sträcka, hastighet och acceleration
Sambandet mellan sträcka, hastighet och acceleration är en väldigt vanlig tillämpning av integraler. Derivatan av sträcka är hastighet, och därför är sträcka integralen av hastighet. På samma sätt kan hastighet deriveras till acceleration, vilket innebär att hastighet beräknas som integralen av acceleration.
På samma sätt kan man utvidga den här kopplingen mellan derivata och integral i ett allmänt fall, för någon funktion f(x).
Regel
Enhet för integral
Som hjälp för att tolka en integral i ett verkligt sammanhang kan man använda integralens enhet. Den hittar man genom att multiplicera enheterna på koordinataxlarna.
Regel
Integralens enhet=x-axelns enhet⋅y-axelns enhetEn bestämd integral kan tolkas som arean under en kurva. En sådan integral kan approximeras med en Riemannsumma, där arean under grafen delats in i staplar. Arean av en stapel är produkten av avståndet i x-led och y-led:
Δx⋅Δy.
Om man har enheter på x- och y-axeln, kommer integralens enhet därför att vara produkten av dessa. Om enheterna t.ex. är meter per sekund (m/s) och sekund (s) kommer stapelns bredd ha enheten s och stapelns höjd m/s. Arean, som i det här fallet är integralen, kommer då att få enheten s⋅sm. Förenklas uttrycket får man enheten meter (m).
Metod
Lösa problem med integraler
Integraler kan användas för att lösa problem när något förändras, t.ex. för att beräkna sträckan en cyklist färdas under en cykeltur då farten varierar. Om cyklistens hastighet under en viss tid beskrivs med funktionen
f(t)=0,5t−0,002t2,
där t är tiden i sekunder efter att cykeln börjar rulla och f(t) är hastigheten i m/s, kan man beräkna sträckan som cyklisten färdas de första 30 sekunderna med en integral.
1
Bestäm integrationsgränser
expand_more Man ska beräkna sträckan under de 30 första sekunderna dvs. på intervallet 0−30 sekunder. Det betyder att integrationsgränserna är 0 och 30.
2
Ställ upp integralen
expand_more Hastighet beskriver en förändring av sträcka. Hastigheten 5m/s innebär t.ex. att sträckan ökar med 5 meter varje sekund. Den totala sträckan beräknas därför med integralen av hastigheten. Sträckan under de 30 första sekunderna ges då av
∫030(0,5t−0,002t2)dt.
3
Beräkna integralen
expand_more För att beräkna integralen börjar man med att bestämma en primitiv funktion till f(t).
Nu kan man använda denna primitiva funktion för att beräkna integralen.
Integralens värde är 207.
f(t)=0,5t−0,002t2
AntiderivativeOne
Bestäm en primitiv funktion
F(t)=D−1(0,5t)−D−1(0,002t2)
AntideriveXCo
D-1(ax)=2ax2
F(t)=20,5t2−D−1(0,002t2)
AntideriveMonomCo
D-1(axn)=n+1axn+1
F(t)=20,5t2−30,002t3
∫030(0,5t−0,002t2)dt
FundCalcArg
∫abf(t)dt=[F(t)]ab
[20,5t2−30,002t3]030
EnterIntLimitsGen
[F(t)]030=F(30)−F(0)
20,5⋅302−30,002⋅303−(20,5⋅02−30,002⋅03)
CalcQuotProd
Beräkna kvot & produkt
20,5⋅302−30,002⋅303
CalcPow
Beräkna potens
20,5⋅900−30,002⋅27000
SimpQuot
Förenkla kvot
0,5⋅450−0,002⋅9000
Multiply
Multiplicera faktorer
225−18
SubTerm
Subtrahera term
207
4
Besvara frågan i uppgiften
expand_more Eftersom integralens värde är 207 hinner cyklisten alltså
207 meter
under de 30 första sekunderna. Man kan kontrollera att det är en sträcka man har räknat ut. f(t) har enheten m/s och t har enheten s. Det betyder att integralen får enheten sm⋅s=m.
Exempel
Ställ upp och beräkna integralen
När Cassandra duschar varierar vattenflödet v(x) liter/min ur duschmunstycket enligt funktionen
v(x)=−0,025x2+0,25x+12,
där x är antal minuter efter att hon vridit på vattnet. En dag testar hon att sätta i proppen i badkaret innan hon börjar duscha för att se hur mycket varmvatten hon gör av med. Om hon duschar i en kvart, hur många liter vatten bör då finnas i badkaret? {"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"liter","answer":{"text":["180"]}}
Ledtråd
Ställ upp en integral med den givna flödesfunktionen. Fundera på vilket tidsintervall som ska användas som gränser.
Lösning
Vi vill här summera en volym under en tid, vilket innebär att vi troligen kan lösa problemet med en integral.
Bestäm gränserna
Hon duschar i en kvart, dvs. i 15 minuter. Den undre integrationsgränsen är därför x=0 och den övre är x=15.
Ställ upp integralen
Funktionen v(x) beskriver hur många liter per minut som lämnar munstycket, och vi vill beräkna den totala volymen vatten som Cassandra gör av med. Eftersom flödeshastigheten förändras över tid kan vi integrera v(x) över denna tid för att hitta volymen:∫015(−0,025x2+0,25x+12)dx.
Beräkna integralen
Vi börjar med att bestämma en primitiv funktion till v(x).v(x)=−0,025x2+0,25x+12
AntiderivativeOne
Bestäm en primitiv funktion
V(x)=D-1(−0,025x2)+D-1(0,25x)+D-1(12)
AntideriveMonomCo
D-1(axn)=n+1axn+1
V(x)=3−0,025x3+D-1(0,25x)+D-1(12)
AntideriveXCo
D-1(ax)=2ax2
V(x)=3−0,025x3+20,25x2+D-1(12)
AntideriveConst
D-1(a)=ax
V(x)=3−0,025x3+20,25x2+12x
∫015−0,025x2+0,25x+12dx
FundCalcArg
∫abv(x)dx=[V(x)]ab
[3−0,025x3+20,25x2+12x]015
EnterIntLimitsGen
[V(x)]015=V(15)−V(0)
3−0,025⋅153+20,25⋅152+12⋅15−(3−0,025⋅03+20,25⋅02+12⋅0)
CalcQuotProd
Beräkna kvot & produkt
3−0,025⋅153+20,25⋅152+12⋅15
UseCalc
Slå in på räknare
180
Besvara frågan i uppgiften
Integralen har värdet 180. Eftersom v(x) har enheten liter/min och x har enheten minuter kommer integralen att få enheten minuterliter⋅minuter=liter. Cassandra gör alltså av med180 liter
vatten när hon duschat i 15 minuter. Eftersom ett normalstort badkar rymmer ungefär 150 liter behöver hon dra ur proppen om hon inte vill att badkaret ska svämma över.
Laddar innehåll