Tolka integraler
{{ 'ml-heading-theory' | message }}
Integraler som modeller
Integraler kan användas i många verkliga situationer där värden varierar. Det kan handla om att beräkna
- körsträckan för en bil som ändrar sin hastighet,
- area eller volym för föremål med olika bredd på olika ställen,
- energi förbrukad av en lampa med varierande effekt (dvs. en dimmer).
Den vanliga formeln för att beräkna körsträcka är , där är bilens fart och tiden den kör. Men om bilen kör olika fort vid olika tidpunkter bör farten beskrivas som en funktion av tiden, . Då beräknas körsträckan mellan tidpunkterna och istället med integralen
Man kan tänka på detta som samma formel , fast upprepad oändligt många gånger. Under ett oändligt kort tidsintervall d hinner farten inte ändras. Då är hastigheten konstant, så bilen färdas sträckan på den tiden. Integralen summerar alla sådana delsträckor mellan och , och på så sätt beräknas den totala sträckan.Sträcka, hastighet och acceleration
Sambandet mellan sträcka, hastighet och acceleration är en väldigt vanlig tillämpning av integraler. Derivatan av sträcka är hastighet, och därför är sträcka integralen av hastighet. På samma sätt kan hastighet deriveras till acceleration, vilket innebär att hastighet beräknas som integralen av acceleration.
På samma sätt kan man utvidga den här kopplingen mellan derivata och integral i ett allmänt fall, för någon funktion
Enhet för integral
Som hjälp för att tolka en integral i ett verkligt sammanhang kan man använda integralens enhet. Den hittar man genom att multiplicera enheterna på koordinataxlarna.
Lösa problem med integraler
Integraler kan användas för att lösa problem när något förändras, t.ex. för att beräkna sträckan en cyklist färdas under en cykeltur då farten varierar. Om cyklistens hastighet under en viss tid beskrivs med funktionen där är tiden i sekunder efter att cykeln börjar rulla och är hastigheten i m/s, kan man beräkna sträckan som cyklisten färdas de första sekunderna med en integral.