mathleaks.se mathleaks.se Startsida kapitel home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
Expandera meny menu_open Minimera
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu_open home
{{ courseTrack.displayTitle }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
{{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
search Använd offline Verktyg apps
Logga in account_circle menu_open
Integraler

Tolka integraler

Förklaring

Integraler som modeller

Integraler kan användas i många verkliga situationer där värden varierar. Det kan handla om att beräkna

  • körsträckan för en bil som ändrar sin hastighet,
  • area eller volym för föremål med olika bredd på olika ställen,
  • energi förbrukad av en lampa med varierande effekt (dvs. en dimmer).

Den vanliga formeln för att beräkna körsträcka är , där är bilens fart och tiden den kör. Men om bilen kör olika fort vid olika tidpunkter bör farten beskrivas som en funktion av tiden, . Då beräknas körsträckan mellan tidpunkterna och istället med integralen

Man kan tänka på detta som samma formel , fast upprepad oändligt många gånger. Under ett oändligt kort tidsintervall d hinner farten inte ändras. Då är hastigheten konstant, så bilen färdas sträckan på den tiden. Integralen summerar alla sådana delsträckor mellan och , och på så sätt beräknas den totala sträckan.
Regel

Sträcka, hastighet och acceleration

Sambandet mellan sträcka, hastighet och acceleration är en väldigt vanlig tillämpning av integraler. Derivatan av sträcka är hastighet, och därför är sträcka integralen av hastighet. På samma sätt kan hastighet deriveras till acceleration, vilket innebär att hastighet beräknas som integralen av acceleration.

samband sträcka hastighet acceleration

På samma sätt kan man utvidga den här kopplingen mellan derivata och integral i ett allmänt fall, för någon funktion

samband derivata och integral
Tolkningen av en integral varierar från fall till fall, men en derivata beskriver en förändringshastighet och på motsvarande sätt kan en integral tolkas som en sammanlagd förändring. Om man har en modell för hur något förändras (t.ex. antal födslar per dag) kan man, med hjälp av integraler, beräkna hur mycket som förändrats (antal nyfödda på ett år).
Regel

Enhet för integral

Som hjälp för att tolka en integral i ett verkligt sammanhang kan man använda integralens enhet. Den hittar man genom att multiplicera enheterna på koordinataxlarna.

Regel

En bestämd integral kan tolkas som arean under en kurva. En sådan integral kan approximeras med en Riemannsumma, där arean under grafen delats in i staplar. Arean av en stapel är produkten av avståndet i -led och -led: Om man har enheter- och -axeln, kommer integralens enhet därför att vara produkten av dessa. Om enheterna t.ex. är meter per sekund (m/s) och sekund (s) kommer stapelns bredd ha enheten s och stapelns höjd m/s.

Arean, som i det här fallet är integralen, kommer då att få enheten Förenklas uttrycket får man enheten meter (m).

Metod

Lösa problem med integraler

Integraler kan användas för att lösa problem när något förändras, t.ex. för att beräkna sträckan en cyklist färdas under en cykeltur då farten varierar. Om cyklistens hastighet under en viss tid beskrivs med funktionen där är tiden i sekunder efter att cykeln börjar rulla och är hastigheten i m/s, kan man beräkna sträckan som cyklisten färdas de första sekunderna med en integral.

1

Bestäm integrationsgränser

Man ska beräkna sträckan under de första sekunderna dvs. på intervallet sekunder. Det betyder att integrationsgränserna är och

2

Ställ upp integralen

Hastighet beskriver en förändring av sträcka. Hastigheten m/s innebär t.ex. att sträckan ökar med meter varje sekund. Den totala sträckan beräknas därför med integralen av hastigheten. Sträckan under de första sekunderna ges då av

3

Beräkna integralen
För att beräkna integralen börjar man med att bestämma en primitiv funktion till
Nu kan man använda denna primitiva funktion för att beräkna integralen.
Integralens värde är

4

Besvara frågan i uppgiften

Eftersom integralens värde är hinner cyklisten alltså under de första sekunderna. Man kan kontrollera att det är en sträcka man har räknat ut. har enheten m/s och har enheten s. Det betyder att integralen får enheten

fullscreen
Uppgift

När Cassandra duschar varierar vattenflödet liter/min ur duschmunstycket enligt funktionen där är antal minuter efter att hon vridit på vattnet. En dag testar hon att sätta i proppen i badkaret innan hon börjar duscha för att se hur mycket varmvatten hon gör av med. Om hon duschar i en kvart, hur många liter vatten bör då finnas i badkaret?

Visa Lösning
Lösning

Vi vill här summera en volym under en tid, vilket innebär att vi troligen kan lösa problemet med en integral.

Bestäm gränserna

Hon duschar i en kvart, dvs. i minuter. Den undre integrationsgränsen är därför och den övre är

Ställ upp integralen

Funktionen beskriver hur många liter per minut som lämnar munstycket, och vi vill beräkna den totala volymen vatten som Cassandra gör av med. Eftersom flödeshastigheten förändras över tid kan vi integrera över denna tid för att hitta volymen:

Beräkna integralen

Vi börjar med att bestämma en primitiv funktion till
Nu kan vi använda integralkalkylens huvudsats för att beräkna integralen.

Besvara frågan i uppgiften

Integralen har värdet Eftersom har enheten liter/min och har enheten minuter kommer integralen att få enheten Cassandra gör alltså av med vatten när hon duschat i minuter. Eftersom ett normalstort badkar rymmer ungefär liter behöver hon dra ur proppen om hon inte vill att badkaret ska svämma över.

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward