Talet e

Från uppgiften vet vi att e^(1.4) ≈ 4, men det gäller också åt andra hållet, alltså att 4 ≈ e^(1.4). Vi byter ut 4 i ln(4) mot detta och låter logaritmen och potensen ta ut varandra enligt logaritmlagen ln(e^a) = a.

Vi får alltså att ln(4) ≈ 1.4.

Här skriver vi först om 16 som en potens. Sen flyttar vi ner exponenten med hjälp av logaritmlagen för potenser. Då får vi ett uttryck som innehåller ln(4), som vi från förra uppgiften vet är ungefär 1.4.

Vi får att ln(16) ≈ 2.8

Vi börjar med att dela upp logaritmen i två termer med hjälp av logaritmlagen för multiplikationer. Då kan vi utnyttja värdet vi fick för ln(16) i förra uppgiften till den första termen och att ln(e) = 1 i den andra.

Svaret är alltså att ln ( 16e^2 ) ≈ 4.8.

Logaritmerna i parentesen kan skrivas som en enda logaritm med logaritmregeln för multiplikationer. Därefter lyfter vi in faktorn 2 enligt logaritmregeln för potenser.

Även här kan logaritmerna i parentesen skrivas som en enda logaritm, enligt logaritmregeln för divisioner.

Vi kan nu skriva om logaritmens argument som en potens och sen enligt logaritmregel för potenser flytta ner exponenten framför logaritmen.

Vi söker lösningen till ekvationen e^x=8, alltså det x som ger att grafen till e^x har y-värdet 8. Det kan vi hitta genom att rita in en rät linje vid y = 8 och se var någonstans den skär grafen. Där läser vi av x-värdet.

Vi kan se att x-värdet ligger mellan 2 och 2.25, vilket avrundat till närmaste heltal är 2. Lösningen till ekvationen är alltså x ≈ 2.

I vänsterledet har vi en potens med basen e och exponenten 3x. Om vi beräknar den naturliga logaritmen av vänster- och högerledet "tar den ut potensen" i vänsterledet. Därefter kan man lösa ut x genom att dela båda led med 3.

Vi löser ekvationen på samma sätt som tidigare, dvs. vi logaritmerar både leden och använder därefter identiteten ln(e^a) = a.

Nu har vi istället en naturlig logaritm i vänsterledet. Om vi sätter båda led som exponenter på basen e kommer detta att "ta ut logaritmen" enligt e^(ln(a))= a i vänsterledet och det går därefter att lösa ut x.

Vi sätter både leden som exponenter på basen e så att vi kan lösa ut argumentet till logaritmen.

Om man vill går det också bra att skriva om e^(- 1) som 1e, vilket ger svaret x = 1e + 3.

I vänsterledet har vi en potens med basen e och exponenten 2x. Om vi beräknar den naturliga logaritmen av vänster- och högerledet kan vi därefter använda regeln ln(e^a) = a för att lösa ut exponenten som sitter på e och slutligen även x genom att dela båda led med 2.

Vi löser ekvationen på samma sätt som ovan men innan vi tar ln av båda led delar vi dem med 5 för att lösa ut potensen.

Nu har vi istället en naturlig logaritm i vänsterledet. Genom att sätta båda led som exponenter på basen e kan vi använda regeln e^(ln(a))= a för att lösa ut argumentet i logaritmen.

Vi börjar med att multiplicera båda led med 5 för att lösa ut logaritmen i vänsterledet. Sedan sätter vi båda led som exponenter på basen e.

Vi börjar med att skriva om argumentet 100 som en potens. ln(100)/2 = ln ( 10^2 )/2 Med hjälp av logaritmlagen för potenser kan vi nu flytta ner 2:an i exponenten och sätta den framför logaritmen.

Vi får alltså att ln(100)2 = ln(10).

En potens med basen e kan man se som ett kompaktare sätt att skriva multiplikation av e. Exempelvis är e^3=e* e* e. Vad kan man få när man multiplicerar e med sig själv? Kan det bli negativt? Nej, e är positivt, och oavsett hur många gånger man multiplicerar ett positivt tal med sig själv kan produkten aldrig bli negativ. Därför kan -48 inte skrivas som en potens med bas e.