{{ 'ml-label-choose-chapter' | message }} {{ courseTrack.signature }} {{ 'ml-label-choose-course' | message }}

Regler för derivator

Välj kurs
( Matte 3b , Matte 3c )
Regler för derivator
Talet e

Talet e

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Talet ee är en matematisk konstant som fått sitt namn från matematikern Leonhard Euler. Konstanten är irrationell, vilket innebär att den har en icke-periodisk oändlig decimalutveckling.

e=2.7182818284…e=2.7182818284\ldots

Talet ee är användbart när man deriverar exponentialfunktioner. Framförallt eftersom exe^x är sin egen derivata, dvs.

f′(x)=exomf(x)=ex. f'(x)=e^x \quad \text{om} \quad f(x)=e^x.
Begrepp

Naturliga logaritmen

Den naturliga logaritmen, som skrivs ln⁡,\ln, är en logaritm med basen ee. Det innebär att ln⁡\ln av ett tal är den exponent som ee ska upphöjas till för att få talet.

x=ln⁡(y)⇔y=exx=\ln(y) \quad \Leftrightarrow \quad y=e^x

För att skriva talet ee på räknaren trycker man på ee-knappen (2nd + ÷\div). Trycker man ENTER skrivs värdet av talet ut med 1010 gällande siffror.

Talet e

För att skriva potenser med ee som bas kan man trycka på ee^-knappen (2nd + LN). Då skrivs ee^ samt en parentes ut. Exempelvis skulle e5e^{5} kunna räknas ut med hjälp av denna knapp.

Uträkning med e
Digitala verktyg

Naturliga logaritmen

För att utföra beräkningar med den naturliga logaritmen, ln⁡,\ln, trycker man på LN-knappen. Då får man en vänsterparentes. Sedan skriver man in argumentet och avslutar med en högerparentes.

Naturliga logaritmen ln på TI-räknare
Regel

Grundläggande samband för naturliga logaritmen

Ur definitionen av naturliga logaritmen får man två samband som är bra att känna till. De kan tolkas som att "naturliga logaritmen av" och "ee upphöjt till" tar ut varandra.

Regel
eln⁡(a)=ae^{\ln(a)}=a

Om en naturlig logaritm, ln⁡(a)\ln(a), sitter som exponent på ee kan man direkt bestämma värdet av potensen genom att läsa av logaritmens argument, dvs. aa.

Samband mellan potenser med basen e och naturliga logaritmer
Man kan endast logaritmera positiva tal. Det finns ju inget tal man kan upphöja ee till så att potensen blir 00 eller negativ. Denna identitet gäller alltså endast när a>0a > 0.

Regel
ln⁡(ea)=a\ln\left(e^a\right)=a
Tar man naturliga logaritmen av en potens med basen ee blir resultatet lika med exponenten i denna potens. Detta är den praktiska tolkningen av definitionen av en naturlig logaritm.
Samband mellan naturliga logaritmer och potenser med basen e
Regel

Potensregel för naturliga logaritmen

Räkneregler för naturliga logaritmen motsvarar de för tiologaritmen.

Regel
ln⁡(ab)=b⋅ln⁡(a)\ln\left(a^b\right)=b\cdot \ln(a)
Logaritmen av en potens kan skrivas om genom att exponenten flyttas ner.
ln⁡(74)\ln\left(7^4\right)
a=eln⁡(a)a = e^{\ln(a)}
ln⁡((eln⁡7)4)\ln\left(\left(e^{\ln 7}\right)^4\right)
(ab)c=ab⋅c \left(a^{b}\right)^{c}=a^{b\cdot c}
ln⁡(eln⁡(7)⋅4)\ln\left(e^{\ln(7)\cdot4}\right)
ln⁡(ea)=a \ln\left(e^a\right) = a
ln⁡(7)⋅4\ln(7)\cdot4
Omarrangera faktorer
4⋅ln⁡(7)4 \cdot \ln(7)
Regeln gäller endast för positiva aa och reella b.b.
Regel

Regler för naturliga logaritmen

Räknereglerna för den naturliga logaritmen motsvarar de som finns för tiologaritmen.

Regel
ln⁡(ab)=b⋅ln⁡(a)\ln\left(a^b\right)=b\cdot \ln(a)
Logaritmen av en potens kan skrivas om genom att exponenten flyttas ner.
ln⁡(74)\ln\left(7^4\right)
a=eln⁡(a)a = e^{\ln(a)}
ln⁡((eln⁡7)4)\ln\left(\left(e^{\ln 7}\right)^4\right)
(ab)c=ab⋅c \left(a^{b}\right)^{c}=a^{b\cdot c}
ln⁡(eln⁡(7)⋅4)\ln\left(e^{\ln(7)\cdot4}\right)
ln⁡(ea)=a \ln\left(e^a\right) = a
ln⁡(7)⋅4\ln(7)\cdot4
Omarrangera faktorer
4⋅ln⁡(7)4 \cdot \ln(7)
Regeln gäller endast för positiva aa och reella b.b.

Regel
ln⁡(ab)=ln⁡(a)+ln⁡(b)\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)
Logaritmen av en produkt kan skrivas som summan av logaritmerna av faktorerna.
ln⁡(3⋅2)\ln(3\cdot2)
a=eln⁡(a)a = e^{\ln(a)}
ln⁡(eln⁡(3)⋅eln⁡(2))\ln\left(e^{\ln(3)}\cdot e^{\ln(2)}\right)
ab⋅ac=ab+c a^{b}\cdot{a}^{c}=a^{b+c}
ln⁡(eln⁡(3)+ln⁡(2))\ln\left(e^{\ln(3)+\ln(2)}\right)
ln⁡(ea)=a \ln\left(e^a\right) = a
ln⁡(3)+ln⁡(2)\ln(3)+\ln(2)
Regeln gäller endast för positiva aa och b.b.

Regel
ln⁡(ab)=ln⁡(a)−ln⁡(b)\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)
Logaritmen av en kvot kan skrivas om som differensen mellan logaritmerna av täljaren och nämnaren.
ln⁡(73)\ln\left(\dfrac{7}{3}\right)
a=eln⁡(a)a = e^{\ln(a)}
ln⁡(eln⁡(7)eln⁡(3))\ln\left(\dfrac{e^{\ln(7)}}{e^{\ln(3)}}\right)
abac=ab−c \dfrac{a^b}{a^c}= a^{b-c}
ln⁡(eln⁡(7)−ln⁡(3))\ln\left(e^{\ln(7)-\ln(3)}\right)
ln⁡(ea)=a \ln\left(e^a\right) = a
ln⁡(7)−ln⁡(3)\ln(7)-\ln(3)
Regeln gäller för endast för positiva aa och b.b.
Uppgift

Lös följande ekvationer: 6ex=12ochln⁡(x)5=13. 6e^x=12 \quad \text{och} \quad \dfrac{\ln(x)}{5}=13.

Lösning
Vi börjar med den första ekvationen, som är en exponentialekvation med basen ee. Först delar vi båda led med 66 för att få exe^x ensamt och sedan logaritmerar vi båda sidor med den naturliga logaritmen. Då kan vi använda att "ln⁡\ln" och "ee upphöjt till" tar ut varandra.
6ex=126e^x=12
VLundefined6=HLundefined6\left.\text{VL}\middle/6\right.=\left.\text{HL}\middle/6\right.
ex=2e^x=2
ln⁡(VL)=ln⁡(HL)\ln(\text{VL})=\ln(\text{HL})
ln⁡(ex)=ln⁡(2)\ln\left(e^x\right)=\ln(2)
ln⁡(ea)=a \ln\left(e^a\right) = a
x=ln⁡(2)x=\ln(2)

Lösningen på den första ekvationen är x=ln⁡(2).x=\ln(2). Lägg märke till att vi löste den på motsvarande sätt som när man använder tiologaritmer för att lösa exponentialekvationer med basen 10.10. I den andra ekvationen löser vi ut ln⁡(x)\ln(x) och sätter sedan båda led som exponenter på basen e.e. Då kan vi lösa ut xx på liknande sätt som i förra ekvationen.

ln⁡(x)5=13\dfrac{\ln(x)}{5}=13
VL⋅5=HL⋅5\text{VL} \cdot 5=\text{HL}\cdot 5
ln⁡(x)=65\ln(x)=65
eVL=eHLe^{\text{VL}}=e^{\text{HL}}
eln⁡(x)=e65e^{\ln(x)}=e^{65}
eln⁡(a)=ae^{\ln(a)}= a
x=e65x=e^{65}

Lösningen på logaritmekvationen är x=e65.x=e^{65}. Denna lösningsmetod motsvarar sättet man löser logaritmekvationer med tiologaritmer.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna uttrycken med räknare och svara med 22 decimaler.

a

e4e^4

b

e0.5e^{0.5}

c

3e23e^2

d

7e7e

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna uttrycken med räknare och svara med två decimaler.

a

ln⁡(11)\ln(11)

b

ln⁡(123456789)\ln(123456789)

c

ln⁡(150000)2\dfrac{\ln(150000)}{2}

d

ln⁡(0.1)\ln(0.1)

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm utan räknare.

a

eln⁡(35)e^{\ln(35)}

b

ln⁡(e7)\ln\left(e^{7}\right)

c

eln⁡(2935)e^{\ln(2935)}

d

ln⁡(e3.14)\ln\left(e^{3.14}\right)

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a
Skriv 99 som en potens med basen e.e.
b
Skriv 154154 som en potens med basen e.e.
c
Skriv 19731973 som en naturlig logaritm.
d
Skriv -5\text{-}5 som en naturlig logaritm.
1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm f(6)f(6) för funktionerna. Svara exakt.

a

f(x)=e2xf(x) = e^{2x}

b

f(x)=ln⁡(7x3)f(x) = \ln \left( \dfrac{7x}{3} \right)

c

f(x)=3ex/64f(x) = \dfrac{3e^{x/6}}{4}

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm f(3)f(3) till två gällande siffror.

a

f(x)=4ex/3f(x)=4e^{x/3}

b

f(x)=ln⁡(x12)f(x)=\ln\left(\dfrac{x}{12}\right)

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv uttrycken som en enda logaritm.

a

ln⁡(7)+ln⁡(8)\ln(7)+\ln(8)

b

ln⁡(5)+ln⁡(5)\ln(5)+\ln(5)

c

ln⁡(36)−ln⁡(6)\ln(36)-\ln(6)

d

2ln⁡(3)2\ln(3)

1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna och svara exakt.

a

ex=4e^x=4

b

7ex=497e^x=49

1.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna. Svara både exakt och avrundat till två decimaler.

a

ln⁡(x)=2\ln(x) = 2

b

3ln⁡(x)=273\ln(x) = 27

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Man vet att e1.4≈4.e^{1.4}\approx 4. Bestäm ett närmevärde till följande tal utan att använda räknare. Svara med 11 decimal.

a

ln⁡(4)\ln(4)

b

ln⁡(16)\ln(16)

c

ln⁡(16e2)\ln\left(16e^2\right)

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv uttrycken som en enda logaritm.

a

2(ln⁡(6)+ln⁡(2))2\left(\ln\left(6\right)+\ln\left(2\right)\right)

b

12(ln⁡(16)−ln⁡(4))\dfrac{1}{2}\left(\ln\left(16\right)-\ln(4)\right)

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Grafen visar funktionen till y=ex.y=e^x.

Använd grafen när du löser uppgifterna.

a
Uppskatta lösningen till ekvationen ex=8.e^x=8. Avrunda ditt svar till heltal.
b
Visa att e≈2.7.e\approx 2.7.
2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös följande ekvationer och svara exakt.

a
e3x=3e^{3x}=3
b
ex−6=16e^{x-6}=\dfrac{1}{6}
c
ln⁡(x+3)=1\ln(x+3)=1
d
ln⁡(x−3)=-1\ln(x-3)=\text{-} 1
2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna och svara exakt.

a
e2x=5e^{2x}=5
b
5exundefined2=105e^{\left.x\middle/2\right.}=10
c
ln⁡(x2)=5\ln\left(\dfrac{x}{2}\right)=5
d
ln⁡(2undefinedx)5=2\dfrac{\ln\left(\left.2\middle/x\right.\right)}{5}=2
2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa att ln⁡(100)2=ln⁡(10).\dfrac{\ln(100)}{2} = \ln(10).

2.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förklara varför -48\text{-}48 inte kan skrivas som en potens med basen e.e.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna och svara exakt.

a
ln⁡(x2+8x+17)=0\ln\left(x^2+8x+17\right)=0

e-ln⁡(x)=ln⁡(2)e^{\text{-} \ln(x)}=\ln(2)

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Exponentialfunktionen f(x)=160.25xf(x)=16^{0.25x} kan skrivas om på formen f(x)=ekx.f(x)= e^{kx}. Bestäm kk och svara exakt.

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Talet ee kan definieras med gränsvärdet e=lim⁡x→∞(1+1x)x. e = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{x} \right)^{x}. Använd detta gränsvärde för att bestämma ee med 22 decimalers noggrannhet.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace {{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}