Talet e

Allt vi behöver göra för att bestämma potensen är att slå in den på en räknare. Vi använder knappen e^ (2nd + LN), vilket skriver ut e^ samt en startparentes. Sedan skriver vi in 4, följt av en avslutande parentes och trycker på ENTER.

Avrundat till två decimaler blir det 54.60.

Vi gör på samma sätt och slår in uttrycket på räknaren.

Avrundat blir detta 1.65.

Den här gången multiplicerar vi potensen med 3 men annars gör vi på samma sätt som tidigare.

Vi avrundar detta till 22.17.

I det här fallet finns det ingen potens utan uttrycket är bara talet 7 multiplicerat med talet e. För att skriva in enbart e, utan någon potens, använder man knappen e (2nd + ÷).

Vi avrundar till sist och får 19.03.

För att beräkna uttrycket behöver vi bara slå in det på räknaren. Det gör vi med hjälp av knappen LN på räknaren, som skriver ut ln samt börjar en parentes. Efter det skriver vi in 11, avslutar parentesen och trycker på ENTER.

Vi avrundar sedan detta, vilket ger 2.40.

Vi gör på samma sätt med det här uttrycket och skriver in det på räknaren.

Efter vi har avrundat detta får vi 18.63.

Den här gången måste vi även dividera logaritmen med 2, men annars gör vi på samma sätt.

Avrundat blir detta 5.96.

Som i de tidigare uppgifterna skriver vi in uttrycket på räknaren.

Till slut avrundar vi detta till - 2.30.

ln(35) är det tal man ska höja upp e till för att det ska bli 35. Om man då höjer upp e till ln(35) får man därför 35, dvs. e^(ln(35))=35. Man använder alltså sambandet e^(ln(a))= a.

ln(e^7) är det tal man ska höja upp e till för att det ska bli e^7. Det måste ju vara 7. Därför är ln(e^7)=7. Man använder alltså sambandet ln(e^a) = a.

Här använder vi samma princip som i a-uppgiften. "e upphöjt till" och "ln" tar ut varandra, vilket betyder att e^(ln(2935))=2935.

Vi fortsätter på samma sätt. Det spelar ingen roll att det är ett decimaltal i exponenten: ln(e^(3.14))=3.14.

Vi ska alltså bestämma vad man ska höja upp basen e med för att få talet 9. Enligt definitionen av den naturliga logaritmen är detta tal ln(9). Det betyder att 9=e^(ln(9)). Generellt gäller alltid att a = e^(ln(a)), så länge a > 0.

Vi gör på samma sätt här. Man kan tänka att "e upphöjt till" och "ln" tar ut varandra och då får man 154=e^(ln(154)).

Även här kan vi använda att "e upphöjt till" och "ln" tar ut varandra, men på andra hållet. Den naturliga logaritmen av ett tal är det tal som e ska upphöjas till för att bli talet. Det betyder att 1973=ln(e^(1973)), eftersom e ska upphöjas till just 1973 för att bli e^(1973). Generellt gäller att a=ln(e^a), om a är reellt.

Vi kan använda samma regel här. Det spelar ingen roll att talet är negativt: -5=ln(e^(-5)).

Vi sätter in x = 6 i funktionsuttrycket och förenklar.

Man kan inte förenkla detta vidare, vilket innebär att vi måste ha e kvar i uttrycket om man ska svara exakt. Vi får alltså det exakta svaret f(6) = e^(12).

Vi gör på samma sätt med den här funktionen.

På liknande sätt som i förra deluppgiften måste vi använda ln för att skriva svaret exakt. Svaret är alltså f(6) = ln(14).

Vi sätter in x = 6 och förenklar igen.

För att bestämma f(3) sätter vi in x=3 i funktionen och beräknar.

På samma sätt sätter vi in x=3 i funktionen och beräknar.

När två logaritmer adderas kan man förenkla uttrycket genom att multiplicera argumenten. Man använder alltså logaritmlagen för multiplikation baklänges.

Här kan vi använda samma regel igen, vilket ger ln(5) + ln(5) = ln(5*5) = ln(25). Vi kan dock göra det på ett annat sätt också. Då adderar vi först logaritmerna och använder sedan logaritmlagen för potenser för att flytta upp det som står framför logaritmen till exponenten för det som står innanför.

När två logaritmer subtraheras kan man förenkla uttrycket genom att dividera argumenten.Man använder alltså logaritmlagen för division baklänges.

Om det finns en koefficient framför en logaritm kan man flytta upp den som exponent för argumentet som står innanför logaritmen. Man använder alltså logaritmlagen för potenser baklänges.

För att få x ensamt kan vi logaritmera båda led med den naturliga logaritmen. Då kan vi använda att "ln" och "e upphöjt till" tar ut varandra på motsvarande sätt som "lg" och "10 upphöjt till" tar ut varandra då man löser exponentialekvationer med basen 10.

Lösningen till ekvationen är x=ln(4). Vi skulle kunna beräkna logaritmen med räknaren, men eftersom vi ska svara exakt behåller vi svaret som det är.

Vi gör på samma sätt här, men innan vi logaritmerar måste vi få e^x ensamt genom att dividera båda led med 7.

Ekvationens lösning är alltså x=ln(7).

För att lösa ut x sätter vi båda led som exponenter på basen e.

Lösningen är x=e^2 och kan avrundas till 7.39.

Innan vi kan sätta båda led som exponenter på basen e löser vi ut ln(x) genom att dela båda sidor med 3.