Talet e: Den naturliga logaritmen

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Talet e
Naturliga logaritmen
Grundläggande samband för naturliga logaritmen
Potensregel för naturliga logaritmen
Regler för naturliga logaritmen

Förkunskaper

Konstant
Irrationell
Logaritm
Tiologaritm

Koncept

Talet $e$

Talet $e$ är en matematisk konstant som fått sitt namn från matematikern Leonhard Euler. Konstanten är irrationell, vilket innebär att den har en icke-periodisk oändlig decimalutveckling.

$e = 2, 7182818284 \dots$

Talet utgör bas för den naturliga logaritmen.

Koncept

Naturliga logaritmen

Den naturliga logaritmen, som skrivs $ln,$ är en logaritm med basen $e$ . Det innebär att $ln$ av ett tal är den exponent som $e$ ska upphöjas till för att få talet.

$x = ln (y) \Leftrightarrow y = e^{x}$

Digitala verktyg

Talet $e$ på räknare

För att skriva talet $e$ på räknaren trycker man på $e -$ knappen ( $2 nd$ + $\div$ ). Trycker man ENTER skrivs värdet av talet ut med $10$ gällande siffror.

För att skriva potenser med $e$ som bas kan man trycka på $e$ ^-knappen (2nd + LN). Då skrivs $e$ ^ samt en parentes ut. Exempelvis skulle $e^{5}$ kunna räknas ut med hjälp av denna knapp.

Digitala verktyg

Logaritmer på räknare

Hur man beräknar logaritmer med räknaren beror på vilken bas logaritmen har.

Naturliga logaritmen

För att utföra beräkningar med den naturliga logaritmen, $ln,$ trycker man på $LN -$ knappen. Då får man en vänsterparentes. Sedan skriver man in argumentet och avslutar med en högerparentes.

Regel

Grundläggande samband för naturliga logaritmen

Ur definitionen av naturliga logaritmen får man två samband som är bra att känna till. De kan tolkas som att naturliga logaritmen av och

e

upphöjt till tar ut varandra.

Regel

e^{l n (a)} = a

Om en naturlig logaritm, $ln (a)$ , sitter som exponent på $e$ kan man direkt bestämma värdet av potensen genom att läsa av logaritmens argument, dvs. $a .$

Samband mellan potenser med basen e och naturliga logaritmer

Man kan endast logaritmera positiva tal. Det finns ju inget tal man kan upphöja

e

till så att potensen blir

0

eller negativ. Denna identitet gäller alltså endast när

a > 0 .

Regel

ln (e^{a}) = a

Tar man naturliga logaritmen av en potens med basen

e

blir resultatet lika med exponenten i denna potens. Detta är den praktiska tolkningen av definitionen av en naturlig logaritm.

Samband mellan naturliga logaritmer och potenser med basen e

Exempel

Lös ekvationer med $e$ och $ln$

Lös följande ekvationer.

6 e^{x} = 12

\frac{ln ( x )}{5} = 13

Ledtråd

a Ta

ln

på båda sidor av den ekvationen.

b Använd olika kända logaritmlagar för att lösa den ekvationen.

Lösning

a Vi börjar med den första ekvationen, som är en exponentialekvation med basen

e

. Först delar vi båda led med

6

för att få

e^{x}

ensamt och sedan logaritmerar vi båda sidor med den naturliga logaritmen. Då kan vi använda att

ln

och

e

upphöjt till tar ut varandra.

6 e^{x} = 12

DivEqn

$VL / 6 = HL / 6$

e^{x} = 2

LnEqn

$ln (VL) = ln (HL)$

ln (e^{x}) = ln (2)

LnId

$ln (e^{a}) = a$

x = ln (2)

Lösningen på den första ekvationen är

x = ln (2) .

Lägg märke till att vi löste den på motsvarande sätt som när man använder tiologaritmer för att lösa exponentialekvationer med basen

10 .

b I den andra ekvationen löser vi ut

ln (x)

och sätter sedan båda led som exponenter på basen

e .

Då kan vi lösa ut

x

på liknande sätt som i förra ekvationen.

\frac{ln ( x )}{5} = 13

MultEqn

$VL \cdot 5 = HL \cdot 5$

ln (x) = 65

BaseEEqn

$e^{VL} = e^{HL}$

e^{l n (x)} = e^{65}

LnIdII

$e^{l n (a)} = a$

x = e^{65}

Lösningen på logaritmekvationen är

x = e^{65} .

Denna lösningsmetod motsvarar sättet man löser logaritmekvationer med tiologaritmer.

Regel

Potensregel för naturliga logaritmen

Räkneregler för naturliga logaritmen motsvarar de för tiologaritmen.

Regel

ln (a^{b}) = b \cdot ln (a)

Logaritmen av en potens kan skrivas om genom att exponenten flyttas ner.

ln (7^{4})

NumberToBaseE

$a = e^{l n (a)}$

ln ((e^{l n 7})^{4})

PowPow

$(a^{b})^{c} = a^{b \cdot c}$

ln (e^{l n (7) \cdot 4})

LnId

$ln (e^{a}) = a$

ln (7) \cdot 4

RearrangeFac

Omarrangera faktorer

4 \cdot ln (7)

Regeln gäller endast för positiva

a

och reella

b .

Regel

Regler för naturliga logaritmen

Räknereglerna för den naturliga logaritmen motsvarar de som finns för tiologaritmen.

Regel

ln (a^{b}) = b \cdot ln (a)

Logaritmen av en potens kan skrivas om genom att exponenten flyttas ner.

ln (7^{4})

NumberToBaseE

$a = e^{l n (a)}$

ln ((e^{l n 7})^{4})

PowPow

$(a^{b})^{c} = a^{b \cdot c}$

ln (e^{l n (7) \cdot 4})

LnId

$ln (e^{a}) = a$

ln (7) \cdot 4

RearrangeFac

Omarrangera faktorer

4 \cdot ln (7)

Regeln gäller endast för positiva

a

och reella

b .

Regel

ln (a b) = ln (a) + ln (b)

Logaritmen av en produkt kan skrivas som summan av logaritmerna av faktorerna.

ln (3 \cdot 2)

NumberToBaseE

$a = e^{l n (a)}$

ln (e^{l n (3)} \cdot e^{l n (2)})

MultPow

$a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}$

ln (e^{l n (3) + l n (2)})

LnId

$ln (e^{a}) = a$

ln (3) + ln (2)

Regeln gäller endast för positiva

a

och

b .

Regel

ln (\frac{a}{b}) = ln (a) - ln (b)

Logaritmen av en kvot kan skrivas om som differensen mellan logaritmerna av täljaren och nämnaren.

ln (\frac{7}{3})

NumberToBaseE

$a = e^{l n (a)}$

ln (\frac{e ^{l n (7)}}{e ^{l n (3)}})

DivPow

$\frac{a ^{b}}{a ^{c}} = a^{b - c}$

ln (e^{l n (7) - l n (3)})

LnId

$ln (e^{a}) = a$

ln (7) - ln (3)

Regeln gäller för endast för positiva

a

och

b .

Exempel

Lös ekvationer med hjälp av logaritmlagar

Lös följande ekvationer med hjälp av logaritmlagar.

ln (x) + ln (x + 3) = ln (10)

2 ln (x) - ln (5) = ln (20)

Ledtråd

a Använd regeln för att addera naturliga logaritmer.

b Använd potensregeln och regeln för differensen av logaritmer.

Lösning

a Börja med att analysera den första ekvationen.

ln (x) + ln (x + 3) = ln (10)

Först, använd regeln för att addera naturliga logaritmer. Nästa steg är att sätta logaritmernas argument lika med varandra.

ln (x) + ln (x + 3) = ln (10)

LnAdd

$ln (a) + ln (b) = ln (a b)$

ln (x (x + 3)) = ln (10)

BaseEEqn

$e^{VL} = e^{HL}$

e^{l n (x (x + 3))} = e^{l n (10)}

LnIdII

$e^{l n (a)} = a$

x (x + 3) = 10

Distr

Multiplicera in $x$

x^{2} + 3 x = 10

SubEqn

$VL - 10 = HL - 10$

x^{2} + 3 x - 10 = 0

Avslutningsvis, lös andragradsekvationen.

x^{2} + 3 x - 10 = 0

▼

Lös ut

x

UsePQ

Använd $p q$ -formeln: $p = 3, q = - 10$

x = - \frac{3}{2} \pm (\frac{3}{2})^{2} - (- 10)

AddTerms

Addera termer

x = - \frac{3}{2} \pm (\frac{3}{2})^{2} + 10

CalcPow

Beräkna potens

x = - \frac{3}{2} \pm \frac{9}{4} + 10

NumberToFrac

$a = \frac{4 \cdot a}{4}$

x = - \frac{3}{2} \pm \frac{9}{4} + \frac{4 0}{4}

AddFrac

Addera bråk

x = - \frac{3}{2} \pm \frac{4 9}{4}

CalcRoot

Beräkna rot

x = - \frac{3}{2} \pm \frac{7}{2}

AddSubFrac

Lägg ihop bråk

x_{1} = \frac{4}{2} x_{2} = - \frac{1 0}{2}

CalcQuot

Beräkna kvot

x_{1} = 2 x_{2} = - 5

Lösningarna till ekvationen är

2

och

- 5 .

b Analysera den andra givna ekvationen.

2 ln (x) - ln (5) = ln (20)

Börja med att använda potensregeln och regeln för differensen av logaritmer.

2 ln (x) - ln (5) = ln (20)

MultLnToPow

$b \cdot ln (a) = ln (a^{b})$

ln (x^{2}) - ln (5) = ln (20)

LnSub

$ln (a) - ln (b) = ln (\frac{a}{b})$

ln (\frac{x ^{2}}{5}) = ln (20)

BaseEEqn

$e^{VL} = e^{HL}$

e^{l n (\frac{x ^{2}}{5})} = e^{l n (20)}

LnIdII

$e^{l n (a)} = a$

\frac{x ^{2}}{5} = 20

MultEqn

$VL \cdot 5 = HL \cdot 5$

x^{2} = 100

SqrtEqn

$VL = HL$

x = \pm 10

Därför är lösningarna till ekvationen

10

och

- 10 .

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}

Förkunskaper

Naturliga logaritmen

Regel

Regel

Ledtråd

Lösning

Regel

Regel

Regel

Regel

Ledtråd

Lösning