Talet e

Talet $e$ är en matematisk konstant som fått sitt namn från matematikern Leonhard Euler. Konstanten är irrationell, vilket innebär att den har en icke-periodisk oändlig decimalutveckling.

$e=2.7182818284\ldots$

Talet $e$ är användbart när man deriverar exponentialfunktioner. Framförallt eftersom $e^x$ är sin egen derivata, dvs.

f'(x)=e^x \quad \text{om} \quad f(x)=e^x.

Begrepp

Naturliga logaritmen

Den naturliga logaritmen, som skrivs $\ln,$ är en logaritm med basen $e$ . Det innebär att $\ln$ av ett tal är den exponent som $e$ ska upphöjas till för att få talet.

$x=\ln(y) \quad \Leftrightarrow \quad y=e^x$

Talet

e

på räknare

För att skriva talet $e$ på räknaren trycker man på $e$ -knappen (2nd + $\div$ ). Trycker man ENTER skrivs värdet av talet ut med $10$ gällande siffror.

För att skriva potenser med $e$ som bas kan man trycka på $e$ ^-knappen (2nd + LN). Då skrivs $e$ ^ samt en parentes ut. Exempelvis skulle $e^{5}$ kunna räknas ut med hjälp av denna knapp.

Logaritmer på räknare

Digitala verktyg

Naturliga logaritmen

För att utföra beräkningar med den naturliga logaritmen, $\ln,$ trycker man på LN-knappen. Då får man en vänsterparentes. Sedan skriver man in argumentet och avslutar med en högerparentes.

Regel

Grundläggande samband för naturliga logaritmen

Ur definitionen av naturliga logaritmen får man två samband som är bra att känna till. De kan tolkas som att "naturliga logaritmen av" och " $e$ upphöjt till" tar ut varandra.

Regel
$e^{\ln(a)}=a$

Om en naturlig logaritm, $\ln(a)$ , sitter som exponent på $e$ kan man direkt bestämma värdet av potensen genom att läsa av logaritmens argument, dvs. $a$ .

Samband mellan potenser med basen e och naturliga logaritmer

Man kan endast logaritmera positiva tal. Det finns ju inget tal man kan upphöja

e

till så att potensen blir

0

eller negativ. Denna identitet gäller alltså endast när

a > 0

.

Regel
$\ln\left(e^a\right)=a$

Tar man naturliga logaritmen av en potens med basen

e

blir resultatet lika med exponenten i denna potens. Detta är den praktiska tolkningen av definitionen av en naturlig logaritm.

Samband mellan naturliga logaritmer och potenser med basen e

Regel

Potensregel för naturliga logaritmen

Räkneregler för naturliga logaritmen motsvarar de för tiologaritmen.

Regel
$\ln\left(a^b\right)=b\cdot \ln(a)$

Logaritmen av en potens kan skrivas om genom att exponenten flyttas ner.

\ln\left(7^4\right)

a = e^{\ln(a)}

\ln\left(\left(e^{\ln 7}\right)^4\right)

\left(a^{b}\right)^{c}=a^{b\cdot c}

\ln\left(e^{\ln(7)\cdot4}\right)

\ln\left(e^a\right) = a

\ln(7)\cdot4

Omarrangera faktorer

4 \cdot \ln(7)

Regeln gäller endast för positiva

a

och reella

b.

Regel

Regler för naturliga logaritmen

Räknereglerna för den naturliga logaritmen motsvarar de som finns för tiologaritmen.

Regel
$\ln\left(a^b\right)=b\cdot \ln(a)$

Logaritmen av en potens kan skrivas om genom att exponenten flyttas ner.

\ln\left(7^4\right)

a = e^{\ln(a)}

\ln\left(\left(e^{\ln 7}\right)^4\right)

\left(a^{b}\right)^{c}=a^{b\cdot c}

\ln\left(e^{\ln(7)\cdot4}\right)

\ln\left(e^a\right) = a

\ln(7)\cdot4

Omarrangera faktorer

4 \cdot \ln(7)

Regeln gäller endast för positiva

a

och reella

b.

Regel
$\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$

Logaritmen av en produkt kan skrivas som summan av logaritmerna av faktorerna.

\ln(3\cdot2)

a = e^{\ln(a)}

\ln\left(e^{\ln(3)}\cdot e^{\ln(2)}\right)

a^{b}\cdot{a}^{c}=a^{b+c}

\ln\left(e^{\ln(3)+\ln(2)}\right)

\ln\left(e^a\right) = a

\ln(3)+\ln(2)

Regeln gäller endast för positiva

a

och

b.

Regel
$\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)$

Logaritmen av en kvot kan skrivas om som differensen mellan logaritmerna av täljaren och nämnaren.

\ln\left(\dfrac{7}{3}\right)

a = e^{\ln(a)}

\ln\left(\dfrac{e^{\ln(7)}}{e^{\ln(3)}}\right)

\dfrac{a^b}{a^c}= a^{b-c}

\ln\left(e^{\ln(7)-\ln(3)}\right)

\ln\left(e^a\right) = a

\ln(7)-\ln(3)

Regeln gäller för endast för positiva

a

och

b.

Lös ekvationer med $e$ och $\ln$

Uppgift

Lös följande ekvationer: $6e^x=12 \quad \text{och} \quad \dfrac{\ln(x)}{5}=13.$

Lösning

Vi börjar med den första ekvationen, som är en exponentialekvation med basen $e$ . Först delar vi båda led med $6$ för att få $e^x$ ensamt och sedan logaritmerar vi båda sidor med den naturliga logaritmen. Då kan vi använda att " $\ln$ " och " $e$ upphöjt till" tar ut varandra.

6e^x=12

\left.\text{VL}\middle/6\right.=\left.\text{HL}\middle/6\right.

e^x=2

\ln(\text{VL})=\ln(\text{HL})

\ln\left(e^x\right)=\ln(2)

\ln\left(e^a\right) = a

x=\ln(2)

Lösningen på den första ekvationen är $x=\ln(2).$ Lägg märke till att vi löste den på motsvarande sätt som när man använder tiologaritmer för att lösa exponentialekvationer med basen $10.$ I den andra ekvationen löser vi ut $\ln(x)$ och sätter sedan båda led som exponenter på basen $e.$ Då kan vi lösa ut $x$ på liknande sätt som i förra ekvationen.

\dfrac{\ln(x)}{5}=13

\text{VL} \cdot 5=\text{HL}\cdot 5

\ln(x)=65

e^{\text{VL}}=e^{\text{HL}}

e^{\ln(x)}=e^{65}

e^{\ln(a)}= a

x=e^{65}

Lösningen på logaritmekvationen är $x=e^{65}.$ Denna lösningsmetod motsvarar sättet man löser logaritmekvationer med tiologaritmer.

Visa lösning

Talet e

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Naturliga logaritmen

Digitala verktyg

Digitala verktyg

Naturliga logaritmen

Grundläggande samband för naturliga logaritmen

Regel

Regel

Potensregel för naturliga logaritmen

Regel

Regler för naturliga logaritmen

Regel

Regel

Regel

Exempel

Lös ekvationer med $e$ och $\ln$

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

Regler för derivator

Digitala verktyg

Digitala verktyg

Regel

Regel

Regel

Regel

Regel

Regel

Exempel

Lös ekvationer med eee och ln⁡\lnln

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

Lös ekvationer med $e$ och $\ln$