Talet e

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Talet ee är en matematisk konstant som fått sitt namn från matematikern Leonhard Euler. Konstanten är irrationell, vilket innebär att den har en icke-periodisk oändlig decimalutveckling.

e=2.7182818284e=2.7182818284\ldots

Talet ee är användbart när man deriverar exponentialfunktioner. Framförallt eftersom exe^x är sin egen derivata, dvs.

f(x)=exomf(x)=ex. f'(x)=e^x \quad \text{om} \quad f(x)=e^x.
Begrepp

Naturliga logaritmen

Den naturliga logaritmen, som skrivs ln,\ln, är en logaritm med basen ee. Det innebär att ln\ln av ett tal är den exponent som ee ska upphöjas till för att få talet.

x=ln(y)y=exx=\ln(y) \quad \Leftrightarrow \quad y=e^x

Regel

Grundläggande samband för naturliga logaritmen

Ur definitionen av naturliga logaritmen får man två samband som är bra att känna till. De kan tolkas som att "naturliga logaritmen av" och "ee upphöjt till" tar ut varandra.

Regel

eln(a)=ae^{\ln(a)}=a

Regel

ln(ea)=a\ln\left(e^a\right)=a
Regel

Potensregel för naturliga logaritmen

Räkneregler för naturliga logaritmen motsvarar de för tiologaritmen.

Regel

ln(ab)=bln(a)\ln\left(a^b\right)=b\cdot \ln(a)
Regel

Regler för naturliga logaritmen

Räknereglerna för den naturliga logaritmen motsvarar de som finns för tiologaritmen.

Regel

ln(ab)=bln(a)\ln\left(a^b\right)=b\cdot \ln(a)

Regel

ln(ab)=ln(a)+ln(b)\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)

Regel

ln(ab)=ln(a)ln(b)\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)
Uppgift

Lös följande ekvationer: 6ex=12ochln(x)5=13. 6e^x=12 \quad \text{och} \quad \dfrac{\ln(x)}{5}=13.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna uttrycken med räknare och svara med 22 decimaler.

a

e4e^4

b

e0.5e^{0.5}

c

3e23e^2

d

7e7e

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna uttrycken med räknare och svara med två decimaler.

a

ln(11)\ln(11)

b

ln(123456789)\ln(123456789)

c

ln(150000)2\dfrac{\ln(150000)}{2}

d

ln(0.1)\ln(0.1)

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm utan räknare.

a

eln(35)e^{\ln(35)}

b

ln(e7)\ln\left(e^{7}\right)

c

eln(2935)e^{\ln(2935)}

d

ln(e3.14)\ln\left(e^{3.14}\right)

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a
Skriv 99 som en potens med basen e.e.
b
Skriv 154154 som en potens med basen e.e.
c
Skriv 19731973 som en naturlig logaritm.
d
Skriv -5\text{-}5 som en naturlig logaritm.
1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm f(6)f(6) för funktionerna. Svara exakt.

a

f(x)=e2xf(x) = e^{2x}

b

f(x)=ln(7x3)f(x) = \ln \left( \dfrac{7x}{3} \right)

c

f(x)=3ex/64f(x) = \dfrac{3e^{x/6}}{4}

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm f(3)f(3) till två gällande siffror.

a

f(x)=4ex/3f(x)=4e^{x/3}

b

f(x)=ln(x12)f(x)=\ln\left(\dfrac{x}{12}\right)

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv uttrycken som en enda logaritm.

a

ln(7)+ln(8)\ln(7)+\ln(8)

b

ln(5)+ln(5)\ln(5)+\ln(5)

c

ln(36)ln(6)\ln(36)-\ln(6)

d

2ln(3)2\ln(3)

1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna och svara exakt.

a

ex=4e^x=4

b

7ex=497e^x=49

1.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna. Svara både exakt och avrundat till två decimaler.

a

ln(x)=2\ln(x) = 2

b

3ln(x)=273\ln(x) = 27

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Man vet att e1.44.e^{1.4}\approx 4. Bestäm ett närmevärde till följande tal utan att använda räknare. Svara med 11 decimal.

a

ln(4)\ln(4)

b

ln(16)\ln(16)

c

ln(16e2)\ln\left(16e^2\right)

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv uttrycken som en enda logaritm.

a

2(ln(6)+ln(2))2\left(\ln\left(6\right)+\ln\left(2\right)\right)

b

12(ln(16)ln(4))\dfrac{1}{2}\left(\ln\left(16\right)-\ln(4)\right)

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Grafen visar funktionen till y=ex.y=e^x.

Använd grafen när du löser uppgifterna.

a
Uppskatta lösningen till ekvationen ex=8.e^x=8. Avrunda ditt svar till heltal.
b
Visa att e2.7.e\approx 2.7.
2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös följande ekvationer och svara exakt.

a
e3x=3e^{3x}=3
b
ex6=16e^{x-6}=\dfrac{1}{6}
c
ln(x+3)=1\ln(x+3)=1
d
ln(x3)=-1\ln(x-3)=\text{-} 1
2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna och svara exakt.

a
e2x=5e^{2x}=5
b
5exundefined2=105e^{\left.x\middle/2\right.}=10
c
ln(x2)=5\ln\left(\dfrac{x}{2}\right)=5
d
ln(2undefinedx)5=2\dfrac{\ln\left(\left.2\middle/x\right.\right)}{5}=2
2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa att ln(100)2=ln(10).\dfrac{\ln(100)}{2} = \ln(10).

2.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förklara varför -48\text{-}48 inte kan skrivas som en potens med basen e.e.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna och svara exakt.

a
ln(x2+8x+17)=0\ln\left(x^2+8x+17\right)=0

e-ln(x)=ln(2)e^{\text{-} \ln(x)}=\ln(2)

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Exponentialfunktionen f(x)=160.25xf(x)=16^{0.25x} kan skrivas om på formen f(x)=ekx.f(x)= e^{kx}. Bestäm kk och svara exakt.

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Talet ee kan definieras med gränsvärdet e=limx(1+1x)x. e = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{x} \right)^{x}. Använd detta gränsvärde för att bestämma ee med 22 decimalers noggrannhet.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }}
keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}