DashboardNyheterInställningarHjälp
Premium
Dashboard
Dashboard Logga ut
3b
Kurs 3b Visa detaljer
5. Talet e
Fortsätt till nästa lektion
Lektion
Uppgifter
Tester
arrow_back
eKurser /
( Ma 3b , Ma 3c ) /
Kapitel 3
5. 

Talet e

Lektionen fokuserar på talet e, en matematisk konstant som är basen för den naturliga logaritmen. Den förklarar begreppet och dess användning inom matematiken, inklusive hur det relaterar till eulers tal och naturliga logaritmer. Sidan ger en översikt över olika regler och lagar som gäller för logaritmer, och hur man kan använda dem i beräkningar. Det finns exempel som illustrerar hur man kan använda talet e i olika matematiska sammanhang, som exponentialfunktioner och derivata. Detta är en lektionen som kan vara användbar för studenter som studerar avancerad matematik och vill förstå detta viktiga koncept.

Visa mer expand_more
Begrepp Modellering Problemlösning Procedur Resonemang och Kommunikation Metod Resonemang Kommunikation
Inställningar & verktyg för lektion
10 sidor teori
19 Uppgifter - Nivå 1 - 3
Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.
Kreditlista Bilder expand_more
Talet e
Sida av 10

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

  • Talet e
  • Naturliga logaritmen
  • Grundläggande samband för naturliga logaritmen
  • Potensregel för naturliga logaritmen
  • Regler för naturliga logaritmen

Förkunskaper
Koncept

Talet e

Talet e är en matematisk konstant som fått sitt namn från matematikern Leonhard Euler. Konstanten är irrationell, vilket innebär att den har en icke-periodisk oändlig decimalutveckling.

e=2,7182818284...

Talet utgör bas för den naturliga logaritmen.
Koncept

Naturliga logaritmen

Den naturliga logaritmen, som skrivs ln, är en logaritm med basen e. Det innebär att ln av ett tal är den exponent som e ska upphöjas till för att få talet.

x=ln(y) ⇔ y=e^x

Digitala verktyg

Talet e på räknare

För att skriva talet e på räknaren trycker man på e-knappen (2nd + ÷). Trycker man ENTER skrivs värdet av talet ut med 10 gällande siffror.

Talet e

För att skriva potenser med e som bas kan man trycka på e^-knappen (2nd + LN). Då skrivs e^ samt en parentes ut. Exempelvis skulle e^5 kunna räknas ut med hjälp av denna knapp.

Uträkning med e
Digitala verktyg

Logaritmer på räknare

Hur man beräknar logaritmer med räknaren beror på vilken bas logaritmen har.


Naturliga logaritmen

För att utföra beräkningar med den naturliga logaritmen, ln, trycker man på LN-knappen. Då får man en vänsterparentes. Sedan skriver man in argumentet och avslutar med en högerparentes.

Naturliga logaritmen ln på TI-räknare
Regel

Grundläggande samband för naturliga logaritmen

Ur definitionen av naturliga logaritmen får man två samband som är bra att känna till. De kan tolkas som att naturliga logaritmen av och e upphöjt till tar ut varandra.

Regel

 e^(ln(a))=a

Om en naturlig logaritm, ln(a), sitter som exponent på e kan man direkt bestämma värdet av potensen genom att läsa av logaritmens argument, dvs. a.

Samband mellan potenser med basen e och naturliga logaritmer
Man kan endast logaritmera positiva tal. Det finns ju inget tal man kan upphöja e till så att potensen blir 0 eller negativ. Denna identitet gäller alltså endast när a > 0.

Regel

 ln(e^a)=a
Tar man naturliga logaritmen av en potens med basen e blir resultatet lika med exponenten i denna potens. Detta är den praktiska tolkningen av definitionen av en naturlig logaritm.
Samband mellan naturliga logaritmer och potenser med basen e
Exempel

Lös ekvationer med e och ln

Lös följande ekvationer.

a 6e^x=12
b ln(x)/5=13

Ledtråd
a Ta ln på båda sidor av den ekvationen.
b Använd olika kända logaritmlagar för att lösa den ekvationen.

Lösning
a Vi börjar med den första ekvationen, som är en exponentialekvation med basen e. Först delar vi båda led med 6 för att få e^x ensamt och sedan logaritmerar vi båda sidor med den naturliga logaritmen. Då kan vi använda att ln och e upphöjt till tar ut varandra.

6e^x=12
DivEqn

.VL /6.=.HL /6.

e^x=2
LnEqn

ln(VL)=ln(HL)

ln(e^x)=ln(2)
LnId

ln(e^a) = a

x=ln(2)

Lösningen på den första ekvationen är x=ln(2). Lägg märke till att vi löste den på motsvarande sätt som när man använder tiologaritmer för att lösa exponentialekvationer med basen 10.

b I den andra ekvationen löser vi ut ln(x) och sätter sedan båda led som exponenter på basen e. Då kan vi lösa ut x på liknande sätt som i förra ekvationen.

ln(x)/5=13
MultEqn

VL * 5=HL* 5

ln(x)=65
BaseEEqn

e^(VL)=e^(HL)

e^(ln(x))=e^(65)
LnIdII

e^(ln(a))= a

x=e^(65)

Lösningen på logaritmekvationen är x=e^(65). Denna lösningsmetod motsvarar sättet man löser logaritmekvationer med tiologaritmer.

Regel

Potensregel för naturliga logaritmen

Räkneregler för naturliga logaritmen motsvarar de för tiologaritmen.

Regel

 ln(a^b)=b* ln(a)

Logaritmen av en potens kan skrivas om genom att exponenten flyttas ner.

ln(7^4)
NumberToBaseE

a = e^(ln(a))

ln((e^(ln 7))^4)
PowPow

(a^b)^c=a^(b* c)

ln(e^(ln(7)*4))
LnId

ln(e^a) = a

ln(7)*4
RearrangeFac

Omarrangera faktorer

4 * ln(7)

Regeln gäller endast för positiva a och reella b.
Regel

Regler för naturliga logaritmen

Räknereglerna för den naturliga logaritmen motsvarar de som finns för tiologaritmen.

Regel

 ln(a^b)=b* ln(a)

Logaritmen av en potens kan skrivas om genom att exponenten flyttas ner.

ln(7^4)
NumberToBaseE

a = e^(ln(a))

ln((e^(ln 7))^4)
PowPow

(a^b)^c=a^(b* c)

ln(e^(ln(7)*4))
LnId

ln(e^a) = a

ln(7)*4
RearrangeFac

Omarrangera faktorer

4 * ln(7)

Regeln gäller endast för positiva a och reella b.

Regel

 ln(ab)=ln(a)+ln(b)

Logaritmen av en produkt kan skrivas som summan av logaritmerna av faktorerna.

ln(3*2)
NumberToBaseE

a = e^(ln(a))

ln(e^(ln(3))* e^(ln(2)))
MultPow

a^b*a^c=a^(b+c)

ln(e^(ln(3)+ln(2)))
LnId

ln(e^a) = a

ln(3)+ln(2)

Regeln gäller endast för positiva a och b.

Regel

 ln(a/b)=ln(a)-ln(b)

Logaritmen av en kvot kan skrivas om som differensen mellan logaritmerna av täljaren och nämnaren.

ln(7/3)
NumberToBaseE

a = e^(ln(a))

ln(e^(ln(7))/e^(ln(3)))
DivPow

a^b/a^c= a^(b-c)

ln(e^(ln(7)-ln(3)))
LnId

ln(e^a) = a

ln(7)-ln(3)

Regeln gäller för endast för positiva a och b.
Exempel

Lös ekvationer med hjälp av logaritmlagar

Lös följande ekvationer med hjälp av logaritmlagar.

a ln(x)+ln(x+3)=ln(10)
b 2ln(x)−ln(5)=ln(20)

Ledtråd
a Använd regeln för att addera naturliga logaritmer.
b Använd potensregeln och regeln för differensen av logaritmer.

Lösning
a Börja med att analysera den första ekvationen.

ln(x)+ln(x+3)=ln(10) Först, använd regeln för att addera naturliga logaritmer. Nästa steg är att sätta logaritmernas argument lika med varandra.

ln(x)+ln(x+3)=ln(10)
LnAdd

ln(a) + ln(b)=ln(ab)

ln(x(x+3))=ln(10)
BaseEEqn

e^(VL)=e^(HL)

e^(ln (x(x+3)))=e^(ln(10))
LnIdII

e^(ln(a))= a

x(x+3)=10
Distr

Multiplicera in x

x^2+3x=10
SubEqn

VL-10=HL-10

x^2+3x-10=0

Avslutningsvis, lös andragradsekvationen.

x^2+3x-10=0
▼
Lös ut x
UsePQ

Använd pq-formeln: p = 3, q= - 10

x=- 3/2± sqrt((3/2)^2-( - 10))
AddTerms

Addera termerna

x=- 3/2± sqrt((3/2)^2+10)
CalcPow

Beräkna potens

x=- 3/2± sqrt(9/4+10)
NumberToFrac

a = 4* a/4

x=- 3/2± sqrt(9/4+40/4)
AddFrac

Addera bråk

x=- 3/2± sqrt(49/4)
CalcRoot

Beräkna rot

x=- 3/2± 7/2
AddSubFrac

Lägg ihop bråk

lx_1= 42 x_2=- 102
CalcQuot

Beräkna kvot

lx_1=2 x_2=- 5

Lösningarna till ekvationen är 2 och - 5.

b Analysera den andra givna ekvationen.

2ln(x)−ln(5)=ln(20) Börja med att använda potensregeln och regeln för differensen av logaritmer.

2ln(x)−ln(5)=ln(20)
MultLnToPow

b*ln(a)=ln(a^b)

ln(x^2)−ln(5)=ln(20)
LnSub

ln(a) - ln(b)=ln(a/b)

ln(x^2/5)=ln(20)
BaseEEqn

e^(VL)=e^(HL)

e^(ln ( x^25))=e^(ln(20))
LnIdII

e^(ln(a))= a

x^2/5=20
MultEqn

VL * 5=HL* 5

x^2=100
SqrtEqn

sqrt(VL)=sqrt(HL)

x=± 10

Därför är lösningarna till ekvationen 10 och - 10.


Nivå 1
Nivå 2
Nivå 3
Talet e
Uppgifter
Beräkna uttrycket med räknare och svara med 2 decimaler. e^4

e^(0,5)

3e^2

7e

Allt vi behöver göra för att bestämma potensen är att slå in den på en räknare. Vi använder knappen e^ (2nd + LN), vilket skriver ut e^ samt en startparentes. Sedan skriver vi in 4, följt av en avslutande parentes och trycker på ENTER.

Avrundat till två decimaler blir det 54,60.

Vi gör på samma sätt och slår in uttrycket på räknaren.

Avrundat blir detta 1,65.

Den här gången multiplicerar vi potensen med 3 men annars gör vi på samma sätt som tidigare.

Vi avrundar detta till 22,17.

I det här fallet finns det ingen potens utan uttrycket är bara talet 7 multiplicerat med talet e. För att skriva in enbart e, utan någon potens, använder man knappen e (2nd + ÷).

Vi avrundar till sist och får 19,03.

U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Beräkna uttrycket med räknare och svara med två decimaler. ln(11)

ln(123 456 789)

ln(150 000)/2

ln(0,1)

För att beräkna uttrycket behöver vi bara slå in det på räknaren. Det gör vi med hjälp av knappen LN på räknaren, som skriver ut ln samt börjar en parentes. Efter det skriver vi in 11, avslutar parentesen och trycker på ENTER.

Vi avrundar sedan detta, vilket ger 2,40.

Vi gör på samma sätt med det här uttrycket och skriver in det på räknaren.

Efter vi har avrundat detta får vi 18,63.

Den här gången måste vi även dividera logaritmen med 2, men annars gör vi på samma sätt.

Avrundat blir detta 5,96.

Som i de tidigare uppgifterna skriver vi in uttrycket på räknaren.

Till slut avrundar vi detta till - 2,30.

U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Bestäm utan räknare. e^(ln(35))

ln(e^7)

e^(ln(2 935))

ln(e^(3,14))

ln(35) är det tal man ska höja upp e till för att det ska bli 35. Om man då höjer upp e till ln(35) får man därför 35, dvs. e^(ln(35))=35. Man använder alltså sambandet e^(ln(a))= a.

ln(e^7) är det tal man ska höja upp e till för att det ska bli e^7. Det måste ju vara 7. Därför är ln(e^7)=7. Man använder alltså sambandet ln(e^a) = a.

Här använder vi samma princip som i a-uppgiften. e upphöjt till och ln tar ut varandra, vilket betyder att e^(ln(2 935))=2 935.

Vi fortsätter på samma sätt. Det spelar ingen roll att det är ett decimaltal i exponenten: ln(e^(3,14))=3,14.

U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Skriv 9 som en potens med basen e.

Skriv 154 som en potens med basen e.

Skriv 1 973 som en naturlig logaritm.

Skriv -5 som en naturlig logaritm.

Vi ska alltså bestämma vad man ska höja upp basen e med för att få talet 9. Enligt definitionen av den naturliga logaritmen är detta tal ln(9). Det betyder att 9=e^(ln(9)). Generellt gäller alltid att a = e^(ln(a)), så länge a > 0.


Vi gör på samma sätt här. Man kan tänka att e upphöjt till och ln tar ut varandra och då får man 154=e^(ln(154)).


Även här kan vi använda att e upphöjt till och ln tar ut varandra, men på andra hållet. Den naturliga logaritmen av ett tal är det tal som e ska upphöjas till för att bli talet. Det betyder att 1 973=ln(e^(1 973)), eftersom e ska upphöjas till just 1 973 för att bli e^(1 973). Generellt gäller att a=ln(e^a), om a är reellt.


Vi kan använda samma regel här. Det spelar ingen roll att talet är negativt: -5=ln(e^(-5)).

U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Bestäm f(6) för funktionen. Svara exakt. f(x) = e^(2x)

f(x) = ln ( 7x/3 )

f(x) = 3e^(x/6)/4

Vi sätter in x = 6 i funktionsuttrycket och förenklar.

Man kan inte förenkla detta vidare, vilket innebär att vi måste ha e kvar i uttrycket om man ska svara exakt. Vi får alltså det exakta svaret f(6) = e^(12).

Vi gör på samma sätt med den här funktionen.

På liknande sätt som i förra deluppgiften måste vi använda ln för att skriva svaret exakt. Svaret är alltså f(6) = ln(14).

Vi sätter in x = 6 och förenklar igen.


U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Bestäm f(3) till två gällande siffror. f(x)=4e^(x/3)

f(x)=ln(x/12)

För att bestämma f(3) sätter vi in x=3 i funktionen och beräknar.


På samma sätt sätter vi in x=3 i funktionen och beräknar.


U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Skriv uttrycket som en enda logaritm. ln(7)+ln(8)

ln(5)+ln(5)

ln(36)-ln(6)

2ln(3)

När två logaritmer adderas kan man förenkla uttrycket genom att multiplicera argumenten. Man använder alltså logaritmlagen för multiplikation baklänges.


Här kan vi använda samma regel igen, vilket ger ln(5) + ln(5) = ln(5*5) = ln(25). Vi kan dock göra det på ett annat sätt också. Då adderar vi först logaritmerna och använder sedan logaritmlagen för potenser för att flytta upp det som står framför logaritmen till exponenten för det som står innanför.


När två logaritmer subtraheras kan man förenkla uttrycket genom att dividera argumenten.Man använder alltså logaritmlagen för division baklänges.


Om det finns en koefficient framför en logaritm kan man flytta upp den som exponent för argumentet som står innanför logaritmen. Man använder alltså logaritmlagen för potenser baklänges.


U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Lös ekvationen och svara exakt. e^x=4

7e^x=49

För att få x ensamt kan vi logaritmera båda led med den naturliga logaritmen. Då kan vi använda att ln och e upphöjt till tar ut varandra på motsvarande sätt som lg och 10 upphöjt till tar ut varandra då man löser exponentialekvationer med basen 10.

Lösningen till ekvationen är x=ln(4). Vi skulle kunna beräkna logaritmen med räknaren, men eftersom vi ska svara exakt behåller vi svaret som det är.


Vi gör på samma sätt här, men innan vi logaritmerar måste vi få e^x ensamt genom att dividera båda led med 7.

Ekvationens lösning är alltså x=ln(7).

U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Lös ekvationen. Svara avrundat till två decimaler. ln(x) = 2

3ln(x) = 27

För att lösa ut x sätter vi båda led som exponenter på basen e.

Lösningen är x=e^2 och kan avrundas till 7,39.


Innan vi kan sätta båda led som exponenter på basen e löser vi ut ln(x) genom att dela båda sidor med 3.


U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1​
=
=
√▢​
▢​√
∫▢▢​
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢​
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y