Talet e

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Talet ee är en matematisk konstant som fått sitt namn från matematikern Leonhard Euler. Konstanten är irrationell, vilket innebär att den har en icke-periodisk oändlig decimalutveckling.

e=2.7182818284e=2.7182818284\ldots

Talet ee är användbart när man deriverar exponentialfunktioner. Framförallt eftersom exe^x är sin egen derivata, dvs.

f(x)=exomf(x)=ex. f'(x)=e^x \quad \text{om} \quad f(x)=e^x.
Begrepp

Naturliga logaritmen

Den naturliga logaritmen, som skrivs ln,\ln, är en logaritm med basen ee. Det innebär att ln\ln av ett tal är den exponent som ee ska upphöjas till för att få talet.

x=ln(y)y=exx=\ln(y) \quad \Leftrightarrow \quad y=e^x

För att skriva talet ee på räknaren trycker man på ee-knappen (2nd + ÷\div). Trycker man ENTER skrivs värdet av talet ut med 1010 gällande siffror.

Talet e

För att skriva potenser med ee som bas kan man trycka på ee^-knappen (2nd + LN). Då skrivs ee^ samt en parentes ut. Exempelvis skulle e5e^{5} kunna räknas ut med hjälp av denna knapp.

Uträkning med e
Digitala verktyg

Naturliga logaritmen

För att utföra beräkningar med den naturliga logaritmen, ln,\ln, trycker man på LN-knappen. Då får man en vänsterparentes. Sedan skriver man in argumentet och avslutar med en högerparentes.

Naturliga logaritmen ln på TI-räknare
Regel

Grundläggande samband för naturliga logaritmen

Ur definitionen av naturliga logaritmen får man två samband som är bra att känna till. De kan tolkas som att "naturliga logaritmen av" och "ee upphöjt till" tar ut varandra.

Regel

eln(a)=ae^{\ln(a)}=a

Om en naturlig logaritm, ln(a)\ln(a), sitter som exponent på ee kan man direkt bestämma värdet av potensen genom att läsa av logaritmens argument, dvs. aa.

Samband mellan potenser med basen e och naturliga logaritmer
Man kan endast logaritmera positiva tal. Det finns ju inget tal man kan upphöja ee till så att potensen blir 00 eller negativ. Denna identitet gäller alltså endast när a>0a > 0.

Regel

ln(ea)=a\ln\left(e^a\right)=a
Tar man naturliga logaritmen av en potens med basen ee blir resultatet lika med exponenten i denna potens. Detta är den praktiska tolkningen av definitionen av en naturlig logaritm.
Samband mellan naturliga logaritmer och potenser med basen e
Regel

Potensregel för naturliga logaritmen

Räkneregler för naturliga logaritmen motsvarar de för tiologaritmen.

Regel

ln(ab)=bln(a)\ln\left(a^b\right)=b\cdot \ln(a)
Logaritmen av en potens kan skrivas om genom att exponenten flyttas ner.
ln(74)\ln\left(7^4\right)
ln((eln7)4)\ln\left(\left(e^{\ln 7}\right)^4\right)
ln(eln(7)4)\ln\left(e^{\ln(7)\cdot4}\right)
ln(ea)=a \ln\left(e^a\right) = a
ln(7)4\ln(7)\cdot4
4ln(7)4 \cdot \ln(7)
Regeln gäller endast för positiva aa och reella b.b.
Regel

Regler för naturliga logaritmen

Räknereglerna för den naturliga logaritmen motsvarar de som finns för tiologaritmen.

Regel

ln(ab)=bln(a)\ln\left(a^b\right)=b\cdot \ln(a)
Logaritmen av en potens kan skrivas om genom att exponenten flyttas ner.
ln(74)\ln\left(7^4\right)
ln((eln7)4)\ln\left(\left(e^{\ln 7}\right)^4\right)
ln(eln(7)4)\ln\left(e^{\ln(7)\cdot4}\right)
ln(ea)=a \ln\left(e^a\right) = a
ln(7)4\ln(7)\cdot4
4ln(7)4 \cdot \ln(7)
Regeln gäller endast för positiva aa och reella b.b.

Regel

ln(ab)=ln(a)+ln(b)\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)
Logaritmen av en produkt kan skrivas som summan av logaritmerna av faktorerna.
ln(32)\ln(3\cdot2)
ln(eln(3)eln(2))\ln\left(e^{\ln(3)}\cdot e^{\ln(2)}\right)
ln(eln(3)+ln(2))\ln\left(e^{\ln(3)+\ln(2)}\right)
ln(ea)=a \ln\left(e^a\right) = a
ln(3)+ln(2)\ln(3)+\ln(2)
Regeln gäller endast för positiva aa och b.b.

Regel

ln(ab)=ln(a)ln(b)\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)
Logaritmen av en kvot kan skrivas om som differensen mellan logaritmerna av täljaren och nämnaren.
ln(73)\ln\left(\dfrac{7}{3}\right)
ln(eln(7)eln(3))\ln\left(\dfrac{e^{\ln(7)}}{e^{\ln(3)}}\right)
ln(eln(7)ln(3))\ln\left(e^{\ln(7)-\ln(3)}\right)
ln(ea)=a \ln\left(e^a\right) = a
ln(7)ln(3)\ln(7)-\ln(3)
Regeln gäller för endast för positiva aa och b.b.
Uppgift

Lös följande ekvationer: 6ex=12ochln(x)5=13. 6e^x=12 \quad \text{och} \quad \dfrac{\ln(x)}{5}=13.

Lösning
Vi börjar med den första ekvationen, som är en exponentialekvation med basen ee. Först delar vi båda led med 66 för att få exe^x ensamt och sedan logaritmerar vi båda sidor med den naturliga logaritmen. Då kan vi använda att "ln\ln" och "ee upphöjt till" tar ut varandra.
6ex=126e^x=12
ex=2e^x=2
ln(ex)=ln(2)\ln\left(e^x\right)=\ln(2)
ln(ea)=a \ln\left(e^a\right) = a
x=ln(2)x=\ln(2)

Lösningen på den första ekvationen är x=ln(2).x=\ln(2). Lägg märke till att vi löste den på motsvarande sätt som när man använder tiologaritmer för att lösa exponentialekvationer med basen 10.10. I den andra ekvationen löser vi ut ln(x)\ln(x) och sätter sedan båda led som exponenter på basen e.e. Då kan vi lösa ut xx på liknande sätt som i förra ekvationen.

ln(x)5=13\dfrac{\ln(x)}{5}=13
ln(x)=65\ln(x)=65
eln(x)=e65e^{\ln(x)}=e^{65}
eln(a)=ae^{\ln(a)}= a
x=e65x=e^{65}

Lösningen på logaritmekvationen är x=e65.x=e^{65}. Denna lösningsmetod motsvarar sättet man löser logaritmekvationer med tiologaritmer.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}