DashboardNyheterInställningarHjälp
Premium
Dashboard
Dashboard Logga ut
3b
Kurs 3b Visa detaljer
5. Talet e
Fortsätt till nästa lektion
Lektion
Uppgifter
Tester
arrow_back
eKurser /
( Ma 3b , Ma 3c ) /
Kapitel 3
5. 

Talet e

Lektionen fokuserar på talet e, en matematisk konstant som är basen för den naturliga logaritmen. Den förklarar begreppet och dess användning inom matematiken, inklusive hur det relaterar till eulers tal och naturliga logaritmer. Sidan ger en översikt över olika regler och lagar som gäller för logaritmer, och hur man kan använda dem i beräkningar. Det finns exempel som illustrerar hur man kan använda talet e i olika matematiska sammanhang, som exponentialfunktioner och derivata. Detta är en lektionen som kan vara användbar för studenter som studerar avancerad matematik och vill förstå detta viktiga koncept.

Visa mer expand_more
10 sidor teori
19 Uppgifter - Nivå 1 - 3
Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.
Kreditlista Bilder expand_more
Talet e
Sida av 10

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

  • Talet e
  • Naturliga logaritmen
  • Grundläggande samband för naturliga logaritmen
  • Potensregel för naturliga logaritmen
  • Regler för naturliga logaritmen

Rekommenderat att repetera innan du börjar med det här avsnittet:
Koncept

Talet e

Talet e är en matematisk konstant som fått sitt namn från matematikern Leonhard Euler. Konstanten är irrationell, vilket innebär att den har en icke-periodisk oändlig decimalutveckling.

e=2,7182818284...

Talet utgör bas för den naturliga logaritmen.
Koncept

Naturliga logaritmen

Den naturliga logaritmen, som skrivs ln, är en logaritm med basen e. Det innebär att ln av ett tal är den exponent som e ska upphöjas till för att få talet.

x=ln(y) ⇔ y=e^x

Digitala verktyg

Talet e på räknare

För att skriva talet e på räknaren trycker man på e-knappen (2nd + ÷). Trycker man ENTER skrivs värdet av talet ut med 10 gällande siffror.

Talet e

För att skriva potenser med e som bas kan man trycka på e^-knappen (2nd + LN). Då skrivs e^ samt en parentes ut. Exempelvis skulle e^5 kunna räknas ut med hjälp av denna knapp.

Uträkning med e
Digitala verktyg

Logaritmer på räknare

Hur man beräknar logaritmer med räknaren beror på vilken bas logaritmen har.


Naturliga logaritmen

För att utföra beräkningar med den naturliga logaritmen, ln, trycker man på LN-knappen. Då får man en vänsterparentes. Sedan skriver man in argumentet och avslutar med en högerparentes.

Naturliga logaritmen ln på TI-räknare
Regel

Grundläggande samband för naturliga logaritmen

Ur definitionen av naturliga logaritmen får man två samband som är bra att känna till. De kan tolkas som att naturliga logaritmen av och e upphöjt till tar ut varandra.

Regel

 e^(ln(a))=a

Om en naturlig logaritm, ln(a), sitter som exponent på e kan man direkt bestämma värdet av potensen genom att läsa av logaritmens argument, dvs. a.

Samband mellan potenser med basen e och naturliga logaritmer
Man kan endast logaritmera positiva tal. Det finns ju inget tal man kan upphöja e till så att potensen blir 0 eller negativ. Denna identitet gäller alltså endast när a > 0.

Regel

 ln(e^a)=a
Tar man naturliga logaritmen av en potens med basen e blir resultatet lika med exponenten i denna potens. Detta är den praktiska tolkningen av definitionen av en naturlig logaritm.
Samband mellan naturliga logaritmer och potenser med basen e
Exempel

Lös ekvationer med e och ln

Lös följande ekvationer.

a

6e^x=12

b

ln(x)/5=13

Ledtråd
a

Ta ln på båda sidor av den ekvationen.

b

Använd olika kända logaritmlagar för att lösa den ekvationen.

Lösning
a

Vi börjar med den första ekvationen, som är en exponentialekvation med basen e. Först delar vi båda led med 6 för att få e^x ensamt och sedan logaritmerar vi båda sidor med den naturliga logaritmen. Då kan vi använda att ln och e upphöjt till tar ut varandra.

6e^x=12
DivEqn

.VL /6.=.HL /6.

e^x=2
LnEqn

ln(VL)=ln(HL)

ln(e^x)=ln(2)
LnId

ln(e^a) = a

x=ln(2)

Lösningen på den första ekvationen är x=ln(2). Lägg märke till att vi löste den på motsvarande sätt som när man använder tiologaritmer för att lösa exponentialekvationer med basen 10.

b

I den andra ekvationen löser vi ut ln(x) och sätter sedan båda led som exponenter på basen e. Då kan vi lösa ut x på liknande sätt som i förra ekvationen.

ln(x)/5=13
MultEqn

VL * 5=HL* 5

ln(x)=65
BaseEEqn

e^(VL)=e^(HL)

e^(ln(x))=e^(65)
LnIdII

e^(ln(a))= a

x=e^(65)

Lösningen på logaritmekvationen är x=e^(65). Denna lösningsmetod motsvarar sättet man löser logaritmekvationer med tiologaritmer.

Regel

Potensregel för naturliga logaritmen

Räkneregler för naturliga logaritmen motsvarar de för tiologaritmen.

Regel

 ln(a^b)=b* ln(a)

Logaritmen av en potens kan skrivas om genom att exponenten flyttas ner.

ln(7^4)
NumberToBaseE

a = e^(ln(a))

ln((e^(ln 7))^4)
PowPow

(a^b)^c=a^(b* c)

ln(e^(ln(7)*4))
LnId

ln(e^a) = a

ln(7)*4
RearrangeFac

Omarrangera faktorer

4 * ln(7)

Regeln gäller endast för positiva a och reella b.
Regel

Regler för naturliga logaritmen

Räknereglerna för den naturliga logaritmen motsvarar de som finns för tiologaritmen.

Regel

 ln(a^b)=b* ln(a)

Logaritmen av en potens kan skrivas om genom att exponenten flyttas ner.

ln(7^4)
NumberToBaseE

a = e^(ln(a))

ln((e^(ln 7))^4)
PowPow

(a^b)^c=a^(b* c)

ln(e^(ln(7)*4))
LnId

ln(e^a) = a

ln(7)*4
RearrangeFac

Omarrangera faktorer

4 * ln(7)

Regeln gäller endast för positiva a och reella b.

Regel

 ln(ab)=ln(a)+ln(b)

Logaritmen av en produkt kan skrivas som summan av logaritmerna av faktorerna.

ln(3*2)
NumberToBaseE

a = e^(ln(a))

ln(e^(ln(3))* e^(ln(2)))
MultPow

a^b*a^c=a^(b+c)

ln(e^(ln(3)+ln(2)))
LnId

ln(e^a) = a

ln(3)+ln(2)

Regeln gäller endast för positiva a och b.

Regel

 ln(a/b)=ln(a)-ln(b)

Logaritmen av en kvot kan skrivas om som differensen mellan logaritmerna av täljaren och nämnaren.

ln(7/3)
NumberToBaseE

a = e^(ln(a))

ln(e^(ln(7))/e^(ln(3)))
DivPow

a^b/a^c= a^(b-c)

ln(e^(ln(7)-ln(3)))
LnId

ln(e^a) = a

ln(7)-ln(3)

Regeln gäller för endast för positiva a och b.
Exempel

Lös ekvationer med hjälp av logaritmlagar

Lös följande ekvationer med hjälp av logaritmlagar.

a

ln(x)+ln(x+3)=ln(10)

b

2ln(x)−ln(5)=ln(20)

Ledtråd
a

Använd regeln för att addera naturliga logaritmer.

b

Använd potensregeln och regeln för differensen av logaritmer.

Lösning
a

Börja med att analysera den första ekvationen.

ln(x)+ln(x+3)=ln(10) Först, använd regeln för att addera naturliga logaritmer. Nästa steg är att sätta logaritmernas argument lika med varandra.

ln(x)+ln(x+3)=ln(10)
LnAdd

ln(a) + ln(b)=ln(ab)

ln(x(x+3))=ln(10)
BaseEEqn

e^(VL)=e^(HL)

e^(ln (x(x+3)))=e^(ln(10))
LnIdII

e^(ln(a))= a

x(x+3)=10
Distr

Multiplicera in x

x^2+3x=10
SubEqn

VL-10=HL-10

x^2+3x-10=0

Avslutningsvis, lös andragradsekvationen.

x^2+3x-10=0
▼
Lös ut x
UsePQ

Använd pq-formeln: p = 3, q= - 10

x=- 3/2± sqrt((3/2)^2-( - 10))
AddTerms

Addera termerna

x=- 3/2± sqrt((3/2)^2+10)
CalcPow

Beräkna potens

x=- 3/2± sqrt(9/4+10)
NumberToFrac

a = 4* a/4

x=- 3/2± sqrt(9/4+40/4)
AddFrac

Addera bråk

x=- 3/2± sqrt(49/4)
CalcRoot

Beräkna rot

x=- 3/2± 7/2
AddSubFrac

Lägg ihop bråk

lx_1= 42 x_2=- 102
CalcQuot

Beräkna kvot

lx_1=2 x_2=- 5

Lösningarna till ekvationen är 2 och - 5.

b

Analysera den andra givna ekvationen.

2ln(x)−ln(5)=ln(20) Börja med att använda potensregeln och regeln för differensen av logaritmer.

2ln(x)−ln(5)=ln(20)
MultLnToPow

b*ln(a)=ln(a^b)

ln(x^2)−ln(5)=ln(20)
LnSub

ln(a) - ln(b)=ln(a/b)

ln(x^2/5)=ln(20)
BaseEEqn

e^(VL)=e^(HL)

e^(ln ( x^25))=e^(ln(20))
LnIdII

e^(ln(a))= a

x^2/5=20
MultEqn

VL * 5=HL* 5

x^2=100
SqrtEqn

sqrt(VL)=sqrt(HL)

x=± 10

Därför är lösningarna till ekvationen 10 och - 10.


Nivå 1
Nivå 2
Nivå 3
Talet e
Uppgift 3.1

Exponentialfunktionen f(x)=16^(0,25x) kan skrivas om på formen f(x)= e^(kx). Bestäm k och svara exakt.

För att bestämma k skriver vi först om båda potenser enligt potenslagen a^(bc)=(a^b)^c: f(x)=(16^(0,25))^x och f(x)=(e^k)^x. Om funktionerna är samma måste 16^(0,25) och e^k vara lika. Vi likställer alltså dessa potenser och löser ut k.

k är alltså lika med ln(2).

U
Ledtråd & Svar
L
Lösning

Talet e kan definieras med gränsvärdet e = lim_(x → ∞) (1 + 1/x )^x. Använd detta gränsvärde för att bestämma e med 2 decimalers noggrannhet.

Eftersom talet e är irrationellt är det omöjligt för oss att bestämma detta gränsvärde exakt som ett decimaltal. Vi kan dock göra det numeriskt och få ett närmevärde till e. Det gör vi genom att först definiera en funktion f(x) med det som står innanför gränsvärdet. f(x) = (1 + 1/x )^x Den här funktionen kommer att ge ett värde som kommer närmare och närmare e ju större x man sätter in i den.

För att bestämma ett närmevärde till e sätter vi in större och större värden på x i f(x) och undersöker vilka decimaler som ändrar sig. När en decimal slutar ändra sig för högre x kan vi anta att den har nått sitt korrekta värde. Notera att vi behöver 3 korrekta decimaler eftersom den tredje behövs för att göra avrundningen till 2 decimalers noggrannhet.

x f(x)
10 2,593742...
100 2,704813...
1 000 2,716923...
10 000 2,718145...
100 000 2,718268...

Mellan x = 10 000 och x = 100 000 ändrar inte den tredje decimalen sig, så vi kan anta att den har nått sitt korrekta värde. Då kan vi avrunda till två decimaler, vilket ger f(100000) = 2,718268... ≈ 2,72. Med två decimalers noggrannhet får vi alltså att e ≈ 2,72.

U
Ledtråd & Svar
L
Lösning

Talet e

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Återvänd till lektionen.
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1​
=
=
√▢​
▢​√
∫▢▢​
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢​
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y