Talet e

För att kunna lösa ut x måste vi först bli av med logaritmen. Genom att sätta båda led som exponenter på basen e kan vi använda regeln e^(ln(a))= a för att lösa ut det som står innanför logaritmen.

Nu har vi en andragradsekvation som vi kan lösa med pq-formeln.

Vi kan inte använda regeln e^(ln(a))= a eftersom logaritmen har ett minustecken framför sig, men om vi först skriver om vänsterledet som ett bråk enligt a^(- b) = 1a^b går det bra.

För att bestämma k skriver vi först om båda potenser enligt potenslagen a^(bc)=(a^b)^c: f(x)=(16^(0.25))^x och f(x)=(e^k)^x. Om funktionerna är samma måste 16^(0.25) och e^k vara lika. Vi likställer alltså dessa potenser och löser ut k.

k är alltså lika med ln(2).

Eftersom talet e är irrationellt är det omöjligt för oss att bestämma detta gränsvärde exakt som ett decimaltal. Vi kan dock göra det numeriskt och få ett närmevärde till e. Det gör vi genom att först definiera en funktion f(x) med det som står innanför gränsvärdet. f(x) = (1 + 1/x )^x Den här funktionen kommer att ge ett värde som kommer närmare och närmare e ju större x man sätter in i den.

För att bestämma ett närmevärde till e sätter vi in större och större värden på x i f(x) och undersöker vilka decimaler som ändrar sig. När en decimal slutar ändra sig för högre x kan vi anta att den har nått sitt korrekta värde. Notera att vi behöver 3 korrekta decimaler eftersom den tredje behövs för att göra avrundningen till 2 decimalers noggrannhet.

Mellan x = 10000 och x = 100000 ändrar inte den tredje decimalen sig, så vi kan anta att den har nått sitt korrekta värde. Då kan vi avrunda till två decimaler, vilket ger f(100000) = 2.718268... ≈ 2.72. Med två decimalers noggrannhet får vi alltså att e ≈ 2.72.