Logaritmlagar

Vi förenklar de två första termerna enligt lg(a)-lg(b)=lg( ab). Då får vi två logaritmer som vi kan beräkna i huvudet.

De tre första termerna som adderas förenklas enligt lg(a)+lg(b)=lg(ab).

Vi hade också kunnat skriva lg (3)+lg(3)+lg(3) som 3 stycken: 3 * lg (3) och använda alg(b)=lg(a^b) så att vi direkt fått lg(3^3)=lg(27).

Vi slår ihop termerna enligt lg(a)+lg(b)=lg(ab).

Vi utför förenklingen i två steg. Först använder lagen lg(a)+lg(b)=lg(ab) för att skriva om de två första termerna som en enda logaritm. Därefter använder vi lagen för logaritmen av en kvot baklänges.

Innan vi kan använda lagen lg(a)-lg(b)=lg( ab) för att skriva om differensen som en logaritm så lyfter vi in 4text:an som exponent på 3 enligt alg(b)=lg(a^b).

Det finns ingen logaritmlag man kan använda för att omvandla en produkt av logaritmer. Däremot ser vi att ena faktorn är lg(100) och denna kan ju förenklas till 2. Vi gör detta och lyfter därefter in 2:an som exponent på argumentet i lg(5).

Nu förenklar vi additionen enligt lg(a)+lg(b)=lg(ab).

Det finns (minst) tre sätt att visa likheten.

Metod 1

Vi skriver om vänsterledet med lg(a) + lg(b)=lg(ab).

Metod 2

Man kan även använda logaritmlagen lg(a^b)= b*lg(a).

Metod 3

Nu har vi hittat två sätt, men det skadar inte att visa ett sätt till. 8^(-3) kan skrivas om som ett bråk och sedan kan man använda lg(a/b)=lg(a) - lg(b).

Vi kan skriva uttrycket som en enda logaritm genom att använda lg(a) + lg(b)=lg(ab).

Man kan även använda lg(a/b)=lg(a) - lg(b).

log_3(9) är det tal man ska höja upp 3 till för att det ska bli 9. Eftersom 3^2=9 är detta 2: log_3(9)=log_3(3^2)=2. log_4(64) är det tal man ska höja upp 4 till för att det ska bli 64. 4^3 är lika med 64 vilket betyder att log_4(64)=log_4(4^3)=3. Uttryckets värde blir alltså 2+3=5.

Nej, det stämmer inte. Eftersom tiologaritmen av ett tal är den exponent som 10 ska upphöjas till för att få talet skulle lg(0)=1 innebära att 10^1? =0. Men det stämmer inte, 10^1 är ju lika med 10. Alltså är lg(0) ≠ 1. Men vad är då tiologaritmen av 0? Det måste vara det tal 10 ska upphöjas till för att få 0: 10^?=0. Men något sådant tal finns inte. Slår man in lg(0)=1 får man ERROR, dvs. det är odefinierat. Svetlanas mamma kanske blandade ihop det med tiologaritmen av 1, som är lika med 0 eftersom 10^0=1.

Vi löser ut x och använder sedan lg(a) - lg(b)=lg(a/b).

Vi använder logaritmlagarna för att dela upp logaritmen i VL till en differens så att ena termen är lg(x).

Vi börjar med att lösa ut lg(x) och förenklar sedan högerledet.

Nu har vi en tvåa i vänsterledet. Om vi skriver om 4 som 2^2 kan vi flytta ner en tvåa framför logaritmen och sedan dividera båda led med 2.

x=2 löser ekvationen.

Vi använder lagen lg(a) + lg(b)=lg(ab) för att slå ihop högerledet till en enda logaritm. Därefter kan vi lösa ekvationen genom att jämföra argumenten.

Här skriver vi om differensen i högerledet som logaritmen av ett bråk och kan därefter likställa argumenten och lösa ut x.

Vi börjar med att skriva om differensen i högerledet som logaritmen av ett bråk.

Vänsterledet kan skrivas om genom att sätta faktorn som multipliceras med lg(x) som en exponent på logaritmens argument.

x=2 löser ekvationen. Notera att vi bortser från den negativa lösningen till ekvationen x^4 = 16 eftersom man inte kan logaritmera ett negativt tal. Det finns ju inget tal vi kan upphöja tio till och få ett negativt resultat.

Vi börjar med att lägga ihop logaritmerna i VL.

För att lösa ut x sätter vi båda led som exponenter på basen 10 och använder därefter att 10^(lg(a))=a.

Vi börjar med att förenkla logaritmerna i vänsterledet. Genom att först beräkna lg(100) och sedan använda logaritmlagen b* lg(a)=lg(a^b) kan vi slå ihop dessa till en logaritm.

Eftersom vi har en logaritm i vänsterledet och en i högerledet måste deras argument vara lika stora. Vi likställer alltså logaritmernas argument.

x=144 löser ekvationen.

Om vi tittar på de båda lösningarna ser vi att de skiljer sig åt redan på andra raden. Båda har flyttat upp 2:an som exponent, men Leonard har satt den på hela logaritmen och Sheldon har satt den på argumentet inne i logaritmen. Om vi jämför med logaritmlagen alg(b)=lg(a^b), ser vi att det är Sheldon som har gjort den korrekta förflyttningen. Sheldon har alltså gjort rätt.

Denna logaritm kan förenklas genom att skriva om logaritmen som en differens av logaritmer, där ett av argumenten blir 3.

Vi använder först lg( ab)=lg(a)-lg(b).

Nu delar vi upp 530 så att ena faktorn blir 53. Därefter använder vi lg(ab)=lg(a) + lg(b).

Logaritmen kan skrivas som en summa om vi delar upp argumentet i två faktorer. Vi vet att vi vill ha något med lg(2), men delar vi upp 800 i 2 * 400 får två logaritmtermer eftersom lg(400) inte blir ett heltal. Istället gör vi uppdelningen 800=8 * 100 och utnyttjar sedan att 8=2^3.

Vi skriver om 160 som 16*10. Då kan vi använda lg(ab)=lg(a) + lg(b).

Om vi nu sätter in lg(16)≈1,2 kan vi beräkna lg(160): lg(16)+1≈1,2+1=2,2. Ett närmevärde till lg(160) är alltså 2,2.

Om vi skriver 4 som sqrt(16), kan vi använda lg(a^b)= b*lg(a).

Nu använder vi lg(16)≈1,2: 0,5lg(16)≈0,5* 1,2=0,6. Ett närmevärde till lg(4) är 0,6.

Den andra logaritmen kan förenklas genom att flytta ner exponenten enligt formeln lg(a^b)=b*lg(a).

Uttrycket förenklas till lg(x).

Parentesen står på formen (xy-y)^2 så den kan utvecklas med andra kvadreringsregeln. Innan vi gör detta skriver vi dock först om y^(- 2) enligt regeln a^(- b)= 1a^b.

Uttrycket förenklas till x^2-2x+1.