8. Logaritmlagar
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 2
8.
Logaritmlagar
Denna sida ger en förståelse för logaritmlagar och hur de används i matematiken. Med fokus på inspektionsmetoden, hjälper den besökarna att utveckla sina färdigheter i att räkna logaritmer. Det framgår också vad 'lg' betyder i matematiska termer. Genom att förstå dessa lagar kan besökaren effektivt lösa matematiska problem som involverar logaritmer. Oavsett om det handlar om att beräkna logaritmer, förstå logaritmregler, eller tolka 'lg', förser denna källa användaren med den nödvändiga kunskapen.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 5 sidor teori |
| | 33 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Logaritmlagar
Sida av 5
Regel
Dela
Rapportera fel
Logaritmlagar
Ur definitionen av logaritmer följer några räkneregler som underlättar vid beräkningar. Dessa brukar kallas logaritmlagar och gäller för alla logaritmer, oavsett bas.
Regel
lg(a^b)=b*lg(a)Regel
Dela
Rapportera fel
Logaritmen av en potens
Om man logaritmerar en potens kan den skrivas om genom att flytta ner exponenten. Man kan visa det med potenslagar.
Regeln gäller endast för positiva a och reella b.
Regel
lg(ab)=lg(a)+lg(b)Regel
Dela
Rapportera fel
Logaritmen av en produkt
Logaritmen av en produkt kan skrivas som summan av logaritmerna av faktorerna. Man kan visa det genom att skriva om faktorerna som potenser och sedan använda potenslagen för multiplikation.
Regeln gäller endast för positiva a och b.
lg(3*2)
NumberToBaseTen
a=10^(lg(a))
lg(10^(lg(3))* 10^(lg(2)))
MultPow
a^b*a^c=a^(b+c)
lg(10^(lg(3)+lg(2)))
LgId
lg(10^a)=a
lg(3)+lg(2)
Regel
lg(a/b)=lg(a)-lg(b)Regel
Dela
Rapportera fel
Logaritmen av en kvot
Logaritmen av en kvot kan skrivas om som differensen av logaritmerna av täljaren och nämnaren. Detta kan visas genom att skriva om täljaren och nämnaren som potenser och använda potenslagen för division.
Regeln gäller för endast för positiva a och b.
lg(7/3)
NumberToBaseTen
a=10^(lg(a))
lg(10^(lg(7))/10^(lg(3)))
DivPow
a^b/a^c= a^(b-c)
lg(10^(lg(7)-lg(3)))
LgId
lg(10^a)=a
lg(7)-lg(3)
Regel
Dela
Rapportera fel
Specialfall av tiologaritmer
Regel
lg(10)=1Regel
Dela
Rapportera fel
Tiologaritmen av 10
Tiologaritmen av 10 är 1 eftersom lg(10) är det tal man ska höja upp 10 till för att det ska bli 10:
10^1=10 ⇔ lg(10)=1.
Regel
lg(1)=0Regel
Dela
Rapportera fel
Tiologaritmen av 1
Tiologaritmen av 1 är 0 eftersom lg(1) är det tal man ska höja upp 10 till för att det ska bli 1. Alla tal (förutom 0) upphöjt till 0 är 1 och därför är
10^0=1 ⇔ lg(1)=0.
Exempel
Dela
Rapportera fel
Beräkna med logaritmlagarna
Beräkna utan räknare:
lg(2000)+lg(5)/lg(10^2).
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2"]}}
Ledtråd
Använd produktregeln för att slå ihop täljaren. Förenkla med hjälp av kända logaritmvärden.
Lösning
Vi börjar med att förenkla täljaren. Det är en summa av logaritmer så vi kan skriva om den genom att multiplicera argumenten.
Talet 10 000 kan skrivas som 10^4, vilket innebär tiologaritmen av det är 4. Nämnaren kan man också förenkla eftersom argumentet där redan är en tiopotens.
Uttrycket värde är alltså 2.
lg(2000)+lg(5)/lg(10^2)
LgAdd
lg(a) + lg(b)=lg(ab)
lg(2000* 5)/lg(10^2)
Multiply
Multiplicera faktorer
lg(10 000)/lg(10^2)
Exempel
Dela
Rapportera fel
Lös ekvationen med logaritmlagen för potenser
Vad ska stå istället för x för att följande likhet ska gälla? Lös uppgiften utan räknare.
lg(32)=xlg(2)
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["5"]}}
Ledtråd
Skriv om 32 som en potens med basen 2 och använd sedan logaritmlagen för potenser.
Lösning
Varken lg(32) eller lg(2) går att enkelt beräkna utan en miniräknare, men om vi kan skriva om lg(32) som
Med hjälp av logaritmlagen lyckades vi bli av med alla logaritmer utan att behöva räkna ut dem och kom fram till svaret x=5.
någontinggånger lg(2) kan vi lösa ekvationen utan att faktiskt behöva räkna ut någon logaritm. Vi skriver om 32 som 2^5 och använder därefter logaritmlagen för potenser.
lg(32)=x lg(2)
WritePow
Skriv som potens
lg(2^5)=x lg(2)
LgPow
lg(a^b)= b*lg(a)
5 * lg(2)=x lg(2)
DivEqn
.VL /lg(2).=.HL /lg(2).
5 = x
RearrangeEqn
Omarrangera ekvation
x = 5
Logaritmlagar
Uppgift 4.1
Vilken bas b gör att likheten stämmer?
log_b(1/32)=- 5/2
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"b=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["4"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att förenkla logaritmens argument genom att skriva om bråket som en potens enligt 1a=a^(- 1). Därefter flyttar vi ner minustecknet med logaritmlagen för potenser.
Vi fortsätter att förenkla ekvationen med hjälp av logaritm- och potenslagarna.
Enligt ekvationen vi har fått fram ska b-logaritmen av 4^5 vara lika med 5. Det innebär att talet b upphöjt till 5 ska vara lika med det som står innanför logaritmen, alltså 4^5. Då får vi b^5 = 4^5, där vi direkt kan se att b måste vara lika med 4. Svaret är alltså b=4.
security
report
code
Logaritmlagar
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
≤
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll