body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Mitt konto

Kurs 2c Visa detaljer

8. Logaritmlagar

Fortsätt till nästa lektion

Lektion

Övningar

Tester

eKurser /

Matematik 2c /

Kapitel 2

Logaritmlagar

Denna sida ger en förståelse för logaritmlagar och hur de används i matematiken. Med fokus på inspektionsmetoden, hjälper den besökarna att utveckla sina färdigheter i att räkna logaritmer. Det framgår också vad 'lg' betyder i matematiska termer. Genom att förstå dessa lagar kan besökaren effektivt lösa matematiska problem som involverar logaritmer. Oavsett om det handlar om att beräkna logaritmer, förstå logaritmregler, eller tolka 'lg', förser denna källa användaren med den nödvändiga kunskapen.

Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	5 sidor teori
	33 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Logaritmlagar

Sida av 5

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Logaritmlagar
Specialfall av tiologaritmer

Regel

Logaritmlagar

Ur definitionen av logaritmer följer några räkneregler som underlättar vid beräkningar. Dessa brukar kallas logaritmlagar och gäller för alla logaritmer, oavsett bas.

Regel

l g (a^{b}) = b \cdot l g (a)

Regel

Logaritmen av en potens

Om man logaritmerar en potens kan den skrivas om genom att flytta ner exponenten. Man kan visa det med potenslagar.

l g (7^{4})

▼

Skriv om

NumberToBaseTen

$a = 1 0^{l g (a)}$

l g ((1 0^{l g 7})^{4})

PowPow

$(a^{b})^{c} = a^{b \cdot c}$

l g (1 0^{l g (7) \cdot 4})

LgId

$l g (1 0^{a}) = a$

l g (7) \cdot 4

RearrangeFac

Omarrangera faktorer

4 \cdot l g (7)

Regeln gäller endast för positiva

a

och reella

b .

Regel

l g (a b) = l g (a) + l g (b)

Regel

Logaritmen av en produkt

Logaritmen av en produkt kan skrivas som summan av logaritmerna av faktorerna. Man kan visa det genom att skriva om faktorerna som potenser och sedan använda potenslagen för multiplikation.

l g (3 \cdot 2)

NumberToBaseTen

$a = 1 0^{l g (a)}$

l g (1 0^{l g (3)} \cdot 1 0^{l g (2)})

MultPow

$a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}$

l g (1 0^{l g (3) + l g (2)})

LgId

$l g (1 0^{a}) = a$

l g (3) + l g (2)

Regeln gäller endast för positiva

a

och

b .

Regel

l g (\frac{a}{b}) = l g (a) - l g (b)

Regel

Logaritmen av en kvot

Logaritmen av en kvot kan skrivas om som differensen av logaritmerna av täljaren och nämnaren. Detta kan visas genom att skriva om täljaren och nämnaren som potenser och använda potenslagen för division.

l g (\frac{7}{3})

NumberToBaseTen

$a = 1 0^{l g (a)}$

l g (\frac{1 0 ^{l g (7)}}{1 0 ^{l g (3)}})

DivPow

$\frac{a ^{b}}{a ^{c}} = a^{b - c}$

l g (1 0^{l g (7) - l g (3)})

LgId

$l g (1 0^{a}) = a$

l g (7) - l g (3)

Regeln gäller för endast för positiva

a

och

b .

Regel

Specialfall av tiologaritmer

Regel

l g (10) = 1

Regel

Tiologaritmen av $10$

Tiologaritmen av $10$ är $1$ eftersom $l g (10)$ är det tal man ska höja upp $10$ till för att det ska bli $10 :$

$1 0^{1} = 10 \Leftrightarrow l g (10) = 1 .$

Regel

l g (1) = 0

Regel

Tiologaritmen av $1$

Tiologaritmen av $1$ är $0$ eftersom $l g (1)$ är det tal man ska höja upp $10$ till för att det ska bli $1 .$ Alla tal (förutom $0)$ upphöjt till $0$ är $1$ och därför är

$1 0^{0} = 1 \Leftrightarrow l g (1) = 0 .$

Exempel

Beräkna med logaritmlagarna

Beräkna utan räknare:

\frac{l g ( 2 0 0 0 ) + l g ( 5 )}{l g ( 1 0 ^{2} )} .

Ledtråd

Använd produktregeln för att slå ihop täljaren. Förenkla med hjälp av kända logaritmvärden.

Lösning

Vi börjar med att förenkla täljaren. Det är en summa av logaritmer så vi kan skriva om den genom att multiplicera argumenten.

\frac{l g ( 2 0 0 0 ) + l g ( 5 )}{l g ( 1 0 ^{2} )}

LgAdd

$l g (a) + l g (b) = l g (a b)$

\frac{l g ( 2 0 0 0 \cdot 5 )}{l g ( 1 0 ^{2} )}

Multiply

Multiplicera faktorer

\frac{l g ( 1 0 0 0 0 )}{l g ( 1 0 ^{2} )}

Talet

10000

kan skrivas som

1 0^{4},

vilket innebär tiologaritmen av det är

4 .

Nämnaren kan man också förenkla eftersom argumentet där redan är en tiopotens.

\frac{l g ( 1 0 0 0 0 )}{l g ( 1 0 ^{2} )}

Rewrite

Skriv $10000$ som $1 0^{4}$

\frac{l g ( 1 0 ^{4} )}{l g ( 1 0 ^{2} )}

LgId

$l g (1 0^{a}) = a$

\frac{4}{2}

CalcQuot

Beräkna kvot

2

Uttrycket värde är alltså

2 .

Exempel

Lös ekvationen med logaritmlagen för potenser

Vad ska stå istället för

x

för att följande likhet ska gälla? Lös uppgiften utan räknare.

l g (32) = x l g (2)

Ledtråd

Skriv om $32$ som en potens med basen $2$ och använd sedan logaritmlagen för potenser.

Lösning

Varken

l g (32)

eller

l g (2)

går att enkelt beräkna utan en miniräknare, men om vi kan skriva om

l g (32)

som någonting gånger

l g (2)

kan vi lösa ekvationen utan att faktiskt behöva räkna ut någon logaritm. Vi skriver om

32

som

2^{5}

och använder därefter logaritmlagen för potenser.

l g (32) = x l g (2)

WritePow

Skriv som potens

l g (2^{5}) = x l g (2)

LgPow

$l g (a^{b}) = b \cdot l g (a)$

5 \cdot l g (2) = x l g (2)

DivEqn

$VL / l g (2) = HL / l g (2)$

5 = x

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

x = 5

Med hjälp av logaritmlagen lyckades vi bli av med alla logaritmer utan att behöva räkna ut dem och kom fram till svaret

x = 5 .

Logaritmlagar

Vilken bas

b

gör att likheten stämmer?

lo g_{b} (\frac{1}{3 2}) = - \frac{5}{2}

Vi börjar med att förenkla logaritmens argument genom att skriva om bråket som en potens enligt 1a=a^(- 1). Därefter flyttar vi ner minustecknet med logaritmlagen för potenser.

Vi fortsätter att förenkla ekvationen med hjälp av logaritm- och potenslagarna.

Enligt ekvationen vi har fått fram ska b-logaritmen av 4^5 vara lika med 5. Det innebär att talet b upphöjt till 5 ska vara lika med det som står innanför logaritmen, alltså 4^5. Då får vi b^5 = 4^5, där vi direkt kan se att b måste vara lika med 4. Svaret är alltså b=4.

Logaritmlagar

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Laddar innehåll