Logaritmlagar: Lär dig lösa ekvationer med logaritmer lättare

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Logaritmlagar
Specialfall av tiologaritmer

Förkunskaper

Logaritm
Ekvation
Potenser
Exponent

Regel

Logaritmlagar

Ur definitionen av logaritmer följer några räkneregler som underlättar vid beräkningar. Dessa brukar kallas logaritmlagar och gäller för alla logaritmer, oavsett bas.

Regel

l g (a^{b}) = b \cdot l g (a)

Regel

Logaritmen av en potens

Om man logaritmerar en potens kan den skrivas om genom att flytta ner exponenten. Man kan visa det med potenslagar.

l g (7^{4})

▼

Skriv om

NumberToBaseTen

$a = 1 0^{l g (a)}$

l g ((1 0^{l g 7})^{4})

PowPow

$(a^{b})^{c} = a^{b \cdot c}$

l g (1 0^{l g (7) \cdot 4})

LgId

$l g (1 0^{a}) = a$

l g (7) \cdot 4

RearrangeFac

Omarrangera faktorer

4 \cdot l g (7)

Regeln gäller endast för positiva

a

och reella

b .

Regel

l g (a b) = l g (a) + l g (b)

Regel

Logaritmen av en produkt

Logaritmen av en produkt kan skrivas som summan av logaritmerna av faktorerna. Man kan visa det genom att skriva om faktorerna som potenser och sedan använda potenslagen för multiplikation.

l g (3 \cdot 2)

NumberToBaseTen

$a = 1 0^{l g (a)}$

l g (1 0^{l g (3)} \cdot 1 0^{l g (2)})

MultPow

$a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}$

l g (1 0^{l g (3) + l g (2)})

LgId

$l g (1 0^{a}) = a$

l g (3) + l g (2)

Regeln gäller endast för positiva

a

och

b .

Regel

l g (\frac{a}{b}) = l g (a) - l g (b)

Regel

Logaritmen av en kvot

Logaritmen av en kvot kan skrivas om som differensen av logaritmerna av täljaren och nämnaren. Detta kan visas genom att skriva om täljaren och nämnaren som potenser och använda potenslagen för division.

l g (\frac{7}{3})

NumberToBaseTen

$a = 1 0^{l g (a)}$

l g (\frac{1 0 ^{l g (7)}}{1 0 ^{l g (3)}})

DivPow

$\frac{a ^{b}}{a ^{c}} = a^{b - c}$

l g (1 0^{l g (7) - l g (3)})

LgId

$l g (1 0^{a}) = a$

l g (7) - l g (3)

Regeln gäller för endast för positiva

a

och

b .

Regel

Specialfall av tiologaritmer

Regel

l g (10) = 1

Regel

Tiologaritmen av $10$

Tiologaritmen av $10$ är $1$ eftersom $l g (10)$ är det tal man ska höja upp $10$ till för att det ska bli $10 :$

$1 0^{1} = 10 \Leftrightarrow l g (10) = 1 .$

Regel

l g (1) = 0

Regel

Tiologaritmen av $1$

Tiologaritmen av $1$ är $0$ eftersom $l g (1)$ är det tal man ska höja upp $10$ till för att det ska bli $1 .$ Alla tal (förutom $0)$ upphöjt till $0$ är $1$ och därför är

$1 0^{0} = 1 \Leftrightarrow l g (1) = 0 .$

Exempel

Beräkna med logaritmlagarna

Beräkna utan räknare:

\frac{l g ( 2 0 0 0 ) + l g ( 5 )}{l g ( 1 0 ^{2} )} .

Ledtråd

Använd produktregeln för att slå ihop täljaren. Förenkla med hjälp av kända logaritmvärden.

Lösning

Vi börjar med att förenkla täljaren. Det är en summa av logaritmer så vi kan skriva om den genom att multiplicera argumenten.

\frac{l g ( 2 0 0 0 ) + l g ( 5 )}{l g ( 1 0 ^{2} )}

LgAdd

$l g (a) + l g (b) = l g (a b)$

\frac{l g ( 2 0 0 0 \cdot 5 )}{l g ( 1 0 ^{2} )}

Multiply

Multiplicera faktorer

\frac{l g ( 1 0 0 0 0 )}{l g ( 1 0 ^{2} )}

Talet

10000

kan skrivas som

1 0^{4},

vilket innebär tiologaritmen av det är

4 .

Nämnaren kan man också förenkla eftersom argumentet där redan är en tiopotens.

\frac{l g ( 1 0 0 0 0 )}{l g ( 1 0 ^{2} )}

Rewrite

Skriv $10000$ som $1 0^{4}$

\frac{l g ( 1 0 ^{4} )}{l g ( 1 0 ^{2} )}

LgId

$l g (1 0^{a}) = a$

\frac{4}{2}

CalcQuot

Beräkna kvot

2

Uttrycket värde är alltså

2 .

Exempel

Lös ekvationen med logaritmlagen för potenser

Vad ska stå istället för

x

för att följande likhet ska gälla? Lös uppgiften utan räknare.

l g (32) = x l g (2)

Ledtråd

Skriv om $32$ som en potens med basen $2$ och använd sedan logaritmlagen för potenser.

Lösning

Varken

l g (32)

eller

l g (2)

går att enkelt beräkna utan en miniräknare, men om vi kan skriva om

l g (32)

som någonting gånger

l g (2)

kan vi lösa ekvationen utan att faktiskt behöva räkna ut någon logaritm. Vi skriver om

32

som

2^{5}

och använder därefter logaritmlagen för potenser.

l g (32) = x l g (2)

WritePow

Skriv som potens

l g (2^{5}) = x l g (2)

LgPow

$l g (a^{b}) = b \cdot l g (a)$

5 \cdot l g (2) = x l g (2)

DivEqn

$VL / l g (2) = HL / l g (2)$

5 = x

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

x = 5

Med hjälp av logaritmlagen lyckades vi bli av med alla logaritmer utan att behöva räkna ut dem och kom fram till svaret

x = 5 .

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}

Förkunskaper

Regel

Regel

Regel

Regel

Regel

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning