Logaritmlagar

Nej. Talet -5 är en s.k. falsk rot. Denna uppstår i det första steget då Karl-Albin flyttar upp tvåan som exponent på x enligt logaritmlagen blg(a)=lg(a^b). I denna är lg(a) nämligen enbart definierad för positiva a, eftersom man bara kan ta tiologaritmen av positiva tal. Men när han skriver om vänsterledet 2lg(x) till lg(x^2) går det plötsligt att sätta in negativa x i argumentet, eftersom x^2 alltid blir positiv även om x är negativ. Vi får då en falsk rot som löser den omskrivna ekvationen lg(x^2)=lg(25) men inte ursprungsekvationen.

Vi skriver bråket som en enda potens med hjälp av en av potenslagarna.

Här har vi en summa av lg(x)-termer. Om vi hade haft 2 stycken hade vi kunnat skriva summan som 2*lg(x). Hade det varit 3 stycken skulle vi kunna skriva 3*lg(x) osv. lg(x)+lg(x)&=2*lg(x) lg(x)+lg(x)+lg(x)&=3*lg(x) lg(x)+lg(x)+lg(x)+lg(x)&=4*lg(x) Nu har vi y stycken vilket betyder att vi kan skriva summan som y* lg(x).

För att skriva om lg(x^y) som ylg(x) börjar vi med att skriva x som 10^(lg(x)). Då kan vi använda potenslagar för att förenkla.

Nu har vi skrivit om uttrycket så att det står på formen tiologaritmen av tio upphöjt till någonting, dvs. på formen lg(10^a). Detta är lika med det som står i exponenten enligt lg(10^a)=a. Denna regel använder vi nu för att slutföra beviset.

lg(x^y) kan alltså skrivas som ylg(x).

Vi börjar med att lösa ut lg(x). Sedan sätter vi båda led som exponenter på basen 10.

Först löser vi ut logaritmtermen och använder sedan lg(a^b)= b*lg(a) för att få lg(x) ensamt.

En logaritm beräknar vilken exponent man ska sätta på logaritmens bas för att få talet i argumentet. Vi vill skriva om argumentet i samma bas som logaritmen. log_3(4) har basen 3 så vi skriver om 9 som 3^2 och läser av uttryckets värde i argumentet enligt b^(log_b(a))=a.

Nu är logaritmens bas 6 och eftersom 36 kan skrivas som potensen 6^2 kan vi använda samma metod som i förra uppgiften för att läsa av uttryckets värde direkt i logaritmens argument.

Logaritmens bas är 16. Vi kan skriva om 4:an som en potens med basen 16 och exponenten 12 och därefter använda lagen (a^b)^c=a^(bc) för att multiplicera exponenterna.

Vi börjar med att skriva uttrycket som en enda logaritm.

Produkten innanför logaritmen kan vi beräkna genom att skriva 102 som 100+2 och 98 som 100-2. Då kan vi använda konjugatregeln.

Vi ska alltså undersöka när log_b(9 996) är 1 dvs. vi ska lösa ekvationen log_b(9996)=1. Logaritmen, som är lika med 1, är den exponent man ska sätta på basen b för att få talet inuti logaritmen dvs. b^1=9 996 ⇔ b=9 996. Basen b måste alltså vara 9 996.

Första parantesen står på formen (a+b)^2 så denna kan utvecklas med första kvadreringsregeln. Vi börjar med att göra detta och förenklar sedan så långt det går.

Uttrycket förenklades till sqrt(3x).

Genom att använda regeln lg(a^b)=b* lg(a) kan vi plocka ner exponenten och därefter förenkla kvoten.

Uttrycket förenklades till lg(x).

Den andra logaritmen kan förenklas genom att flytta ner exponenten enligt formeln lg(a^b)=b*lg(a).

Uttrycket förenklas till lg(x).

Parentesen står på formen (xy-y)^2 så den kan utvecklas med andra kvadreringsregeln. Innan vi gör detta skriver vi dock först om y^(- 2) enligt regeln a^(- b)= 1a^b.

Uttrycket förenklas till x^2-2x+1.