8. Logaritmlagar
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 2
8.
Logaritmlagar
Denna sida ger en förståelse för logaritmlagar och hur de används i matematiken. Med fokus på inspektionsmetoden, hjälper den besökarna att utveckla sina färdigheter i att räkna logaritmer. Det framgår också vad 'lg' betyder i matematiska termer. Genom att förstå dessa lagar kan besökaren effektivt lösa matematiska problem som involverar logaritmer. Oavsett om det handlar om att beräkna logaritmer, förstå logaritmregler, eller tolka 'lg', förser denna källa användaren med den nödvändiga kunskapen.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 5 sidor teori |
| | 33 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Logaritmlagar
Sida av 5
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Logaritmlagar
Ur definitionen av logaritmer följer några räkneregler som underlättar vid beräkningar. Dessa brukar kallas logaritmlagar och gäller för alla logaritmer, oavsett bas.
Regel
lg(a^b)=b*lg(a)Regel
Logaritmen av en potens
Om man logaritmerar en potens kan den skrivas om genom att flytta ner exponenten. Man kan visa det med potenslagar.
Regeln gäller endast för positiva a och reella b.Regel
lg(ab)=lg(a)+lg(b)Regel
Logaritmen av en produkt
Logaritmen av en produkt kan skrivas som summan av logaritmerna av faktorerna. Man kan visa det genom att skriva om faktorerna som potenser och sedan använda potenslagen för multiplikation.
lg(3*2)
NumberToBaseTen
a=10^(lg(a))
lg(10^(lg(3))* 10^(lg(2)))
MultPow
a^b*a^c=a^(b+c)
lg(10^(lg(3)+lg(2)))
LgId
lg(10^a)=a
lg(3)+lg(2)
Regel
lg(a/b)=lg(a)-lg(b)Regel
Logaritmen av en kvot
Logaritmen av en kvot kan skrivas om som differensen av logaritmerna av täljaren och nämnaren. Detta kan visas genom att skriva om täljaren och nämnaren som potenser och använda potenslagen för division.
lg(7/3)
NumberToBaseTen
a=10^(lg(a))
lg(10^(lg(7))/10^(lg(3)))
DivPow
a^b/a^c= a^(b-c)
lg(10^(lg(7)-lg(3)))
LgId
lg(10^a)=a
lg(7)-lg(3)
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Specialfall av tiologaritmer
Regel
lg(10)=1Regel
Tiologaritmen av 10
Tiologaritmen av 10 är 1 eftersom lg(10) är det tal man ska höja upp 10 till för att det ska bli 10:
10^1=10 ⇔ lg(10)=1.
Regel
lg(1)=0Regel
Tiologaritmen av 1
Tiologaritmen av 1 är 0 eftersom lg(1) är det tal man ska höja upp 10 till för att det ska bli 1. Alla tal (förutom 0) upphöjt till 0 är 1 och därför är
10^0=1 ⇔ lg(1)=0.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Beräkna med logaritmlagarna
Beräkna utan räknare: lg(2000)+lg(5)/lg(10^2).
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2"]}}
Ledtråd
Använd produktregeln för att slå ihop täljaren. Förenkla med hjälp av kända logaritmvärden.
Lösning
Vi börjar med att förenkla täljaren. Det är en summa av logaritmer så vi kan skriva om den genom att multiplicera argumenten.
lg(2000)+lg(5)/lg(10^2)
LgAdd
lg(a) + lg(b)=lg(ab)
lg(2000* 5)/lg(10^2)
Multiply
Multiplicera faktorer
lg(10 000)/lg(10^2)
Talet 10 000 kan skrivas som 10^4, vilket innebär tiologaritmen av det är 4. Nämnaren kan man också förenkla eftersom argumentet där redan är en tiopotens.
lg(10 000)/lg(10^2)
Rewrite
Skriv 10 000 som 10^4
lg(10^4)/lg(10^2)
LgId
lg(10^a)=a
4/2
CalcQuot
Beräkna kvot
2
Uttrycket värde är alltså 2.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Lös ekvationen med logaritmlagen för potenser
Vad ska stå istället för x för att följande likhet ska gälla? Lös uppgiften utan räknare. lg(32)=xlg(2)
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["5"]}}
Ledtråd
Skriv om 32 som en potens med basen 2 och använd sedan logaritmlagen för potenser.
Lösning
Varken lg(32) eller lg(2) går att enkelt beräkna utan en miniräknare, men om vi kan skriva om lg(32) som
någontinggånger lg(2) kan vi lösa ekvationen utan att faktiskt behöva räkna ut någon logaritm. Vi skriver om 32 som 2^5 och använder därefter logaritmlagen för potenser.
lg(32)=x lg(2)
WritePow
Skriv som potens
lg(2^5)=x lg(2)
LgPow
lg(a^b)= b*lg(a)
5 * lg(2)=x lg(2)
DivEqn
.VL /lg(2).=.HL /lg(2).
5 = x
RearrangeEqn
Omarrangera ekvation
x = 5
Med hjälp av logaritmlagen lyckades vi bli av med alla logaritmer utan att behöva räkna ut dem och kom fram till svaret x=5.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Logaritmlagar
Uppgift 1.1
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2*\\log(5)","2\\log(5)"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["3*\\log(11)","3\\log(11)"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2*\\log(7)","2\\log(7)"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi kan flytta ner tvåan framför logaritmen enligt lg(a^b)= b*lg(a). Det ger lg(5^2)=2*lg(5).
Vi använder samma regel och flyttar ner trean framför logaritmen:
lg(11^3)=3*lg(11).
Här står det ingen potens i logaritmen, men vi kan skriva 49 som 7^2. Sedan använder vi samma regel igen.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\log(9)"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\log(32)"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\log(3)"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi kan flytta upp tvåan som exponent i logaritmen.
Här sätter vi femman som exponent.
Vi fortsätter på samma sätt.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\log(30)"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\log(24)"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\log(125)"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi lägger ihop logaritmerna till en enda med logaritmlagen lg(a)+lg(b)=lg(ab).
Samma sak igen. Det spelar ingen roll att vi lägger ihop tre logaritmer, lagen fungerar på samma sätt.
Vi använder samma lag som tidigare.
Eftersom logaritmerna är 3 stycken identiska skulle vi kunna skriva om uttrycket som 3 * lg(5) och därefter sätta 3:an som exponent på 5:an.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\log(3)"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\log(\\dfrac{4}{3})"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\log(4)"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi skriver om logaritmerna till en enda med logaritmlagen lg(a)-lg(b)=lg(a/b).
Vi använder samma regel igen för att förenkla.
Samma sak igen. Det spelar ingen roll att det är tre logaritmer, lagen fungerar på samma sätt. För tydlighetens skull använder vi dock lagen två gånger.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi ska beräkna lg(10* 10) med hjälp av logaritmlagen lg(ab)=lg(a) + lg(b) och börjar med att skriva om logaritmen med denna lag.
lg10 är det tal 10 ska upphöjas till för att få 10, dvs. 1.
Vi kan alltså konstatera att lg(10* 10) är lika med 2.
Nu ska vi istället beräkna lg(10* 10) med hjälp av logaritmlagen lg(a^b)= b*lg(a). Innan vi kan använda denna lag måste vi skriva om 10* 10 som en potens.
Vi har alltså ännu en gång kommit fram till att värdet av lg(10* 10) är 2.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["64"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["5"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["1"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi löser ut lg(x) och använder lg(a) + lg(b)=lg(ab).
Vi löser ut logaritmen som innehåller x.
På samma sätt som tidigare börjar vi med att lösa ut logaritmen med x.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["50"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["4"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["16"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi använder lagen lg(a) + lg(b)=lg(ab) för att skriva om högerledet till en enda logaritm. Då ser vi att x och 50 har samma tiologaritm, vilket måste innebära att x och 50 är samma tal.
Vi löser ekvationen på motsvarande sätt, men för att slå ihop HL används lagen lg(a)-lg(b)=lg( ab).
Vi använder oss av b*lg(a)=lg(a^b) och flyttar upp 4:an som exponent på 2. Därefter kan vi jämföra argumenten och se att de är lika.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["100"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["0,5"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["2"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi skriver om högerledet till en enda logaritm.
Ekvationen har lösningen x=100.
Nu skriver vi om vänsterledet. Till sist likställer vi logaritmernas argument och löser ekvationen.
Ekvationen har lösningen x=0,5.
Här använder vi logaritmlagen b*lg(a)=lg(a^b) för att skriva om vänsterledet.
Ekvationen har lösningen x=2.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["y"],"constants":["z"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\log(y^z)"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["z"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\log(z^x)"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\log(2^x)"]}}
security
report
code
security
report
code
Här kan vi använda logaritmlagen för potenser direkt, b* lg(a)=lg(a^b), vilket ger att z sätts som exponent på y. Vi får då z*lg(y)=lg(y^z).
Till att börja med förenklar vi lg(10) till 1. Därefter använder vi samma logaritmlag som i föregående deluppgift.
Även här förenklar vi logaritmen och använder logaritmlagen för potenser.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["4"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["3"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["4,5"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi skriver om högerledet till en logaritm.
För att dessa två logaritmer ska vara lika med varandra måste de två argumenten vara lika. Vi likställer dem och löser ekvationen.
Ekvationen har lösningen x=4.
Vi skriver om högerledet som en enda logaritm. Sedan likställer vi argumenten och löser ekvationen.
Ekvationen har lösningen x=3.
Vi skriver om vänsterledet och likställer sedan de två logaritmernas argument, samt löser ekvationen.
x=4,5 löser ekvationen.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["2"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["1,5"]}}
security
report
code
security
report
code
Varken lg(6) eller lg(36) är enkla att beräkna i huvudet, så vi får göra omskrivningar för att lösa uppgiften. I högerledet är logaritmens argument en perfekt kvadrat vilket betyder att den kan skrivas om som en potens med exponenten 2. Vi utnyttjar alltså att 36 =6^2 och använder därefter logaritmlagarna.
I vänster- och högerled har vi produkter där ena faktorn är lg(6) i båda led. Genom att dela med lg(6) får vi x ensamt i vänsterledet.
x=2 löser alltså ekvationen.
I högerledet är argumentet 125, dvs. en perfekt kub. Vi gör på samma sätt som tidigare och skriver om argumentet i högerledet som en potens och använder sedan samma logaritmlag igen.
x=1,5 löser ekvationen.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Logaritmlagar
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll