Expandera meny menu_open Minimera Gå till startsidan home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu
{{ courseTrack.displayTitle }} {{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
search Använd offline Verktyg apps
Digitala verktyg Grafräknare Geometri 3D Grafritare Geogebra Classic Mathleaks Kalkylator Kodfönster
Kurs & Bok Jämför mattebok Studieläge Avsluta studieläge Skriv ut kurs
Handledning Videohandledningar Formelsamling

Videohandledningar

Hur fungerar Mathleaks

Mathleaks Läromedel

Hur fungerar Mathleaks

play_circle_outline
Studera med en mattebok

Mathleaks Läromedel

Hur studerar man med en mattebok

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Lösningarna finns i appen

play_circle_outline
Verktyg för elever & lärare

Mathleaks Läromedel

Dela statistik med lärare

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skapar man klasser

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skriver man ut kursmaterial?

play_circle_outline

Formelsamling

Formelsamlingar för mattekurser looks_one

Kurs 1

looks_two

Kurs 2

looks_3

Kurs 3

looks_4

Kurs 4

looks_5

Kurs 5

Logga in account_circle menu_open

Videolektion

Mathleaks

play_circle_filled
play_circle_filled
picture_in_picture_alt

Minispelare aktiv

Längd:

Regel

Logaritmlagar

Ur definitionen av logaritmer följer några räkneregler som underlättar vid beräkningar. Dessa brukar kallas logaritmlagar och gäller för alla logaritmer, oavsett bas.

Regel

info
lg(ab)=blg(a)\lg\left(a^b\right)=b\cdot\lg(a)
Regel

Logaritmen av en potens

Om man logaritmerar en potens kan den skrivas om genom att flytta ner exponenten. Man kan visa det med potenslagar.

lg(74)\lg\left(7^4\right)
lg((10lg7)4)\lg\left(\left(10^{\lg 7}\right)^4\right)
lg(10lg(7)4)\lg\left(10^{\lg(7)\cdot4}\right)
lg(7)4\lg(7)\cdot4
4lg(7)4 \cdot \lg(7)
Regeln gäller endast för positiva aa och reella b.b.

Regel

info
lg(ab)=lg(a)+lg(b)\lg(ab)=\lg(a)+\lg(b)
Regel

Logaritmen av en produkt

Logaritmen av en produkt kan skrivas som summan av logaritmerna av faktorerna. Man kan visa det genom att skriva om faktorerna som potenser och sedan använda potenslagen för multiplikation.

lg(32)\lg(3\cdot2)
lg(10lg(3)10lg(2))\lg\left(10^{\lg(3)}\cdot 10^{\lg(2)}\right)
lg(10lg(3)+lg(2))\lg\left(10^{\lg(3)+\lg(2)}\right)
lg(3)+lg(2)\lg(3)+\lg(2)
Regeln gäller endast för positiva aa och b.b.

Regel

info
lg(ab)=lg(a)lg(b)\lg\left(\dfrac{a}{b}\right)=\lg(a)-\lg(b)
Regel

Logaritmen av en kvot

Logaritmen av en kvot kan skrivas om som differensen av logaritmerna av täljaren och nämnaren. Detta kan visas genom att skriva om täljaren och nämnaren som potenser och använda potenslagen för division.

lg(73)\lg\left(\dfrac{7}{3}\right)
lg(10lg(7)10lg(3))\lg\left(\dfrac{10^{\lg(7)}}{10^{\lg(3)}}\right)
lg(10lg(7)lg(3))\lg\left(10^{\lg(7)-\lg(3)}\right)
lg(7)lg(3)\lg(7)-\lg(3)
Regeln gäller för endast för positiva aa och b.b.
Regel

Specialfall av tiologaritmer

Regel

info
lg(10)=1\lg(10)=1
Regel

Tiologaritmen av 10

Tiologaritmen av 1010 är 11 eftersom lg(10)\lg(10) är det tal man ska höja upp 1010 till för att det ska bli 1010:

101=10lg(10)=1. 10^1=10 \quad \Leftrightarrow \quad \lg(10)=1.

Regel

info
lg(1)=0\lg(1)=0
Regel

Tiologaritmen av 1

Tiologaritmen av 11 är 00 eftersom lg(1)\lg(1) är det tal man ska höja upp 1010 till för att det ska bli 11. Alla tal (förutom 00) upphöjt till 00 är 11 och därför är

100=1lg(1)=0. 10^0=1 \quad \Leftrightarrow \quad \lg(1)=0.
Uppgift

Beräkna utan räknare: lg(2000)+lg(5)lg(102). \dfrac{\lg(2000)+\lg(5)}{\lg\left(10^2\right)}.

Lösning

Vi börjar med att förenkla täljaren. Det är en summa av logaritmer så vi kan skriva om den genom att multiplicera argumenten.

lg(2000)+lg(5)lg(102)\dfrac{\lg(2000)+\lg(5)}{\lg\left(10^2\right)}
lg(20005)lg(102)\dfrac{\lg(2000\cdot 5)}{\lg\left(10^2\right)}
lg(10000)lg(102)\dfrac{\lg(10\,000)}{\lg\left(10^2\right)}

Talet 1000010\,000 kan skrivas som 10410^4, vilket innebär tiologaritmen av det är 4.4. Nämnaren kan man också förenkla eftersom argumentet där redan är en tiopotens.

lg(10000)lg(102)\dfrac{\lg(10\,000)}{\lg\left(10^2\right)}
4lg(102)\dfrac{4}{\lg\left(10^2\right)}
42\dfrac{4}{2}
22

Uttrycket värde är alltså 2.

info Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Vad ska stå istället för xx för att följande likhet ska gälla? Lös uppgiften utan räknare.lg(32)=xlg(2) \lg(32)=x\lg(2)

Lösning
Varken lg(32)\lg(32) eller lg(2)\lg(2) går att enkelt beräkna utan en miniräknare, men om vi kan skriva om lg(32)\lg(32) som "någonting" gånger lg(2)\lg(2) kan vi lösa ekvationen utan att faktiskt behöva räkna ut någon logaritm. Vi skriver om 3232 som 252^5 och använder därefter logaritmlagen för potenser.
lg(32)=xlg(2)\lg(32)=x \lg(2)
lg(25)=xlg(2)\lg(2^5)=x \lg(2)
5lg(2)=xlg(2)5 \cdot \lg(2)=x \lg(2)
5=x5 = x
x=5x = 5

Med hjälp av logaritmlagen lyckades vi bli av med alla logaritmer utan att behöva räkna ut dem och kom fram till svaret x=5.x=5.

info Visa lösning Visa lösning
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward