Linjära och exponentiella förändringar

En graf som visar en proportionalitet är en rät linje som går igenom origo. A går visserligen genom origo, men det är ingen rät linje, så den kan vi utesluta. Både B och C är räta linjer som går igenom origo, så de är proportionaliteter. Graf D är en rät linje, men den går inte genom origo. Graferna som beskriver proportionaliteter är alltså B och C.

Det är lagligt för Anna-Lisa att köra om koncentrationen alkohol i hennes blod är under 0,2 promille. För att hitta tidpunkten då koncentrationen är 0,2 promille sätter vi in y = 0,2 i funktionen och löser ut x.

Alkoholnivån har sjunkit till 0,2 promille 10 timmar efter midnatt. Om man kan lita på funktionen så måste hon alltså vänta till efter klockan 10 på morgonen nästa dag för att kunna köra bil.

Alla funktioner utgår ifrån en procentuell värdeminskning, dvs. det är exponentialfunktioner. En exponentialfunktion skrivs på formen y=C* a^x, där C är startvärdet och a är förändringsfaktorn. I vårt exempel står x för antal år efter det att datorn köptes. Vi analyserar de olika funktionerna var för sig.

Funktionen f(x)

Denna funktion har en orimlig förändringsfaktor. Förändringsfaktorn 1,08 innebär en ökning med 8 % per år. Eftersom datorn kommer att slitas och bli omodern är det inte rimligt att den skulle öka i värde.

Funktionen g(x)

Funktionen g(x) har en rimlig förändringsfaktor på 0,8. Den minskar alltså med 20 % per år. Den har däremot ett orimligt lågt inköpspris. En ny dator brukar inte kosta endast 49kr!

Funktionen h(x)

h(x) är den funktion som har både ett rimligt startvärde (alltså inköpspris) på 4 999kr och en rimlig förändringsfaktor på 0,81 som innebär en värdeminskning på 19 % per år. Därför måste denna vara det korrekta svaret.

I deluppgift A kom vi fram till att den rimliga modellen är h(x). Värdet på datorn efter 3 år beräknar vi genom att sätta in x= 3 i h(x).

Värdet efter 3 år är alltså 2 657kr.

Uttrycket 10 000* 0,8^x beskriver en exponentiell förändring där talet 10 000 är startvärdet, alltså hur mycket mopeden var värd när Adam köpte den, och 0,8 kan tolkas som en förändringsfaktor som anger hur värdet förändras varje år. För varje år som går är mopeden alltså värd 0,8 = 80 % av vad den var värd året innan. Det innebär att 100 % - 80 %= 20 % av värdet försvinner varje år. Värdeminskningen är alltså 20 % per år.

Startvärdet är det värde funktionen har när x är 0, dvs. när mätningen startade. Det motsvarar i detta fall antalet djur idag, så C=50 000. C=50 000

Antalet djur beräknas minska med 3 % varje år. Det betyder att det varje år kommer att vara 100-3=97 % kvar jämfört med föregående år. 97 % skrivs i decimalform som 0,97 så förändringsfaktorn är a=0,97.

För att ställa upp funktionen behöver vi veta C och a. De bestämde vi i föregående deluppgifter så vi sätter in dem: f(x)=C* a^x ⇒ f(x)=50 000 * 0,97^x.

Vi har en vara som ökar med lika många procent varje år. För varje år multiplicerar man därför med någon förändringsfaktor. Efter x år har man multiplicerat med denna förändringsfaktor x gånger. Sambandet vi söker ska därför ha x i exponenten. Då kan vi utesluta tre av alternativen, nämligen A,D ochE. Nu har vi två uttryck kvar. Om varan ökar med 5 % betyder det att värdet varje år är 100+5=105 % av vad det var året innan. 105 % skriver vi i decimalform som 1,05 så detta är förändringsfaktorn. Det finns bara ett alternativ som har denna förändringsfaktor, alternativ B, så varans prisutveckling beskrivs därför av y=2 000*1,05^x.

Vi kan börja vår lösning med att sätta in punkterna i ett koordinatsystem för att få en första uppfattning om det kan vara en linjär funktion.

Baserat på hur punkterna är utsatta ligger de förmodligen inte på någon rät linje, men för att kunna vara säkra måste vi visa detta algebraiskt. En rät linje kan skrivas med formeln y = kx + m, där riktningskoefficienten k bestämmer linjens lutning och kan beräknas från koordinaterna för två punkter med formeln k = y_2 - y_1/x_2 - x_1. I det här fallet har vi dock inte ett y som beror av x utan ett L som beror av v, så formeln blir k = L_2 - L_1/v_2 - v_1. Lutningen ska vara samma oavsett vilka två punkter man väljer på linjen, så vi kan beräkna k mellan första och andra punkten för att sedan jämföra med samma värde mellan andra och tredje punkten. Om de ligger på en linje ska dessa värden vara likadana. Vi börjar med punkterna (50,60) och (90,70).

Vi beräknar sedan samma sak för andra och tredje punkterna: (90,70) och (150,75).

Vi får olika värden på k beroende på vilka punkter vi väljer, vilket alltså betyder att de tre punkterna inte ligger på en rät linje.

Vi har fått en mening och vi måste översätta den till en ekvation. Utdata är tio mindre än indata. Varje ekvation har ett likhetstecken tecken och värden eller uttryck på vardera sidan om det. Nyckelfraser, som är, är lika med, och är lika med talar om för oss var likhetstecknet ska placeras. Utdata är tio mindre än indata. ⇕ Utdata = tio mindre än indata. På vänster sida har vi bara nyckelordet utdata, som vi kommer att namnge som variabeln y. Utdata = tio mindre än indata. ⇕ y = tio mindre än indata. På höger sida är nyckelordet mindre än vilket säger åt oss att subtrahera 10 från indata. Det andra nyckelordet på den sidan är indata, som vi kommer att namnge som variabeln x. tio mindre än the indata. ⇕ x - 10 Sätter vi ihop dessa sidor får vi en komplett ekvation. y = x - 10 Låt oss nu rita funktionen. För att rita funktionen y=x-10, kommer vi att följa två steg.

1. Gör en funktionstabell för att få ordnade par.
2. Rita de ordnade paren och rita linjen genom dem.

Låt oss göra dessa saker en i taget.

Göra en funktionstabell

För att göra en funktionstabell kommer vi att välja några värden på x som kommer att ingå i vår domän. Sedan kommer vi att sätta in dessa värden i funktionen för att hitta motsvarande värden på y. Dessa x- och y-värden kommer att skapa en uppsättning ordnade par.

Vi hittade fyra ordnade par som ligger på grafen för vår funktion.

Rita de ordnade paren och rita linjen

Därefter kommer vi att rita de ordnade paren och koppla ihop dem med en rak linje.

Linjen är den kompletta grafen för funktionen. De ordnade paren som motsvarar alla punkter på linjen är lösningar till ekvationen y=x-10.

Ekvationer skrivna i k-form följer ett specifikt format. y= kx+ m I denna form är k lutningen och m är y-skärningen. Vi måste identifiera dessa värden med hjälp av grafen.

y-skärning

y-skärningen är y-värdet där linjen korsar y-axeln.

Vi kan se att funktionen skär y-axeln vid (0, 2). Detta betyder att värdet på m är 2. y= kx+ 2

Lutning

För att hitta lutningen kommer vi att använda lutningsformeln. k = y_2-y_1/x_2-x_1 Genom att observera den givna grafen kan vi se att linjen passerar genom punkterna (0,2) och (6,10). Låt oss sätta in dessa punkter i lutningsformeln för att hitta k.

Skriva ekvationen

Nu när vi har lutningen och y-skärningen kan vi skriva vår slutgiltiga ekvation. y= 4/3x+ 2

En linjär funktion är en funktion vars graf är en icke-vertikal linje. Ekvationen för denna typ av funktion följer ett specifikt format, som kallas k-form. y=kx+m Här är k lutningen och m är linjens y-skärningspunkt. Med denna information i åtanke, låt oss betrakta den givna värdetabellen.

Därefter kommer vi att markera punkterna i ett koordinatplan och rita linjen genom dem.

Låt oss hitta linjens lutning. Kom ihåg att lutningen k är förhållandet mellan förändringen i y och förändringen i x. k=förändring iy/förändring ix ⇔ k=y_2-y_1/x_2-x_1 Vi kan använda vilka två punkter som helst på linjen för att hitta lutningen. Vi kommer godtyckligt att använda ( 0, 0) och ( 4, -1).

Vi fann att linjens lutning är - 14. Låt oss skriva en partiell ekvation för vår linje. y= -1/4x+m Slutligen, eftersom linjen korsar y-axeln vid (0; 0), är y-skärningspunkten m lika med 0. y= -1/4x+ 0 ⇔ y= -1/4x Låt oss lägga till denna information i vårt diagram.

Vi har fått en funktion och blivit ombedda att utvärdera den för några givna värden. x=- 2, 0, 1/2 Detta betyder att vi ska ersätta - 2, 0, och 12 för x i den givna funktionen och sedan utvärdera. Låt oss börja med - 2.

Låt oss nu göra samma sak för resten av värdena.

Vi ska avgöra om tabellen representerar en linjär eller en exponentiell funktion. Om kvoterna för på varandra följande y-värden är lika, representerar tabellen en exponentiell funktion. Om skillnaden mellan på varandra följande y-värden är konstant, representerar tabellen en linjär funktion. Betrakta den givna tabellen.

Låt oss beräkna skillnaden mellan på varandra följande y-värden. 0-1= - 1, -1 -0= - 1, - 2-(- 1)=- 1 Vi kan se att skillnaderna är konstanta, så tabellen representerar en linjär funktion.

För att utvärdera den givna funktionen för x=2 bör vi ersätta 2 med x i den givna funktionen och sedan förenkla.

Vi får ett uttryck och ombeds att utvärdera det för x=- 2. Detta innebär att vi ska ersätta - 2 med x i det givna uttrycket och sedan utvärdera.

Vi får ett uttryck och ombeds att utvärdera det för x=3. Detta innebär att vi ska ersätta 3 med x i det givna uttrycket och sedan utvärdera.

Med hjälp av funktionen h(w) vill vi utvärdera för det givna värdet, h( 18). För att göra detta måste vi ersätta 18 med w i varje instans av w-variabeln.