Linjära och exponentiella förändringar

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

För att beskriva verkliga fenomen, t.ex. hur en kopp te svalnar eller hur långt en häst har sprungit, kan man använda funktioner. Det finns flera olika typer av funktioner som kan beskriva sådana förlopp, exempelvis linjära funktioner och exponentialfunktioner. Med dessa kan man bl.a. uppskatta vad som kommer att hända efter en viss tid eller sträcka.
Begrepp

Proportionalitet

När man handlar lösviktsgodis beror kostnaden på hur mycket man köper. Om priset är 7.907.90 kr/hg beräknar man den totala kostnaden genom att multiplicera 7.907.90 med antalet hg. Om vikten i hg är xx ska man betala 7.90x  kronor. 7.90 \cdot x \ \ \text{kronor.} Den här typen av förhållande kallas proportionalitet. Det innebär att resultatet påverkas på samma sätt som variabeln: om man köper dubbelt så mycket godis kommer det att kosta dubbelt så mycket och så vidare.

Begrepp

Linjära förändringar

Ett proportionellt samband ger alltid 00 om man sätter in 0.0. Men om man t.ex. måste betala 22 kr för påsen till godiset får man en liknande, men inte samma, situation. Den totala kostnaden blir då summan av påsen och godiset: 7.90x+2  kronor. 7.90x + 2 \ \ \text{kronor}.

Både 7.90x7.90x och 7.90x+27.90x + 2 är exempel på linjära förändringar och de förändras alltid med lika mycket. I det här fallet är den förändringen 7.907.90 kr för varje extra hg man köper.
Uppgift

Familjen Svebjörk ska hyra en stuga i Hassela under sportlovet. Kostnaden kan beskrivas av funktionen k(x)=450xk(x) = 450x kr, där xx är antalet dagar som man hyr stugan. Hur mycket är kostnaden per dag? Hur skulle funktionen se ut om det även fanns en bokningsavgift på 300 kr?

Lösning

Tittar vi på funktionen ser vi att x,x, som är antalet dagar, multipliceras med talet 450.450. Detta kan vi direkt tolka som att kostnaden per dag är 450450 kr. Om man ökar xx med 1,1, alltså en dag, ökar ju den totala kostnaden med 450450 kr. Vi ser t.ex. att k(0)=4500=0ochk(1)=4501=450. k(0) = 450 \cdot 0 = 0 \qquad \text{och} \qquad k(1) = 450 \cdot 1 = 450. Om det även finns en bokningsavgift på 300300 kr måste kostnaden öka med denna summa, oavsett hur många dagar som man hyr stugan. Vi får den nya funktionen, som vi kan kalla f(x),f(x), genom att addera 300300 till 450x.450x. f(x)=450x+300 f(x) = 450x + 300

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Exponentiella förändringar

Om man har pengar på ett sparkonto kommer dessa pengar att öka varje år enligt räntan på kontot. Sätter man t.ex. in 1000010\,000 kr på ett konto med 5%5\,\% ränta, vilket motsvarar förändringsfaktorn 1.05,1.05, kommer det efter ett år att finnas 100001.05=10500kr. 10\,000 \cdot 1.05 = 10\,500 \; \text{kr.} Låter man pengarna vara kvar kommer de att öka med ytterligare 5%5\,\% nästa år, vilket gör att det kommer att finnas 100001.05105001.05=105001.05=11025kr. \underbrace{10\,000 \cdot 1.05}_{10\,500}\cdot 1.05 = 10\,500 \cdot 1.05 = 11\,025 \; \text{kr}. Detta är inte någon linjär förändring eftersom summan ökar med 500500 kr första året och 525525 kr andra året. Den ökar dock med lika många procent varje år, vilket kallas exponentiell förändring. Summan på kontot efter tt år kan beskrivas av s(t)=100001.05t, s(t) = 10\,000 \cdot 1.05^t,

vilket är en exponentialfunktion.
Uppgift

Befolkningen i Badholmsta kommun kan beskrivas med funktionen f(t)=240000.93t, f(t)=24\,000 \cdot 0.93^t, där tt är antalet år efter 1985.1985. Hur många personer bodde i kommunen 19901990 enligt modellen? Med hur många procent minskar befolkningen varje år?

Lösning
19901990 är 55 år efter 1985.1985. Vi sätter därför in t=5t=5 i funktionen och beräknar.
f(t)=240000.93tf(t)=24\,000 \cdot 0.93^t
f(5)=240000.935f({\color{#0000FF}{5}})=24\,000 \cdot 0.93^{{\color{#0000FF}{5}}}
f(5)=16696.52086f(5)=16\,696.52086\ldots
Här får vi ett långt decimaltal, men befolkning brukar anges i tusental så vi avrundar till det: f(5)=16696.5208617000. f(5)=16\,696.52086\ldots\approx 17\,000. År 19901990 beräknas alltså befolkningen ha varit cirka 1700017\,000 personer. För att bestämma den årliga procentuella förändringen tittar vi på funktionsuttrycket igen: f(t)=240000.93t. f(t)=24\,000 \cdot 0.93^t. För varje år som går ökar exponenten, t,t, med 1.1. Det betyder att varje år multipliceras befolkningen med förändringsfaktorn 0.93.0.93. Den kan även skrivas som 93%.93\,\%. För varje år är det alltså kvar 93%93\,\% av föregående års befolkning, vilket motsvarar en årlig minskning med 7%.7\,\%.
Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}