Funktioner och grafer

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Funktioner

En funktion är en omvandlingsregel som tar ett värde, gör om det enligt regeln och ger tillbaka ett nytt värde. Till exempel tar funktionen y=x+3y = x + 3 invärdet x,x, som kan vara vilket tal som helst, lägger till 33 och ger tillbaka resultatet som utvärdet y.y. Ibland skriver man även f(x)=x+3,f(x)=x+3, där ff är namnet på funktionen och x+3x + 3 kallas funktionsuttrycket.

Välj x-värde
x=-9x=\text{-9}

x=-2x=\text{-2}

x=0x=0

x=3x=3

x=7x=7

Det värde man får som resultat av funktionen kallas funktionsvärde och kan även bestämmas grafiskt om funktionen representeras av en graf. Då utgår man från den plats på xx-axeln som motsvarar invärdet, går lodrätt upp eller ner till grafen och sedan vågrätt till yy-axeln där man kan läsa av funktionsvärdet.

När man skriver f(7)f(7) menar man funktionsvärdet för funktionen ff när man sätter in 77 i funktionsuttrycket. Det utläses f av 7.
Uppgift

Nedan syns grafen till funktionen g(x)=2x5.g(x)=2x-5. Bestäm g(4)g(4) och g(300).g(300).

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Värdetabell

Värdetabeller används för att sammanställa utvalda xx- och yy-värden för en funktion. Från en sådan tabell kan man markera punkter i ett koordinatsystem och på så sätt få en uppfattning om grafens utseende. Man kan t.ex. skapa en värdetabell för funktionen y=x1y=x-1 med några valda värden på x.x. Motsvarande yy-värden bestäms genom att man sätter in respektive xx-värde i formeln.

xx yy
00 -1\text{-}1
11 00
22 11
33 22

Genom att binda samman punkterna får man funktionens graf.

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En funktion f(x)f(x) beskrivs av f(x)=5x2. f(x) = 5x - 2. Beräkna

a

f(1).f(1).

b

f(0).f(0).

c

f(-3).f(\text{-}3).

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm f(3)f(3) om f(x)=3x22x+5.f(x)=3x^2-2x+5.

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En funktion f(x)f(x) ges av f(x)=x22x+5. f(x) = x^2 - 2x + 5. Beräkna

a

f(3)f(3)

b

f(0)f(0)

c

f(-3)f(\text{-} 3)

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I koordinatsystemet är grafen till funktionen f(x)f(x) ritad.

För vilka värden på xx är f(x)=0f(x) = 0?

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Funktionen f(x)f(x) har ritats in i ett koordinatsystem.


a

I vilken punkt skär grafen xx-axeln?

b

I vilken punkt skär grafen yy-axeln?

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skissa för hand grafen till den funktion som beskrivs av värdetabellen.

xx yy
-2 -3
0 -1
2 1
3 2
1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Grafen visar hur Benrik cyklar till jobbet en morgon.


a

Beskriv hur Benrik cyklar.

b

När cyklar Benrik snabbast och hur snabbt cyklar hen då?

c

Vad är Benriks genomsnittliga hastighet?

1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skapa en värdetabell för värdena x=0,1,2,3x=0,1,2,3 för funktionen y=3x2.y=3x-2.

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Figuren visar grafen till funktionen f(x).f(x).


a

Bestäm f(-1.5).f(\text{-}1.5).

b

Lös ekvationen f(x)=1.f(x)=1.

c

Stämmer det att f(1)=0?f(1)=0?

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En graf beskrivs av funktionen y=-2x+1.y = \text{-} 2x + 1. Ligger följande punkter på denna graf?

a

(-3,7)(\text{-} 3, 7)

b

(2,-2)(2, \text{-} 2)

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Beskriv en verklig situation som nedanstående graf skulle kunna representera.

b

Tolka grafen.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En ekonomiskt lagd matematiker brukar ofta åka taxi. Hon brukar växla mellan två olika taxibolag, Taxi Flopp och Taxi Galopp. Taxi Flopp har en grundkostnad på 50 kr och en kilometerkostnad på 12 kr, medan Taxi Galopp kostar 28 kr i grundavgift och 14 kr per kilometer. Hon sätter upp två funktioner som beskriver kostnaden för att åka med de olika bolagen: f(x)=12x+50g(x)=14x+28, f(x)=12x+50 \quad g(x)=14x+28, där xx är antal km och f(x)f(x) och g(x)g(x) anger kostnaden i kronor för Taxi Flopp respektive Taxi Galopp.


a

Gör en värdetabell för hand som visar de båda funktionernas yy-värden för xx-värdena 0,5,100, 5, 10 och 15.15. Rita sedan de båda graferna för hand i ett koordinatsystem.

b
Hur långt ska man åka för att det ska kosta lika mycket att åka med de olika bolagen?
2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Nedan syns graferna till funktionerna f(x)f(x) och g(x).g(x).

För vilka xx är

a

f(x)=2?f(x)=2?

a

g(x)=4?g(x)=4?

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm värdet på kvoten f(x+0.01)f(x)0.01 \dfrac{f(x+0.01)-f(x)}{0.01} om du vet att f(x)=26x.f(x)=2-6x.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En linje beskrivs av ekvationen 3x+2y9=0.3x + 2y - 9 = 0. Bestäm linjens skärningspunkter med koordinataxlarna.

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

När man arbetar med funktioner kan det vara viktigt att veta vilka tal man får sätta in i funktionerna. Mängden av de tillåtna talen kallas funktionens definitionsmängd. Exempelvis är definitionsmängden för funktionen y=1xy=\frac{1}{x} alla x-värden utom 0\mathbf{0} eftersom division med 00 inte är tillåtet. Det finns även ett namn på mängden yy-värden som kan skapas av en funktion: värdemängd. För funktionen y=1xy=\frac{1}{x} är värdemängden alla y-värden utom 0\mathbf{0}, vilket innebär att man oavsett invärde aldrig kommer få utvärdet 0.0.

a

Vad är definitionsmängden för funktionen y=4x1?y=\frac{4}{x-1}?

b

Vad är värdemängden för funktionen y=x27?y=x^2-7?

c

Vad är definitions- och värdemängd för y=x?y=\sqrt{x}?

Nivå 4
4.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Du har funktionen f(x)=ax+bf(x)=ax+b där aa och bb är reella tal. Bestäm f(x)f(x) om du vet att f(f(f(x)))=8x+21. f(f(f(x)))=8x+21.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}