2. Funktioner och grafer
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 6
2.
Funktioner och grafer
Funktioner och grafer är centrala koncept inom matematiken. En funktion är en omvandlingsregel som tar ett värde, bearbetar det enligt en viss regel och ger tillbaka ett nytt värde. Grafer används för att visuellt representera dessa funktioner. Genom att rita en graf kan man se hur funktionens värde ändras när man ändrar värdet på variabeln. Detta kan vara mycket användbart för att förstå funktionens beteende. Man kan också använda en graf för att hitta funktionens värde för ett visst argument. Att kunna rita och tolka grafer är en viktig färdighet inom matematiken.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 8 sidor teori |
| | 19 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Funktioner och grafer
Sida av 8
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Funktioner
- Funktionsvärde
- Värdetabell
- Graf över en funktion
- Rita grafer på räknare
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Funktioner
En funktion är en omvandlingsregel som tar ett värde, gör om det enligt regeln och ger tillbaka ett nytt värde. Till exempel tar funktionen y = x + 3 invärdet x, som kan vara vilket tal som helst, lägger till 3 och ger tillbaka resultatet som utvärdet y. Ibland skriver man även f(x)=x+3, där f är namnet på funktionen och x + 3 kallas funktionsuttrycket.
Det värde man får som resultat av funktionen kallas funktionsvärde och kan även bestämmas grafiskt om funktionen representeras av en graf. Då utgår man från den plats på x-axeln som motsvarar invärdet, går lodrätt upp eller ner till grafen och sedan vågrätt till y-axeln där man kan läsa av funktionsvärdet.
f av 7.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Vad är funktionsvärdet?
Nedan syns grafen till funktionen g(x)=2x-5.
a Bestäm g(4).
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"g(4)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["3"]}}
b Bestäm g(300).
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"g(300)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["595"]}}
Ledtråd
a Använd grafen.
b Substituera x-värdet i funktionsuttrycket.
Lösning
a För att bestämma g(4) utgår vi från x=4 på x-axeln och går rakt uppåt till vi når grafen. Där läser vi av funktionsvärdet på y-axeln.
Funktionsvärdet är 3 när x=4, så g(4)=3.
b Grafen är enbart uppritad för relativt små x så vi kan inte bestämma g(300) grafiskt. Istället räknar vi ut det genom att sätta in x=300 i funktionsuttrycket.
g(x)=2x-5
Substitute
x= 300
g( 300)=2* 300-5
Multiply
Multiplicera faktorer
g(300)=600-5
SubTerm
Subtrahera term
g(300)=595
De funktionsvärdet är g(300)=595.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Övning
Utvärdera olika funktioner
Utvärdera den givna funktionen vid den givna inmatningen.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Värdetabell
En värdetabell är ett diagram som hjälper till att organisera och visualisera information. Den används ofta för att visa relationen mellan två variabler.
| x | y |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 3 |
| 2 | 6 |
| 3 | 9 |
| 4 | 12 |
| 5 | 15 |
2y-värdet
6.Detta representeras vanligtvis med notation (2,6).
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Graf
En graf är ett sätt att beskriva en funktion i ett koordinatsystem. Grafen byggs upp av en mängd punkter som illustrerar funktionen. Klicka på vilken punkt som helst på grafen för att se dess koordinater.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Rita grafer med räknare
Följ dessa steg för att rita grafer på räknaren.
1
Ange funktionsregeln
expand_more Tryck först på knappen Y= och skriver sedan in funktionsuttrycken på raderna Y_1, Y_2 osv. Använd knappen X,T,θ,n för att skriva x. Om en funktion börjar med ett minustecken måste man trycka på (-) och inte -.
2
Rita grafen
expand_more För att rita upp grafen trycker man på GRAPH. Om grafen inte syns kan man behöva ändra inställningarna för koordinatsystemet.
3
Utforska grafen
expand_more Genom att trycka på TRACE kan man läsa av x- och y-värde för någon punkt på grafen. Om man vill flytta markören och läsa av andra punkter använder man höger- och vänsterpilarna. Med uppåt- och nedåtpilarna byter man graf om det finns fler än en inritad.
Man kan också själv sätta in ett x-värde och låta räknaren beräkna y-värdet genom att trycka på 2ND och TRACE och välja value.
Nu kan man välja vilket x-värde man är intresserad av.
Trycker man på ENTER visas funktionens y-värde för detta x-värde och markören ställer sig även där.
Extra
Rita flera graferOm man vill rita fler grafer går man tillbaka till funktionsfönstret Y= och skriver in dem på nya rader. Byt rad med ENTER.
Om man nu trycker på GRAPH kommer alla funktioner man skrivit in att ritas upp.
Man kan också välja bort funktioner genom att flytta markören till likhetstecknet och trycka på ENTER.
Om man nu trycker på GRAPH kommer endast Y_1 och Y_3 att ritas upp i koordinatsystemet.
För att välja tillbaka Y_2 trycker man på likhetstecknet en gång till.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Rita grafer av funktioner
Betrakta följande funktioner. f(x) = 2x+3 g(x) = - x+6
a Använd en miniräknare för att rita grafer av funktionerna.
b Använd en kalkylator för att hitta skärningspunkten mellan graferna.
Svar
a Graf:
b Skärningspunkt: (1,5)
Ledtråd
a Skriv in ekvationerna genom att trycka på Y= knappen. Rita sedan graferna genom att trycka på GRAPH.
b Tryck på 2ND och CALC och välj det femte alternativet,
intersect.Se till att placera markören så nära skärningspunkten som möjligt.
Lösning
a Lägg märke till att båda funktionerna är givna på rätt-linje form. För att rita graferna på en grafräknare måste vi först skriva in ekvationerna genom att trycka på Y= knappen.
Efter att ha angett ekvationerna kan vi rita deras grafer genom att trycka på GRAPH.
b För att hitta skärningspunkten trycker vi på 2ND och CALC och väljer det femte alternativet,
intersect.
Nu kommer vi att se grafen igen. Vi måste välja första och andra kurvan innan vi gissar var skärningspunkten ligger. Se till att placera markören så nära skärningspunkten som möjligt.
Graferna skär varandra i punkten (1,5).
Dela
Rapportera fel
Översätt
Funktioner och grafer
Uppgifter
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["3"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["-2"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["-17"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi bestämmer funktionsvärdet f(1) genom att först sätta in x=1 och beräkna.
f(1) är alltså lika med 3.
På samma sätt som i den förra deluppgiften beräknar vi f(0) genom att byta ut x mot 0.
Vi fortsätter på samma sätt och ersätter x med - 3.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Bestäm f(3) om f(x)=3x^2-2x+5.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"f(3)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["26"]}}
security
report
code
security
report
code
f(3) betyder funktionens värde när x=3. Vi beräknar det genom att sätta in x=3 i funktionsuttrycket.
Funktionsvärdet f(3) är alltså 26.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"f(3)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["8"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"f(0)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["5"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"f(-3)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["20"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi bestämmer funktionsvärdet f(3) genom att byta ut x mot 3 och beräkna värdet av funktionsuttrycket.
Funktionsvärdet f(3) är alltså lika med 8.
På samma sätt som i den förra deluppgiften sätter vi in x=0 i f(x).
f(0) är lika med 5.
Vi fortsätter på samma sätt som i föregående deluppgifter och ersätter x med - 3.
f(- 3) är alltså lika med 20.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
I koordinatsystemet är grafen till funktionen f(x) ritad.
För vilka värden på x är f(x) = 0?
{"type":"multichoice","form":{"alts":["-2","-1","0 ","1","2","3","4","5"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[0,3,7]}
security
report
code
security
report
code
Vi ska ange de x-värden där y = 0, dvs. där grafen till f(x) skär x-axeln. Dessa x-värden kan vi läsa av direkt.
De sökta punkternas x-koordinater är alltså x = -2, x = 1 och x = 5, vilket är samma sak som funktionens nollställen.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text1":"1","text2":"0"}}
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text1":"0","text2":"-2"}}
security
report
code
security
report
code
Vi kan läsa av direkt i vilket x-värde grafen skär x-axeln.
Det gör den för x=1. Längs med hela x-axeln är y-koordinaten 0 så linjen skär x-axeln i punkten (1,0).
Från grafen ser vi att linjen skär y-axeln när y=-2.
Längs med hela y-axeln är x-koordinaten 0 så punkten är (0,-2).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Tänk på följande tabell med värden.
| x | y |
|---|---|
| -2 | -3 |
| 0 | -1 |
| 2 | 1 |
| 3 | 2 |
Vilken av följande grafer motsvarar funktionen som beskrivs av tabellen med värden?
{"type":"choice","form":{"alts":["A","B","C","D"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
security
report
code
security
report
code
Från värdetabellen kan vi avläsa punkterna (-2,-3), (0,-1), (2,1) och (3,2). Vi markerar dessa i ett koordinatsystem.
Vi kan nu rita en graf genom dessa punkter. De verkar ligga längs en rät linje, så vi ritar en sådan.
Det rätta svaret är alternativet B.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"choice","form":{"alts":["A","B","C","D"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"km\/min","answer":{"text":["0,25"]}}
security
report
code
security
report
code
Benrik cyklar som snabbast när grafen är brantast. Ju brantare graf desto längre sträcka cyklar hon under en given tidsperiod vilket betyder att hon håller en högre hastighet. Från grafen ser vi att hon cyklar som snabbast i mellan t=10 och t=15.
Genomsnittshastigheten för hela cykelturen beräknar vi genom att dela den totala resvägen med den totala tiden det tog att cykla till arbetsplatsen. Från grafen kan vi se att det tog 40 minuter att komma fram till jobbet, och den färdade sträckan var 10 kilometer. Genomsnittshastigheten blir alltså
v=10km/40min=0,25 km/min.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Följande tabell med värden motsvarar funktionen y=3x-2.
| x | y |
|---|---|
| 0 | a |
| 1 | b |
| 2 | c |
| 3 | d |
Vad ska stå istället för a, b, c, och d?
{"type":"text","form":{"type":"list","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false,"ordermatters":true,"numinput":4,"listEditable":false,"hideNoSolution":true},"text":" "},"formTextBefore":"a,b,c,d={","formTextAfter":"}","answer":{"text":["-2","1","4","7"]}}
security
report
code
security
report
code
En värdetabell visar koordinaterna för ett antal punkter för en funktion. Vi vet vilka x-värden som ska ingå i värdetabellen och genom att sätta in dessa i funktionen kan vi beräkna deras motsvarande y-värden.
| x | 3x-2 | y |
|---|---|---|
| 0 | 3* 0-2 | - 2 |
| 1 | 3* 1-2 | 1 |
| 2 | 3* 2-2 | 4 |
| 3 | 3* 3-2 | 7 |
Värdetabellen består av x- och y-kolumnen.
| x | y |
|---|---|
| 0 | a=- 2 |
| 1 | b=1 |
| 2 | c=4 |
| 3 | d= 7 |
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Funktioner och grafer
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll