Linjära och exponentiella förändringar

Mängden pengar i plånboken kan inte bli negativ, så modellen kan bara gälla fram tills pengarna tar slut. Det sker när y=0. Läser vi av denna punkt i grafen ser vi att det sker då x=4, alltså efter fyra timmar.

Vi kan sätta in y=0 i funktionen och lösa ut x för att få samma svar.

Nils får alltså slut på pengar redan efter fyra timmar.

Vi börjar med att använda att f(0) = 100. Detta betyder att när x = 0 är funktionsvärdet 100.

Nu ser vi att C=100, vilket vi sätter in uttrycket för exponentialfunktionen. För att beräkna värdet på a använder vi oss av det andra kända funktionsvärdet, f(8) = 50.

Vi har nu kommit fram till att a ≈ 0,92. Vi kan alltså skriva exponentialfunktionen som f(x) = 100 * 0,92^x.

Nalle Puh har ett antal burkar till att börja med: 15st. Sedan ökar han antalet med ett fast värde: 2 per vecka. Detta beskrivs bäst av en linjär funktion på formen y=kx+m där m-värdet är 15 och k-värdet är 2. Vi skriver alltså funktionen y= 2x+ 15, där y är antal burkar efter x veckor.

Det går 52 veckor på ett år så vi sätter in detta i funktionsuttrycket och beräknar.

Nalle Puh kommer att ha hela 119 burkar i sin källare! Hoppas han inte äter alla på en gång, för då kommer han få magknip.

Antalet burkar y ska alltså vara 1 000. Vi likställer funktionen med 1 000 och löser ut x.

Det tar alltså nästan 493 veckor eller 49352 ≈ 9,5 år, för Nalle Puh att samla så mycket honung.

Om vi undersöker killarnas totala kostnad efter t.ex. en vecka ser vi att K(v) har ökat mer än L(v) under denna tid. Med andra ord kan vi genom att titta på lutningen, eller kostnad/vecka, se att det är billigare för Kristoffer som handlar på Latterian.

Vi bestämmer priset för en chailatte på respektive café och jämför. Graferna visar kostnaden per skolvecka, dvs. varje vecka anger kostnaden för 5st chailatte. Det är dock svårt att göra en korrekt avläsning direkt vid 1 vecka. Men om vi läser av t.ex. kostnaden efter 5 veckor på den röda grafen hamnar vi på ganska precis 875kr.

5 veckor motsvarar 5 * 5=25 skoldagar, så kostnaden för en latte på Kaffehuset är alltså 875/25=35 kr. Vi tänker på samma sätt med den blå grafen. Här ser vi att efter 8 veckor, eller 40 skoldagar, har Kristoffer betalat ungefär 1 125kr. Detta ger en kostnad på 1 125/40=28,125 kr per chailatte. Skillnaden är alltså 35-28,125=6,875kr, vilket vi kan avrunda till ca 7kr billigare.

Vi kan gissa att en chailatte egentligen kostade precis 28kr. Anledningen till att vi fick 28,125kr är att vi inte alltid kan göra exakta avläsningar på alla grafer. Men ibland är vi mer intresserade av helheten, och då får vi offra lite av detaljerna.

Om sambandet mellan antal decibel, y, och uppmätt ljudstyrka, x, är proportionellt kan sambandet beskrivas med en rät linje som går genom origo. Vi kan undersöka detta genom att beräkna några decibelvärden. Vi utgår från ljudstyrkan x = 2 och fördubblar sedan x-värdena i några steg.

De punkter vi funnit i värdetabellen ovan kan vi markera i ett koordinatsystem, där vi låter x-värden ange uppmätt ljudstyrka och y-värden ljudstyrkan i dB.

Vi drar en rät linje genom origo och en av punkterna. Då ser vi att den inte går genom alla andra och därför är sambandet inte proportionellt.

Om Gunnars korvätning är proportionell måste han äta i samma hastighet hela tiden. Den totala genomsnittshastigheten får vi genom att dela 5,4 med 12: 5,4/12=0,45 .kg /min. Nu beräknar vi genomsnittet för de 3 första minuterna. Då åt han 2,1 kg: 2,1/3=0,7 .kg /min.. Gunnar höll alltså inte samma hastighet hela tiden vilket betyder att korvätandet inte är proportionellt med tiden.