Exponentiell och Linjär Förändring: Förstå Exponentiella och Linjära Modeller

$x$	$7, 90 x$	Beräkning
$0$	$7, 90 \cdot 0$	$0$
$1$	$7, 90 \cdot 1$	$7, 90$
$2$	$7, 90 \cdot 2$	$15, 8$
$3$	$7, 90 \cdot 3$	$23, 7$

I koordinatsystemet har två linjära funktioner ritats. Vilken funktion har störst funktionsvärde när $x = 25 ?$ Motivera ditt svar.

Två räta linjer utritade i ett koordinatsystem

Den röda och blå grafen närmar sig varandra ju längre högerut man kommer på x-axeln. De ligger ganska nära varandra så de skär antagligen varandra ganska nära x=3. Efter det befinner sig den röda linjen ovanför den blå. Därför har den röda funktionen sannolikt ett större funktionsvärde vi x=25.

För sina sista slantar köper Nils en skraplott. Till hans glädje vinner han lite pengar som han stoppar ner i sin plånbok. Mängden pengar Nils har kvar i plånboken kan sedan beskrivas av sambandet

y = 200 - 50 x,

där

y

är hur många kronor som finns kvar i plånboken och

x

är tiden i timmar efter vinsten. I hur många timmar gäller formeln?

Mängden pengar i plånboken kan inte bli negativ, så modellen kan bara gälla fram tills pengarna tar slut. Det sker när y=0. Läser vi av denna punkt i grafen ser vi att det sker då x=4, alltså efter fyra timmar.

Vi kan sätta in y=0 i funktionen och lösa ut x för att få samma svar.

Nils får alltså slut på pengar redan efter fyra timmar.

En exponentialfunktion

f (x) = C \cdot a^{x}

har de två kända funktionsvärdena

f (0) = 100

och

f (8) = 50 .

Bestäm funktionsuttrycket för

f (x),

d.v.s. bestäm

C

och

a .

Avrunda

a

till två decimaler om nödvändigt.

Vi börjar med att använda att f(0) = 100. Detta betyder att när x = 0 är funktionsvärdet 100.

Nu ser vi att C=100, vilket vi sätter in uttrycket för exponentialfunktionen. För att beräkna värdet på a använder vi oss av det andra kända funktionsvärdet, f(8) = 50.

Vi har nu kommit fram till att a ≈ 0,92. Vi kan alltså skriva exponentialfunktionen som f(x) = 100 * 0,92^x.

Nalle Puh samlar honungsburkar i sin källare. Just nu finns det $15$ honungsburkar, men han tänker ställa in $2$ nya varje vecka.

Ställ upp ett funktionsuttryck som beskriver antalet honungsburkar

y

i källaren efter

x

veckor.

Hur många burkar har han efter ett år om han fortsätter i samma takt?

Hur lång tid tar det för honom att samla in 1000 honungsburkar (om vi utgår ifrån att han har plats i källaren)? Svara i år och avrunda till en decimal.

Nalle Puh har ett antal burkar till att börja med: 15st. Sedan ökar han antalet med ett fast värde: 2 per vecka. Detta beskrivs bäst av en linjär funktion på formen y=kx+m där m-värdet är 15 och k-värdet är 2. Vi skriver alltså funktionen y= 2x+ 15, där y är antal burkar efter x veckor.

Det går 52 veckor på ett år så vi sätter in detta i funktionsuttrycket och beräknar.

Nalle Puh kommer att ha hela 119 burkar i sin källare! Hoppas han inte äter alla på en gång, för då kommer han få magknip.

Antalet burkar y ska alltså vara 1 000. Vi likställer funktionen med 1 000 och löser ut x.

Det tar alltså nästan 493 veckor eller 49352 ≈ 9,5 år, för Nalle Puh att samla så mycket honung.

Armando och Kristoffer älskar att dricka chailatte, men de har märkt att det blir ganska dyrt. Varje dag på väg till skolan brukar de köpa en. Graferna visar den totala kostnaden per vecka $K (v)$ för Armando som handlar på Kaffehuset och $L (v)$ för Kristoffer som handlar på Latterian.

Hur kan du, utan beräkningar, se att en chailatte är billigare på Latterian?

Hur mycket billigare är en chailatte på Latterian än på Kaffehuset? Avrunda svaret till hela kronor.

Om vi undersöker killarnas totala kostnad efter t.ex. en vecka ser vi att K(v) har ökat mer än L(v) under denna tid. Med andra ord kan vi genom att titta på lutningen, eller kostnad/vecka, se att det är billigare för Kristoffer som handlar på Latterian.

Vi bestämmer priset för en chailatte på respektive café och jämför. Graferna visar kostnaden per skolvecka, dvs. varje vecka anger kostnaden för 5st chailatte. Det är dock svårt att göra en korrekt avläsning direkt vid 1 vecka. Men om vi läser av t.ex. kostnaden efter 5 veckor på den röda grafen hamnar vi på ganska precis 875kr.

5 veckor motsvarar 5 * 5=25 skoldagar, så kostnaden för en latte på Kaffehuset är alltså 875/25=35 kr. Vi tänker på samma sätt med den blå grafen. Här ser vi att efter 8 veckor, eller 40 skoldagar, har Kristoffer betalat ungefär 1 125kr. Detta ger en kostnad på 1 125/40=28,125 kr per chailatte. Skillnaden är alltså 35-28,125=6,875kr, vilket vi kan avrunda till ca 7kr billigare.

Vi kan gissa att en chailatte egentligen kostade precis 28kr. Anledningen till att vi fick 28,125kr är att vi inte alltid kan göra exakta avläsningar på alla grafer. Men ibland är vi mer intresserade av helheten, och då får vi offra lite av detaljerna.

Decibel är ett mått som beskriver ljudstyrka. En tumregel är att om ljudstyrkan fördubblas, ökar antalet decibel (dB) med ungefär

3 .

Är antalet decibel proportionellt mot ljudstyrkan? Antag att du vet att ljudstyrkan

2

motsvarar

3 dB .

Motivera ditt svar.

Om sambandet mellan antal decibel, y, och uppmätt ljudstyrka, x, är proportionellt kan sambandet beskrivas med en rät linje som går genom origo. Vi kan undersöka detta genom att beräkna några decibelvärden. Vi utgår från ljudstyrkan x = 2 och fördubblar sedan x-värdena i några steg.

Ljudstyrka (x)	dB (y)	Punkt
2	3	(2,3)
4	6	(4,6)
8	9	(8,9)
16	12	(16,12)

De punkter vi funnit i värdetabellen ovan kan vi markera i ett koordinatsystem, där vi låter x-värden ange uppmätt ljudstyrka och y-värden ljudstyrkan i dB.

Vi drar en rät linje genom origo och en av punkterna. Då ser vi att den inte går genom alla andra och därför är sambandet inte proportionellt.

Gunnar blev mästare för andra året i rad i korvätartävlingen Hot Dog-Bonanza. På

12

minuter lyckades han äta totalt

5, 4 kg

korv. Gunnars coach antecknar hur många kg han har ätit vid vissa tidpunkter under tävlingen. Statistiken kan sammanfattas med följande punkter.

(3, 2, 1), (5, 3, 5), (9, 4, 5) och (12, 5, 4)

Är Gunnars korvätning proportionell mot tiden? Motivera ditt svar.

Om Gunnars korvätning är proportionell måste han äta i samma hastighet hela tiden. Den totala genomsnittshastigheten får vi genom att dela 5,4 med 12: 5,4/12=0,45 .kg /min. Nu beräknar vi genomsnittet för de 3 första minuterna. Då åt han 2,1 kg: 2,1/3=0,7 .kg /min.. Gunnar höll alltså inte samma hastighet hela tiden vilket betyder att korvätandet inte är proportionellt med tiden.

Linjära och exponentiella förändringar

Förkunskaper

Linjära förändringar

Tolka den linjära funktionen

Ledtråd

Lösning

Exponentiella förändringar

Tolka exponentialfunktionen

Ledtråd

Lösning

Hitta saknade skillnader mellan en linjär och en exponentiell modell

Linjära och exponentiella förändringar

Rekommenderade uppgifter

	6 sidor teori
	17 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.