Linjära och exponentiella förändringar

Eftersom x står för antal timmar sätter vi in x = 3 i funktionerna och beräknar temperaturen y.

Kaffets temperatur är alltså ca 74^(∘) C efter 3 timmar.

Temperaturen kan aldrig understiga utomhustemperaturen på 15^(∘) C . Vi likställer funktionen med 15 och får ekvationen 15=92* 0,93^x. Men en ekvation som denna har vi ännu inte metoder för att lösa algebraiskt. Vi kan pröva oss fram, men det effektivaste sättet är en grafisk lösning. Vi ritar ekvationens vänster- och högerled på grafräknaren, dvs. y = 15, och y = 92 * 0,93^x. Lösningen är skärningspunktens x-värde.

Vi läser av att linjerna skär när x ≈ 25 . Funktionen gäller alltså högst 25 timmar.

En linjär funktion f(x) kan vi skriva med räta linjens ekvation: f(x) = kx + m. Vi behöver alltså bestämma riktningskoefficienten k och konstanttermen m. Från uppgiften vet vi att 0^(∘) C är lika med 32^(∘) F och att 100^(∘) C är lika mycket som 212^(∘) F. Vi kan se dessa par av värden som punkter i ett koordinatsystem: (0, 32) och (100, 212). Konstanttermen m i räta linjens ekvation anger y-värdet där linjen skär y-axeln, dvs. då x = 0. Den första av våra kända punkter, (0, 32), är skärningspunkten mellan linjen och y-axeln, så m = 32. Nu kan vi skriva linjens ekvation som f(x) = kx + 32. Använder vi den andra kända punkten, (100, 212), kan vi ta reda på linjens riktningskoefficient k. Vi sätter in punkten i ekvationen och löser ut k.

Riktningskoefficienten är 1,8 vilket ger funktionen f(x) = 1,8x + 32.

Vi bestämmer vad temperaturen i 20^(∘) C motsvarar i Fahrenheit genom att beräkna f(20), dvs. funktionsvärdet då x = 20.

Vi ser att 20^(∘) C motsvarar 68^(∘) F.

Vi får nu veta att f(x)=86. Vi sätter in det i funktionen f(x) = 1,8x + 32, och löser ut x som är gradtalet i Celsius.

Vi ser att x = 30, vilket innebär att temperaturen 86^(∘) F motsvarar 30^(∘) C.

Vi beräknar vad det kostar att tillverka 50 stolar genom att sätta in x = 50 i funktionen och förenklar.

Det kostar 7 600kr för Benke att tillverka 50 stolar och för att täcka tillverkningskostnaderna måste inkomsten täcka kostnaden. Vi låter k ange styckpriset som ger intäkten 7 600kr och får då ekvationen k * 50 = 7 600. Om vi dividerar båda led med 50 får vi k = 152. Benke måste alltså sälja stolarna för minst 152 kronor styck för att täcka tillverkningskostnaderna.

På samma sätt som tidigare börjar vi med att beräkna tillverkningskostnaden y för att tillverka 500 stolar.

Det kostar 75 100kr att tillverka 500 stolar. Eftersom Benke gjorde en vinst på 14 900kr sålde han stolarna för 75 100 + 14 900 = 90 000 kr. Om vi låter p vara det ordinarie priset per stol, så kostar 500 stolar 500p. Men beställaren fick 10 % mängdrabatt, så han betalade endast 90 % av detta, dvs. 0,9 * 500 p. Detta ska vara lika med 90 000kr vilket ger oss en ekvation som vi kan lösa ut p ur.

En stol kostar 200kr

I den islamiska kalendern har månaderna antingen 29 eller 30 dagar, och vi vill veta hur många av de 12 månaderna som har 30 dagar. Om vi kallar antalet månader med 30 dagar för x så kommer det finnas 12-x månader med 29 dagar. Det innebär att 30-dagarsmånaderna tillsammans kommer ha 30x dagar och att 29-dagarsmånaderna tillsammans har 29(12-x) dagar. Totala antalet dagar representeras alltså av summan 30x + 29(12-x). Från tabellen vet vi att ett islamiskt år har totalt 354 dagar så vi sätter summan lika med det. 30x + 29(12-x) = 354 dagar Vi löser ekvationen för att bestämma x.

Det finns alltså 6 månader med 30 dagar.

För att bestämma vilket år det är i den islamiska kalendern sätter vi in M = 2012 i formeln, eftersom nationella provet som denna uppgift kommer ifrån gavs ut det året. Skulle man sätta in den gregorianska kalenderns nuvarande år skulle det således skilja sig från givet facit.

Enligt den islamiska kalendern befann vi oss i år 1433 när det var år 2012 enligt vår egen kalender.

M är året enligt gregoriansk kalender, och H är året enligt islamisk kalender. Vi undrar när dessa år är lika, dvs. när H=M. Vi kan kalla detta årtal för x, sätta in i formeln, och lösa ut.

Man får alltså vänta tills år 20 526 för att kalendrarna ska visa lika.