Exponentiell och Linjär Förändring: Förstå Exponentiella och Linjära Modeller

$x$	$7, 90 x$	Beräkning
$0$	$7, 90 \cdot 0$	$0$
$1$	$7, 90 \cdot 1$	$7, 90$
$2$	$7, 90 \cdot 2$	$15, 8$
$3$	$7, 90 \cdot 3$	$23, 7$

Vilka av graferna A, B, C och D är proportionaliteter?

Fyra grafer utriade i ett koordinatsystem, där tre är räta linjer och en är en parabel.

En graf som visar en proportionalitet är en rät linje som går igenom origo. A går visserligen genom origo, men det är ingen rät linje, så den kan vi utesluta. Både B och C är räta linjer som går igenom origo, så de är proportionaliteter. Graf D är en rät linje, men den går inte genom origo. Graferna som beskriver proportionaliteter är alltså B och C.

För sina sista slantar köper Nils en skraplott. Till hans glädje vinner han lite pengar som han stoppar ner i sin plånbok. Mängden pengar Nils har kvar i plånboken kan sedan beskrivas av sambandet

y = 200 - 50 x,

där

y

är hur många kronor som finns kvar i plånboken och

x

är tiden i timmar efter vinsten. I hur många timmar gäller formeln?

Mängden pengar i plånboken kan inte bli negativ, så modellen kan bara gälla fram tills pengarna tar slut. Det sker när y=0. Läser vi av denna punkt i grafen ser vi att det sker då x=4, alltså efter fyra timmar.

Vi kan sätta in y=0 i funktionen och lösa ut x för att få samma svar.

Nils får alltså slut på pengar redan efter fyra timmar.

Nalle Puh samlar honungsburkar i sin källare. Just nu finns det 15 honungsburkar, men han tänker ställa in 2 nya varje vecka.

Ställ upp ett funktionsuttryck som beskriver antalet honungsburkar

y

i källaren efter

x

veckor.

Hur många burkar har han efter ett år om han fortsätter i samma takt?

Hur lång tid tar det för honom att samla in 1000 honungsburkar (om vi utgår ifrån att han har plats i källaren)? Svara i år och avrunda till en decimal.

Nalle Puh har ett antal burkar till att börja med: 15 st. Sedan ökar han antalet med ett fast värde: 2 per vecka. Detta beskrivs bäst av en linjär funktion på formen y=kx+m där m-värdet är 15 och k-värdet är 2. Vi skriver alltså funktionen y=2x+15, där y är antal burkar efter x veckor.

Det går 52 veckor på ett år så vi sätter in detta i funktionsuttrycket och beräknar.

Nalle Puh kommer att ha hela 119 burkar i sin källare! Hoppas han inte äter alla på en gång, för då kommer han få magknip.

Antalet burkar y ska alltså vara 1000. Vi likställer funktionen med 1000 och löser ut x.

Det tar alltså nästan 493 veckor eller 49352 ≈ 9.5 år, för Nalle Puh att samla så mycket honung.

På midsommarafton dricker Anna-Lisa 6 starköl, vilket gör att vid midnatt är koncentrationen alkohol i hennes blod

1.3

promille. Alkoholkoncentrationen sjunker sedan enligt funktionen

y = 1.3 - 0.11 x,

där

x

är antalet timmar efter midnatt. I Sverige är gränsen för rattfylla

0.2

promille. Givet att man kan lita på funktionen, hur många timmar efter midnatt är det som tidigast lagligt för Anna-Lisa att köra hem?

Det är lagligt för Anna-Lisa att köra om koncentrationen alkohol i hennes blod är under 0.2 promille. För att hitta tidpunkten då koncentrationen är 0.2 promille sätter vi in y = 0.2 i funktionen och löser ut x.

Alkoholnivån har sjunkit till 0.2 promille 10 timmar efter midnatt. Om man kan lita på funktionen så måste hon alltså vänta till efter klockan 10 på morgonen nästa dag för att kunna köra bil.

En elev i ettan på naturprogrammet har precis köpt en ny dator som hon ska använda under sin skoltid. Hon funderar över hur mycket datorn kommer att vara värd då hon tar studenten. Hennes kompisar ställer upp funktionerna

f (x), g (x)

och

h (x)

som de anser beskriver värdet på datorn i kronor

x

år efter inköp.

f (x) g (x) h (x) = 4999 \cdot 1.0 8^{x} = 49 \cdot 0 . 8^{x} = 4999 \cdot 0.8 1^{x}

Bara en av funktionerna är en rimlig uppskattning av värdeutvecklingen. Vilken? Motivera varför de andra två inte är rimliga!

Använd den mest rimliga modellen för att beräkna det uppskattade värdet då eleven (förhoppningsvis) tar studenten om 3 år. Avrunda till hela kronor.

Alla funktioner utgår ifrån en procentuell värdeminskning, dvs. det är exponentialfunktioner. En exponentialfunktion skrivs på formen

y=C* a^x, där C är startvärdet och a är förändringsfaktorn. I vårt exempel står x för antal år efter det att datorn köptes. Vi analyserar de olika funktionerna var för sig.

Funktionen f(x)

Denna funktion har en orimlig förändringsfaktor. Förändringsfaktorn 1.08 innebär en ökning med 8 % per år. Eftersom datorn kommer att slitas och bli omodern är det inte rimligt att den skulle öka i värde.

Funktionen g(x)

Funktionen g(x) har en rimlig förändringsfaktor på 0.8. Den minskar alltså med 20% per år. Den har däremot ett orimligt lågt inköpspris. En ny dator brukar inte kosta endast 49 kr!

Funktionen h(x)

h(x) är den funktion som har både ett rimligt startvärde (alltså inköpspris) på 4999 kr och en rimlig förändringsfaktor på 0.81 som innebär en värdeminskning på 19 % per år. Därför måste denna vara det korrekta svaret.

I deluppgift A kom vi fram till att den rimliga modellen är h(x). Värdet på datorn efter 3 år beräknar vi genom att sätta in x=3 i h(x).

Värdet efter 3 år är alltså 2657 kr.

Adam köpte en begagnad moped. Den kostade $10000$ kr. Efter $x$ år är mopedens värde $10000 \cdot 0 . 8^{x} .$ Hur stor är värdeminskningen i procent per år?

Nationella provet VT12 1a

Uttrycket 10 000* 0.8^x beskriver en exponentiell förändring där talet 10 000 är startvärdet, alltså hur mycket mopeden var värd när Adam köpte den, och 0.8 kan tolkas som en förändringsfaktor som anger hur värdet förändras varje år. För varje år som går är mopeden alltså värd 0.8 = 80 % av vad den var värd året innan. Det innebär att 100 % - 80% = 20 % av värdet försvinner varje år. Värdeminskningen är alltså 20 % per år.

Forskare har uppskattat att antalet djur av en utrotningshotad art idag är $50000 .$ Man räknar med att det kommer att minska ca $3 %$ varje år. Antal djur efter $x$ år kan beskrivas med en exponentialfunktion på formen $f (x) = C \cdot a^{x} .$

Vad är funktionens startvärde,

C ?

Vad är funktionens förändringsfaktor,

a ?

Ställ upp exponentialfunktionen.

Startvärdet är det värde funktionen har när x är 0, dvs. när mätningen startade. Det motsvarar i detta fall antalet djur idag, så C=50 000.

Antalet djur beräknas minska med 3 % varje år. Det betyder att det varje år kommer att vara 100-3=97 % kvar jämfört med föregående år. 97 % skrivs i decimalform som 0.97 så förändringsfaktorn är a=0.97.

För att ställa upp funktionen behöver vi veta C och a. De bestämde vi i föregående deluppgifter så vi sätter in dem: f(x)=C* a^x ⇒ f(x)=50 000 * 0.97^x.

Det ursprungliga priset på en vara är

2000

kr. Varans värde ökar med

5 %

per år. Varans pris representeras av

y

och

x

är antalet år efter inköp. Vilket av följande samband beskriver prisutvecklingen? Ringa in ditt svar.

A B C D E y = 1.05 \cdot x + 2000 y = 2000 \cdot 1.0 5^{x} y = 2000 \cdot 0.9 5^{x} y = 2000 \cdot 1.05 x y = 2000 (x + 5)

Nationella provet HT16 1a

Vi har en vara som ökar med lika många procent varje år. För varje år multiplicerar man därför med någon förändringsfaktor. Efter x år har man multiplicerat med denna förändringsfaktor x gånger. Sambandet vi söker ska därför ha x i exponenten. Då kan vi utesluta tre av alternativen, nämligen A,D ochE. Nu har vi två uttryck kvar. Om varan ökar med 5 % betyder det att värdet varje år är 100+5=105 % av vad det var året innan. 105 % skriver vi i decimalform som 1.05 så detta är förändringsfaktorn. Det finns bara ett alternativ som har denna förändringsfaktor, alternativ B, så varans prisutveckling beskrivs därför av y=2000*1.05^x.

Linjära och exponentiella förändringar

Förkunskaper

Linjära förändringar

Tolka den linjära funktionen

Ledtråd

Lösning

Exponentiella förändringar

Tolka exponentialfunktionen