Linjära Funktioner: Förstå y=kx+m och Räkna ut k- och m-värde

Videolektion

Mathleaks

Minispelare aktiv

Begrepp

Räta linjens ekvation

En funktion som beskriver en rät linje i ett koordinatsystem kallas linjär och skrivs oftast på så kallad $k$ -form.

$y = k x + m$

$k$ - och $m$ -värdet är konstanter som beskriver linjens egenskaper. $k$ anger lutningen och $m$ är det $y$ -värde där linjen skär $y$ -axeln. I koordinatsystemet har linjen $k$ -värdet $2$ och $m$ -värdet $1 .$

Vad är $k$ - och $m$ -värdet för linjen?

fullscreen

Vad har $y = 3 x + 1$ och $y = - x - 50$ för $k$ - och $m$ -värden?

Visa Lösning

En linje på $k$ -form följer mallen $y = k x + m .$ $k$ -värdet är koefficienten framför $x$ medan $m$ -värdet är konstanten utanför. Vi pekar ut dessa i ekvationerna. Observera att du måste inkludera minustecknet när koefficienten eller konstanten är negativ samt att om koefficienten är $1$ eller $- 1$ så brukar man inte skriva ut 1:an. Vi skriver för tydlighetens skull ut $- 1$ framför $x$ i den andra ekvationen.

Linjen $y = 3 x + 1$ har $k$ -värdet 3 och $m$ -värdet 1 medan linjen $y = - x - 50$ har $k$ -värdet $- 1$ och $m$ -värdet $- 50$ .

Begrepp

$k$ -värde

För en rät linje skriven på formen $y = k x + m$ anger konstanten $k$ lutningen för linjen, alltså antalet steg linjen rör sig i $y$ -led när man går 1 steg åt höger i $x$ -led. Denna lutning kallas oftast bara för $k$ -värde eller ibland riktningskoefficient. Ett positivt $k$ -värde betyder att linjen lutar uppåt medan ett negativt $k$ -värde innebär att den lutar nedåt. Om $k$ är $0$ har linjen ingen lutning och blir då horisontell.

Formeln för att beräkna $k$ -värdet för en linje kan skrivas på två sätt.

$k = \frac{Δ y}{Δ x} eller k = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$

Δ

är den grekiska bokstaven delta och brukar beteckna skillnad, så enligt formeln beräknar man skillnaden i

y

-värde mellan två punkter på linjen,

(x_{1}, y_{1})

och

(x_{2}, y_{2}),

och dividerar med skillnaden mellan

x

-värdena. Vilka punkter som används spelar ingen roll, så länge de båda ligger på linjen.

Bestäm en linjes lutning från en graf

fullscreen

Bestäm linjens lutning i koordinatsystemet grafiskt.

Visa Lösning

I koordinatsystemet är $1$ steg längs $x$ -axeln lika stort som $1$ steg längs $y$ -axeln. Därför kan vi bestämma linjens lutning genom att räkna antalet steg man måste gå i $y$ -led för varje steg man går i $x$ -led.

Man går alltså $3$ steg uppåt vilket betyder att linjens lutning är $k = 3 .$

Bestäm en linjes lutning med två punkter

fullscreen

Vad är lutningen för linjen som går genom punkterna $(2, 1)$ och $(4, 5) ?$

Visa Lösning

Lutningen på en linje ges av $k$ -värdet och detta kan beräknas med $k$ -formeln, dvs. genom att dividera skillnaden i $y$ -led med skillnaden i $x$ -led. Vi sätter in punkternas koordinater i formeln. Det spelar ingen roll i vilken ordning de sätts in så länge den är samma i täljaren och nämnaren.

k = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

SubstitutePoints

Sätt in $(4, 5)$ & $(2, 1)$

k = \frac{5 - 1}{4 - 2}

SubTerms

Subtrahera termer

k = \frac{4}{2}

CalcQuot

Beräkna kvot

k = 2

Linjen har lutningen $2$ .

Begrepp

$m$ -värde

För en rät linje skriven på k-form, kan konstanten $m$ tolkas som ett mått på linjens förskjutning i $y$ -led från origo. Det läses av som det $y$ -värde där linjen skär $y$ -axeln.

Begrepp

Proportionalitet

Går en rät linje, $y = k x + m$ igenom origo säger man att $y$ är proportionell mot $x$ . Detta kallas ibland direkt proportionalitet. Eftersom linjen skär $y$ -axeln i origo är $m = 0$ och linjens funktionsuttryck blir då som nedan.

$y = k x$

Lutningen

k

brukar kallas proportionalitetskonstant.

Är $y$ proportionell mot $x$ ?

fullscreen

Leia köper 2 hekto godis och betalar 17 kr medan Luke köper 8 hekto godis och betalar 68 kr. Är priset på godiset proportionellt mot vikten?

Visa Lösning

För att avgöra om priset, $y$ , är proportionellt mot vikten, $x$ , måste vi undersöka om de två priserna och tillhörande vikter passar in på samma linje på formen $y = k x$ . Vi sätter in Leias värden och löser ut $k$ .

y = k x

SubstituteII

$y = 17$ , $x = 2$

17 = k \cdot 2

DivEqn

$VL / 2 = HL / 2$

\frac{1 7}{2} = k

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

k = \frac{1 7}{2}

CalcQuot

Beräkna kvot

k = 8.5

Vi har fått ut proportionalitetskonstanten $k = 8.5$ , som kan tolkas som att godiset kostar 8.5 kr/hg. Vi sätter nu in Lukes värden i ekvationen $y = 8.5 x$ och ser om vi får samma sak i höger- och vänsterledet.

y = 8.5 x

SubstituteII

$y = 68$ , $x = 8$

68 = ? 8.5 \cdot 8

Multiply

Multiplicera faktorer

68 = 68

Det stämmer, vilket innebär att båda punkterna ligger på samma linje. Priset är proportionellt mot vikten.

{{ article.displayTitle }}

Mathleaks

Räta linjens ekvation

Exempel

Vad är $k$ - och $m$ -värdet för linjen?

$k$ -värde

Exempel

Bestäm en linjes lutning från en graf

Exempel

Bestäm en linjes lutning med två punkter

$m$ -värde

Proportionalitet

Exempel

Är $y$ proportionell mot $x$ ?

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}

Exempel

Vad är k- och m-värdet för linjen?

Exempel

Bestäm en linjes lutning från en graf

Exempel

Bestäm en linjes lutning med två punkter

Exempel

Är y proportionell mot x?

Vad är $k$ - och $m$ -värdet för linjen?

Är $y$ proportionell mot $x$ ?