Linjära funktioner

En linjär funktion är en funktion vars graf är en icke-vertikal linje.

Linjära funktioner kan skrivas i följande form, den så kallade $k$-formen. I denna formel är $k$ och $m$ konstanter. $k\text{-}$värdet anger linjens lutning och $m\text{-}$värdet är det värde där linjen skär $y\text{-}$axeln.

För en rät linje skriven på formen $y=kx+m$ anger konstanten $k$ lutningen för linjen, alltså antalet steg linjen rör sig i $y\text{-}$led när man går $1$ steg åt höger i $x\text{-}$led. Denna lutning kallas oftast bara för $k\text{-}$värde eller ibland riktningskoefficient. Ett positivt $k\text{-}$värde betyder att linjen lutar uppåt medan ett negativt $k\text{-}$värde innebär att den lutar nedåt. Om $k$ är $0$ har linjen ingen lutning och blir då horisontell.

För en rät linje skriven på $k\text{-}$form, kan konstanten $m$ tolkas som ett mått på linjens förskjutning i $y\text{-}$led från origo. Det läses av som det $y\text{-}$värde där linjen skär $y\text{-}$axeln.

Formeln för att beräkna $k\text{-}$värdet för en linje kan skrivas på två sätt.

$\Delta$ är den grekiska bokstaven delta och brukar beteckna skillnad, så enligt formeln beräknar man skillnaden i $y\text{-}$värde mellan två punkter på linjen, $(x_1,y_1)$ och $(x_2,y_2),$ och dividerar med skillnaden mellan $x\text{-}$värdena. Vilka punkter som används spelar ingen roll, så länge de båda ligger på linjen.

Proportionalitet är ett förhållande mellan två kvantiteter där den ena kvantiteten är en konstant multipel av den andra. Detta innebär att när den ena kvantiteten ändras, ändras den andra med ett konstant belopp. Betrakta två kvantiteter, $x$ och $y.$ De är proportionella om det finns en konstant $k$ sådan att följande relation gäller. Konstanten $k$ kallas proportionalitetskonstanten och den beskriver hur snabbt $y\text{-}$värdet ändras när $y\text{-}$värdet ändras. Ett exempel på proportionalitet är sambandet mellan antal arbetade timmar och intjänade pengar. Om proportionalitetskonstanten är $100$ kronor per timme kan detta förhållande uttryckas med följande ekvation. Det här förhållande kan användas för att skapa en tabell som visar de intjänade pengarna beroende på antalet arbetade timmar. Denna information kan sedan representeras som ett talpar i formen $(x,y),$ där $x$ anger antalet arbetade timmar och $y$ representerar de intjänade pengarna.

Antal arbetade timmar	Intjänade pengar	$(x,y)$
$0$	$100\text{ kr}\cdot 0=0\text{ kr}$	$(0,0)$
$1$	$100\text{ kr}\cdot 1=100\text{ kr}$	$(1,100)$
$2$	$100\text{ kr}\cdot 2=200\text{ kr}$	$(2,200)$
$3$	$100\text{ kr}\cdot 3=300\text{ kr}$	$(3,300)$
$4$	$100\text{ kr}\cdot 4=400\text{ kr}$	$(4,400)$
$5$	$100\text{ kr}\cdot 5=500\text{ kr}$	$(5,500)$
$6$	$100\text{ kr}\cdot 6=600\text{ kr}$	$(6,600)$
$7$	$100\text{ kr}\cdot 7=700\text{ kr}$	$(7,700)$
$8$	$100\text{ kr}\cdot 8=800\text{ kr}$	$(8,800)$

Proportionalitet visas ofta med hjälp av grafer, som visar förhållandet mellan de två kvantiteterna som en rät linje. Koordinaterna från tabellen kan användas för att grafiskt visa antalet arbetade timmar mot mängden intjänade pengar, och punkterna kan kopplas samman med en rät linje. Grafen av ett proportionellt förhållande passerar alltid genom origo, vilket indikerar att förhållandet mellan de två kvantiteterna förblir detsamma. Det är värt att notera att kvoten av $y$ och $x,$ när $x\ne 0,$ resulterar i proportionalitetskonstanten.