Linjära Funktioner: Förstå y=kx+m och Räkna ut k- och m-värde

Funktion	$k -$ värde	$m -$ värde
$y = 3 x + 1$	$3$	$1$
$y = - x - 50$	$- 1$	$- 50$

Antal arbetade timmar	Intjänade pengar	$(x, y)$
$0$	$100 kr \cdot 0 = 0 kr$	$(0, 0)$
$1$	$100 kr \cdot 1 = 100 kr$	$(1, 100)$
$2$	$100 kr \cdot 2 = 200 kr$	$(2, 200)$
$3$	$100 kr \cdot 3 = 300 kr$	$(3, 300)$
$4$	$100 kr \cdot 4 = 400 kr$	$(4, 400)$
$5$	$100 kr \cdot 5 = 500 kr$	$(5, 500)$
$6$	$100 kr \cdot 6 = 600 kr$	$(6, 600)$
$7$	$100 kr \cdot 7 = 700 kr$	$(7, 700)$
$8$	$100 kr \cdot 8 = 800 kr$	$(8, 800)$

Bestäm $k$ -värdena för den räta linjen

y = 2 x + 3 .

y = - 4.5 x - 12 .

y = x + 1 .

Utgå ifrån räta linjens ekvation, dvs. y=kx+m. Koefficienten framför x är k-värdet och konstanten är m-värdet. Lägg märke till att både k och m är konstanter, så x tillhör med andra ord inte k-värdet.

Vi resonerar på samma sätt som i förra deluppgiften. Om vi jämför y=-4.5x-12 med räta linjens ekvation ser vi att k=-4.5 och m=-12.

Vi resonerar på samma sätt som tidigare, men här måste vi först fundera över vilken koefficient som ska stå framför x. Genom att skriva om x som 1x blir det mycket tydligare att k=1 och m=1.

Beskriv med ord hur graferna till följande linjära funktioner ser ut i ett koordinatsystem.

y = 3 x - 9 .

y = - 2 x + 5 .

Vi läser av linjens k- och m-värde: y= 3x -9 k= 3 och m= - 9 Riktningskoefficienten k är alltså 3, vilket betyder att linjen ökar med 3 steg på y-axeln när man går ett steg åt höger på x-axeln. Vidare ser vi att m-värdet är - 9. Det betyder att funktionen skär y-axeln när y = - 9.

Vi läser av linjens k- och m-värde: y= -2x+ 5 k= -2 och m= 5 Riktningskoefficienten är -2, vilket betyder att linjen minskar med 2 steg på y-axeln när man går ett steg åt höger på x-axeln. Vidare ser vi att m-värdet är 5. Det betyder att funktionen skär y-axeln när y = 5.

Betrakta följande graf.

Grafen till funktionen y=0.5x+2.5, med punkter i (3,4) och (7,6).

Bestäm grafens

k

-värde.

Det är möjligt att läsa av linjens k-värde i figuren, men vi kan också beräkna det med formeln k = Δ yΔ x. De två punkterna i grafen är A=(3,4) och B=(7,6)- Ur grafen kan vi direkt läsa av att ändringen i x från A till B är 4, men vi kan också räkna ut den med Δ x = x_2 - x_1.

På samma sätt här kan vi se att förändringen i y-led är 2 eller så sätter in y-värdena i formeln Δ y = y_2 - y_1.

Vi sätter nu in Δ x och Δ y i k-formeln för att bestämma lutningen.

Linjens lutning är alltså 0.5.

En rät linje passerar genom punkterna

(3, 6)

och

(- 2, 1) .

Bestäm linjens lutning.

Lutningen för en linje kan bestämmas genom att dividera skillnaden mellan punkternas y-värden med skillnaden mellan deras x-värden: k=Δ y/Δ x=y_2-y_1/x_2-x_1. Sätter vi in punkternas x- och y-värden kan vi alltså beräkna k-värdet.

Linjens lutning är alltså 1.

Bestäm ekvationen till den räta linje som har ritats ut i nedanstående koordinatsystem.

För att skriva den räta linjens ekvation på k-form måste vi bestämma både k-värdet och m-värdet. Linjens m-värde är y-koordinaten i punkten där linjen skär y-axeln.

Vi ser att m-värdet är 0.5. För att bestämma linjens lutning mäter vi skillnaden i y-led mellan två punkter på grafen som ligger 1 steg ifrån varandra i x-led.

Skillnaden i y-led är - 0.5 eftersom den minskar med 0.5 när man går ett steg åt höger i x-led. Linjens lutning är k = - 0.5 och genom att sätta in k- och m-värdet i räta linjens ekvation får vi y=- 0.5x+0.5.

Avgör om följande räta linjer har ett $k$ -värde som är positivt, negativt, noll eller om $k$ -värde saknas.

Ett koordinatsystem med fyra grafer: en horisontell, en vertikal, en med positiv lutning och en med negativ.

Para ihop graferna med följande villkor på

k .

k = 0, k < 0, k - v \ddot{a} rde saknas, k > 0

En linje med uppförsbacke, om vi tänker oss att vi går från vänster till höger, har positivt k-värde. Endast en av linjerna lutar uppåt och det är A.

På liknande sätt ger "nedförsbacke" ett negativt k-värde och en "platt linje" ger k-värdet noll. Alltså har

A: positivt k-värde.
B: negativt k-värde.
C: k-värdet 0

Men hur är det med D? Denna linje är lodrät och därmed inte en funktion eftersom det finns flera, oändligt många i det här fallet, y-värden för x-värdet 7.5. Denna linje kan därför inte skrivas på formen y=kx+m och saknar alltså k-värde.

Rita graferna till de räta linjer i ett koordinatsystem genom att tolka deras $k$ - och $m$ -värde.

y = 3 x - 1

y = - 2 x + 4

y = - x - 3

En rät linje på k-form skrivs y=kx+m, där k anger lutningen eller det antal steg funktionen rör sig i y-led då man går 1 steg i x-led. m anger y-värdet där linjen skär y-axeln. Vi börjar med att rita ett koordinatsystem och pricka in m-värdet, som för y=3x-1 är lika med -1.

Linjens k-värde är 3. Exempelvis kan vi utgå från punkten vi satte ut och gå ett steg åt höger i x-led. Sedan går vi 3 steg uppåt, och där sätter vi ut en ny punkt. Slutligen sammanbinder vi punkterna med en linje som sträcker sig över hela koordinatsystemet.

Vi resonerar på samma sätt som i förra deluppgiften. För funktionen y=-2 x+4 är k=-2 och m = 4. Vi markerar m-värdet 4 på y-axeln. Minustecknet innebär att linjen rör sig 2 steg nedåt för varje steg i x-led. Detta ger oss följande linje.

Funktionen y=- x-3 kan även skrivas som y=-1 x-3. Vi ser då att k=-1 och m=-3. På precis samma sätt som i tidigare deluppgifter ritar vi linjen utifrån denna information.

Rita graferna till de räta linjerna i ett koordinatsystem genom att tolka deras $k$ - och $m$ -värde.

y = 3 - 2 x

y = \frac{x}{2} + 1

y = - 3

Termerna i linjens ekvation är skrivna i en annan ordning är den vanliga, men den är fortfarande skriven på k-form, dvs. y = kx + m. För att lättare se detta byter vi plats på termerna:

y = - 2x + 3. m-värdet, som anger det y-värde där linjen skär y-axeln, är 3. Det innebär att punkten (0,3) finns på linjen. Vi sätter ut den i ett koordinatsystem.

k-värdet, som anger antalet steg man ska gå i y-led för varje steg man går åt höger i x-led, är - 2. Vi ska alltså gå 2 steg nedåt för varje steg i x-led. Om vi utgår från punkten på y-axeln och går 1 steg åt höger i x-led och 2 steg nedåt i y-led hittar vi en till punkt på linjen. Vi ritar en linje igenom de två punkterna.

Kom ihåg att linjen ritas genom hela koordinatsystemet och inte bara mellan de två punkterna.

För att lättare se att ekvationen för linjen är skriven på k-form, y = kx + m, skriver vi om den på formen

y = 1/2x + 1. Vi markerar m-värdet 1 på y-axeln. k-värdet är 12, vilket innebär att vi ska gå ett halv steg uppåt och ett steg åt höger för att hitta en till punkt på linjen. Eftersom den punkten hamnar mellan två linjer i koordinatsystemet kan det vara enklare att gå 2 steg åt höger istället, vilket ger en ökning på ett helt steg i y-led. Dessa punkter ger oss linjen i koordinatsystemet nedan.

Ekvationen y = - 3 är även den skriven på k-form, trots att den inte har någon x-term. Detta blir mycket tydligare om vi skriver om den som

y = 0 * x - 3. k-värdet är alltså noll vilket innebär att linjen inte har någon lutning. Vi sätter först in m-värdet - 3 på x-axeln och går sedan ett steg åt höger i x-led utan att gå varken upp eller ner på y-axeln. Kopplar vi ihop dessa punkter får vi den vågräta linje som ritats i koordinatsystemet.

Vilka av graferna A, B, C och D är proportionaliteter?

Fyra grafer utriade i ett koordinatsystem, där tre är räta linjer och en är en parabel.

En graf som visar en proportionalitet är en rät linje som går igenom origo. A går visserligen genom origo, men det är ingen rät linje, så den kan vi utesluta. Både B och C är räta linjer som går igenom origo, så de är proportionaliteter. Graf D är en rät linje, men den går inte genom origo. Graferna som beskriver proportionaliteter är alltså B och C.

Grafen visar vad en butik betalar vid inköp av guld, där $x$ är antal gram och $y$ är priset i kronor.

Linjen y=300x utritad i ett koordinatsystem.

Priset butiken betalar är proportionellt mot guldvikten. Bestäm proportionalitetskonstanten.

Eftersom priset butiken betalar är proportionellt mot antalet gram kan priset beskrivas med y = kx, där k är proportionalitetskonstanten. Grafen går genom origo, men för att beräkna proportionalitetskonstanten k behöver vi veta ytterligare en punkt på grafen. Vi väljer en lämplig punkt på grafen och läser av koordinaterna.

En punkt på grafen är (5,1500). Med värdena x = 5 och y = 1500 kan vi beräkna proportionalitetskonstanten k.

Proportionalitetskonstanten är alltså k = 300.

Kostnaden för läsk ökar proportionellt med antalet burkar man köper. Vad är proportionalitetskonstanten om

15

burkar kostar

225

kr?

Proportionalitetskonstanten beskriver hur mycket funktionsvärdet ökar när x-värdet ökar med 1. I det här fallet är det samma sak som kostnadens ökning i kr när antalet burkar ökar med 1, alltså priset för en burk. Vi vet att om antalet burkar, x, är 15 ska totala priset, y, bli 225 kr. Vi sätter in detta i y=kx och löser ut k.

Proportionalitetskonstanten är 15 vilket innebär att grafen ökar med 15 för varje steg åt höger på x-axeln. Det innebär också att priset för en burk läsk är 15 kr.

För en påse med 3.5 kg potatis betalar man 28 kronor. Köper man en påse med 12 kg kostar den 84 kr. Är priset proportionellt mot vikten?

Vi kan börja med att markera priset och antal kg i ett koordinatsystem med priset på y-axeln och vikten på x-axeln.

Om priset är proportionellt mot vikten ska båda punkter falla på en linje på formen y = kx, där k är proportionalitetskonstanten. Sätter vi in punkterna i formeln ska båda ge samma k-värde om priset är proportionellt.

Punkten (3.5, 28)

Linjen mellan origo och (3.5,28) har lutningen k=8.

Punkten (12, 84)

Linjen mellan origo och (12,84) har lutningen k=7. Eftersom vi fick olika k-värden är priset inte proportionellt mot vikten.

Linjära funktioner

Förkunskaper

Linjär funktion

$k -$ värde

$m -$ värde

Vad är $k -$ och $m -$ värdet för linjen?

Svar

Ledtråd

Lösning

Riktningskoefficient

Bestäm en linjes lutning från en graf

Ledtråd

Lösning

Bestäm en linjes lutning med två punkter

Ledtråd

Lösning

Hitta ekvationen för en linje baserat på en graf

Proportionalitet

Är $y$ proportionell mot $x ?$

Ledtråd

Lösning

Identifiera proportionalitetskonstanten

Punkten (3.5, 28)

Punkten (12, 84)

Linjära funktioner

Rekommenderade uppgifter

	12 sidor teori
	35 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.