Linjära funktioner

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Räta linjens ekvation

En funktion som beskriver en rät linje i ett koordinatsystem kallas linjär och skrivs oftast på så kallad kk-form.

y=kx+my=kx+m

kk- och mm-värdet är konstanter som beskriver linjens egenskaper. kk anger lutningen och mm är det yy-värde där linjen skär yy-axeln. I koordinatsystemet har linjen kk-värdet 22 och mm-värdet 1.1.

Uppgift

Vad har y=3x+1y = 3x +1 och y=-x50y = \text{-} x -50 för kk- och mm-värden?

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

kk-värde

För en rät linje skriven på formen y=kx+my = kx + m anger konstanten kk lutningen för linjen, alltså antalet steg linjen rör sig i yy-led när man går 1 steg åt höger i xx-led. Denna lutning kallas oftast bara för kk-värde eller ibland riktningskoefficient. Ett positivt kk-värde betyder att linjen lutar uppåt medan ett negativt kk-värde innebär att den lutar nedåt. Om kk är 00 har linjen ingen lutning och blir då horisontell.

Formeln för att beräkna kk-värdet för en linje kan skrivas på två sätt.

k=ΔyΔxellerk=y2y1x2x1 k=\dfrac{\Delta y}{\Delta x} \quad \text{eller} \quad k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

Δ\Delta är den grekiska bokstaven delta och brukar beteckna skillnad, så enligt formeln beräknar man skillnaden i yy-värde mellan två punkter på linjen, (x1,y1)(x_1,y_1) och (x2,y2),(x_2,y_2), och dividerar med skillnaden mellan xx-värdena. Vilka punkter som används spelar ingen roll, så länge de båda ligger på linjen.
Uppgift

Bestäm linjens lutning i koordinatsystemet grafiskt.

Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Vad är lutningen för linjen som går genom punkterna (2,1)(2,1) och (4,5)?(4,5)?

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

mm-värde

För en rät linje skriven på k-form, kan konstanten mm tolkas som ett mått på linjens förskjutning i yy-led från origo. Det läses av som det yy-värde där linjen skär yy-axeln.

Begrepp

Proportionalitet

Går en rät linje, y=kx+my=kx+m igenom origo säger man att yy är proportionell mot xx. Detta kallas ibland direkt proportionalitet. Eftersom linjen skär yy-axeln i origo är m=0m=0 och linjens funktionsuttryck blir då som nedan.

y=kxy=kx

Lutningen kk brukar kallas proportionalitetskonstant.
Uppgift

Leia köper 2 hekto godis och betalar 17 kr medan Luke köper 8 hekto godis och betalar 68 kr. Är priset på godiset proportionellt mot vikten?

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm kk- och mm-värde för de räta linjerna.


a

y=2x+3y=2x+3

b

y=-4.5x12y=\text{-}4.5x-12

c

y=x+1y=x+1

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beskriv med ord hur graferna till följande linjära funktioner ser ut i ett koordinatsystem.


a

y=3x9y=3x-9

b

y=-2x+5y=\text{-}2x+5

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Bestäm förändringen i xx- och yy-led från punkt AA till punkt BB i nedanstående graf.

b

Bestäm grafens kk-värde.

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Rita den räta linje som går genom punkterna (3,6)(3,6) och (-2,1)(\text{-} 2,1) i ett koordinatsystem.

b

Bestäm linjens lutning.

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm ekvationen till den räta linje som har ritats ut i nedanstående koordinatsystem.

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Avgör om följande räta linjer har ett kk-värde som är positivt, negativt, noll eller om kk-värde saknas.

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Rita graferna till de räta linjer i ett koordinatsystem genom att tolka deras kk- och mm-värde.

a

y=3x1y=3x-1

b

y=-2x+4y=\text{-}2 x+4

c

y=-x3y=\text{-} x-3

1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Rita graferna till de räta linjerna i ett koordinatsystem genom att tolka deras kk- och mm-värde.


a

y=32xy = 3 - 2x

b

y=x2+1y = \dfrac{x}{2} + 1

c

y=-3y = \text{-} 3

1.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilka av följande grafer illustrerar proportionaliteter?

1.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Grafen visar vad en butik betalar vid inköp av guld, där xx är antal gram och yy är priset i kronor.


a

Priset butiken betalar är proportionellt mot guldvikten. Bestäm proportionalitetskonstanten.

b

Tolka värdet du fick i förra deluppgiften.

1.11
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Kostnaden för läsk ökar proportionellt med antalet burkar man köper. Vad är proportionalitetskonstanten om 1515 burkar kostar 225225 kr?

1.12
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För en påse med 3.5 kg potatis betalar man 28 kronor. Köper man en påse med 12 kg kostar den 84 kr. Är priset proportionellt mot vikten?

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En linjär funktion kan skrivas på formen y=kx+m.y=kx+m. Bestäm kk- och mm-värde för följande funktioner.


a

y=-xy=\text{-} x


b

y=2x3+9y=\dfrac{2x}{3}+9


c

y=4x2+7y=4x^2+7

d

y=317xy=3-\dfrac{1}{7}x

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Två räta linjer, L1L_1 och L2L_2, har ritats i koordinatsystemet nedan. Ange linjernas ekvationer på kk-form.

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I koordinatsystemet syns två grafer som visar hur priset på två ostsorter beror på vikten. Uppskatta skillnaden i kilopris mellan ostsorterna.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Via ett biluthyrningsföretag kan man hyra en bil i 2 dagar för 700 kr. Vill man istället hyra bilen i 2 veckor kostar det 3500 kr. Inga fasta avgifter tillkommer.


a
Visa att priset för att hyra bilen inte är proportionellt mot antalet dagar bilen hyrs.
b
Hur ska priset att hyra bilen i 2 dagar förändras för att hyran per dag ska bli densamma som om bilen hyrs i 2 veckor?
2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En rät linje går igenom punkterna (2,-3)(2,\text{-}3) och (4,7)(4,7). Bestäm algebraiskt linjens ekvation på kk-form.

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Punkterna (-4,2)(\text{-}4,2), (3,9)(3,9) och (20,y)(20,y) ligger längs en rät linje. Bestäm yy algebraiskt.

2.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I koordinatsystemet syns en rät linje. Bestäm linjens ekvation.

2.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Är yy proportionell mot xx i följande samband?


a

0.6x2y=40.6x-2y=4

b

x4+y8=0\dfrac{x}{4}+\dfrac{y}{8}=0

2.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För en funktion är yy proportionell mot xx och dess graf går genom punkterna i tabellen.

xx 2 7 b + 5
yy aa 35 55


a

Vad är proportionalitetskonstanten?

b

Bestäm aa och b.b.

2.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

yy är omvänt proportionell mot xx om sambandet y=kx y=\frac{k}{x} gäller, där kk är proportionalitetskonstanten. Värdetabellen visar ett omvänt proportionellt samband mellan xx och y.y.

xx 1 2 3 4
yy 6 3 2 1.5


a

Bestäm sambandet mellan xx och y.y.


b

Bestäm yy när x=18.x = 18.

2.11
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Diagrammet visar hur priset beror av vikten för två olika äppelsorter. Hur stor är prisskillnaden per kilogram? Motivera ditt svar i figuren och rutan.


Nationella provet VT12 1b
2.12
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Elin har börjat i en ny skola och behöver åka buss till och från skolan varje dag. Diagrammet visar kostnaden för enkelresor, det vill säga för en resa till eller från skolan.

a

Ett månadskort kostar 230230 kr. Hur många enkelresor måste Elin minst göra för att hon ska tjäna på att köpa ett månadskort?

ID2595.svg
b

Vad kostar en enkelresa enligt diagrammet? Motivera ditt svar.

Nationella provet HT16 1a/1b
2.13
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

När en frysbox stängs av stiger temperaturen. Följande formel kan användas för att beräkna temperaturen (y)(y) i grader Celsius då en frysbox har varit avstängd i xx timmar: y=0.2x18.y=0.2x-18.

a

Vilken är frysboxens temperatur då den varit avstängd två timmar?

b

Hur länge har frysboxen varit avstängd då temperaturen är 0 0\ ^\circC?

c

Förklara med egna ord vad formeln innebär.

Nationella provet VT05 MaA
Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En linje beskrivs av ekvationen 3x+2y9=0.3x + 2y - 9 = 0. Bestäm linjens skärningspunkter med koordinataxlarna.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv ekvationerna på kk-form.


a

3x+9=3y3x+9=3y


b

2y=x682y=\dfrac{x}{6}-8

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I koordinatsystemet visas grafer som beskriver kostnaden yy kr när du köper xx tuggummin av sorterna AA, BB eller CC.


a

Bestäm sambandet mellan xx och yy för var och en av tuggummisorterna AA, BB och CC.


b

Du köper samma antal tuggummin av sort AA som av BB, och dubbelt så många av CC som av AA och BB tillsammans. Hur många tuggummin köpte du om du betalade 56 kr totalt?

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I koordinatsystemet har en punkt som ligger på linjen till funktionen y=8x+my = 8x + m markerats. Bestäm koordinaterna för denna punkt. aa är en konstant.

3.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Linjen y=3x+my = 3x + m går igenom punkterna (-3,6)(\text{-}3,6) och (2b,b)(2b,b). Ange xx- och yy-koordinaten i punkten (2b,b)(2b,b).

3.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

I vilken punkt skärs yy-axeln av linjen y=kx+my = kx + m?

b

I vilken punkt skärs xx-axeln av linjen y=kx+my = kx + m?

c

Bestäm skärningspunkterna med xx- och yy-axeln för linjen y=-4x+8.y = \text{-} 4x + 8.

3.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilka villkor måste gälla för att en rät linje ska skära både den positiva delen av xx-axeln och den positiva delen av yy-axeln?

3.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I tabellen visas koordinaterna för fyra olika punkter som alla ligger på samma räta linje.

Punkt xx yy
Nr 1 z9 z-9 h+1 h+1
Nr 2 2+a 2+a 3+b3+b
Nr 3 u+2 u+2 8b8-b
Nr 4 4+a 4+a 9+b9+b


a

Bestäm linjens kk-värde.

b

I vilken punkt skär funktionen yy-axeln om du vet att punkten (b+1,3b)(b+1,3b) ligger på linjen?

3.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa att en lodrät linje inte kan skrivas på formen y=kx+my = kx + m.

3.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ett ark med längden 297297 mm och bredden 210210 mm har formatet A4.4. Om man lägger två A44-ark med långsidorna mot varandra får man ett format som kallas A3.3. Om man i stället viker A44-arket på mitten med kortsidorna mot varandra får man ett format som kallas A5.5. Fortsätter man att vika A55 på samma sätt får man ett format som kallas A6.6.

a

Röstsedlar har formatet A66. Bestäm hur många sådana som får plats på ett A44-ark.

b

Det största arket i A-serien kallas A00-ark. Bestäm hur stor area ett A00-ark har. Beskriv hur du gjorde för att lösa uppgiften.


c

I koordinatsystemet är punkten för bredd och längd på ett A44-ark inprickad. Pricka in punkter för bredd och längd för arken A6,6, A55 och A33 i diagrammet. Undersök sambandet mellan längd och bredd på varje ark. Beskriv sambandet med ord och/eller formel. Visa eventuella beräkningar.


d

En av Europas minsta dagstidningar, engelska Tryon Daily Bulletin, trycks i formatet 215215 mm × 280280 mm. Många svenska dagstidningar, t.ex. Metro och Svenska Dagbladet, trycks i formatet tabloid 280280 mm × 397397 mm. Pricka in dessa format i ditt diagram. Vilka slutsatser drar du?

Nationella provet VT12 1a/1b/1c
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}