Exponentialekvationer

För att lösa ekvationen grafiskt hanterar vi uttrycken i vänster- respektive högerled som separata funktioner i samma koordinatsystem, dvs. y=2^x och y=7.

Skriv in funktioner i räknaren

För att göra en grafisk lösning med räknaren börjar vi med att trycka på knappen Y= och skriver sedan in funktionerna vid Y_1 och Y_2. För att skriva x trycker vi på knappen X,T,θ,n och för att skriva upphöjt till trycker vi på ∧.

Rita funktionerna

Funktionerna ritas när vi trycker på knappen GRAPH. Eventuellt måste vi justera inställningarna för koordinatsystemet.

Hitta skärningspunkten

Vi kan nu använda räknaren för att hitta skärningspunkten mellan de två graferna. Verktyget som gör detta hittas genom att först trycka på CALC (2nd + TRACE) och sedan välja intersect i listan.

När vi har valt intersect visas graferna igen och genom att trycka på ENTER tre gånger väljer vi graferna som vi ska bestämma skärningspunkten mellan.

Nu ser vi att x ≈ 2,8 löser ekvationen.

För att lösa ekvationen grafiskt hanterar vi uttrycken i vänster- och högerled som separata funktioner i samma koordinatsystem, dvs. y=2^x och y=32. För att göra en grafisk lösning med räknaren börjar vi med att trycka på knappen Y= och skriver sedan in funktionerna vid Y_1 och Y_2. För att skriva x trycker vi på knappen X,T,θ,n och för att skriva upphöjt till trycker vi på ∧.

Nu trycker vi på GRAPH. Eventuellt måste vi justera inställningarna för koordinatsystemet.

Vi kan nu använda räknaren för att hitta skärningspunkten mellan de två graferna. Verktyget som gör detta hittas genom att först trycka på CALC (2nd + TRACE) och sedan välja intersect i listan.

När vi har valt intersect visas graferna igen och genom att trycka på ENTER tre gånger väljer vi graferna som vi ska bestämma skärningspunkten mellan.

Graferna skär varandra i punkten (5,32) vilket betyder att x=5 löser ekvationen.

Vi gör på samma sätt som i förra deluppgiften. Genom att dela upp ekvationens led enligt y=6^x och y=216 kan vi skriva in dem som separata funktioner i räknaren. Sedan kan vi använda funktionen intersect för att hitta grafernas skärningspunkt.

Lösningen till ekvationen är alltså x=3.

Vi fortsätter på samma sätt och skriver höger- och vänsterledet som enskilda funktioner: y=11^x+1 och y=120. Ni ritar vi upp graferna till funktionerna med hjälp av räknaren och använder intersect för att hitta skärningspunkten.

Om vi avrundar x-värdet till tre decimaler får vi x≈1,993 och detta är alltså lösningen till ekvationen.

För att lösa ekvationen med räknare skriver vi ekvationens vänster- och högerled som separata funktioner, dvs. y=10^x och y=24. Vi vill nu rita graferna till dessa i samma koordinatsystem och börjar med skriva in funktionerna genom att trycka på Y=.

Vi trycker på GRAPH för att rita graferna. Eventuellt måste vi justera inställningarna för koordinatsystemet.

Nu bestämmer vi grafernas skärningspunkt, eftersom x-koordinaten där är lösningen på ekvationen. Vi trycker först på CALC (2nd + TRACE) och väljer sedan intersect i listan.

När vi har valt intersect visas graferna igen och genom att trycka på ENTER tre gånger väljer vi de grafer som räknaren ska bestämma skärningspunkten för.

Nu kan vi läsa av x-koordinaten i skärningspunkten och ange ekvationens lösning: x ≈ 1,38.

Vi löser denna ekvation på samma sätt som i föregående deluppgift, så vi börjar med att tolka höger- och vänsterled som två funktioner: y=2*10^x och y=4. Nu ritar vi dessa genom att skriva in dem på räknaren och trycka på GRAPH.

Till sist bestämmer vi skärningspunkten med hjälp av intersect.

Ekvationen har alltså lösningen x ≈ 0,30.

Vi gör på samma sätt ännu en gång. När vi skrivit in och ritat funktionerna y=10^x/4 och y=8 på räknaren använder vi intersect för att bestämma skärningspunkten.

Vi ser då att lösningen på ekvationen är x≈ 1,51.

För att lösa ekvationen med räknare skriver vi ekvationens vänster- och högerled som separata funktioner, dvs. y=50^x och y=100. Vi ritar graferna i samma koordinatsystem och använder intersect för att bestämma skärningspunkten mellan dem.

Skärningspunktens x-koordinat ger oss ekvationens lösning: x ≈ 1,18.

Vi gör på samma sätt som i föregående deluppgift och börjar med att rita graferna till funktionerna y=12^x och y=1/3. Deras skärningspunkt bestämmer vi med intersect.

Ekvationen har alltså lösningen x ≈ -0,44.

Vi gör samma sak igen. Funktionerna som ska ritas är y=3^x+2 och y=3^2+3. Innan vi skriver in detta på räknaren och skissar graferna kan vi förenkla y=3^2+3 till y=12. Nu bestämmer vi skärningspunkten med intersect.

Vi ser att lösningen på ekvationen är x≈ 2,10.

För att lösa ekvationen med räknare skriver vi ekvationens vänster- och högerled som separata funktioner, dvs. y=4^x + 2 och y=5. Nu ritar vi graferna till dessa i samma koordinatsystem och börjar då med att skriva in funktionerna genom att trycka på Y=

Vi ritar graferna genom att trycka på GRAPH. Eventuellt måste inställningarna för koordinatsystemet justeras.

Nu bestämmer vi skärningspunkten mellan graferna, eftersom x-koordinaten där är lösningen på ekvationen. Vi trycker först på CALC (2nd + TRACE) och väljer sedan intersect i listan.

När vi har valt intersect visas graferna igen och genom att trycka på ENTER tre gånger väljer vi de grafer som räknaren ska bestämma skärningspunkten mellan.

Nu läser vi av x-koordinaten och anger ekvationens lösning: x ≈ 0,79.

Vi löser denna ekvation på samma sätt som i föregående deluppgift och börjar därför med att tolka höger- och vänsterled som två funktioner: y=6 * 9^x och y=90. Nu ritar vi dessa genom att skriva in dem på räknaren och trycka på GRAPH.

Till sist bestämmer vi skärningspunkten med intersect.

Ekvationen har alltså lösningen x ≈ 1,23.

Vi gör på samma sätt igen. När vi skrivit in och ritat funktionerna y=2* 25^x - 10 och y=0,5 använder vi intersect för att bestämma skärningspunkten.

Vi ser då att lösningen på ekvationen är x≈ 0,52.

Vi börjar med att skriva ekvationens vänster- och högerled som separata funktioner: y=10^(3x) och y=6,3. Vi måste komma ihåg att använda parentes runt exponenten när vi skriver in y=10^(3x) på räknaren. Vi använder intersect för att bestämma skärningspunkten mellan graferna till funktionerna.

Punktens x-koordinat ger oss lösningen på ekvationen: x ≈ 0,266.

Vi gör på samma sätt igen, men för funktionerna y=10^(x2) och y=12. Deras skärningspunkt bestämmer vi med intersect.

Ekvationen har lösningen x ≈ 2,158.

Även här delar vi upp höger- och vänsterled i två funktioner: y=10^(2-x) och y=2,67. Och så använder vi intersect för att bestämma skärningspunkten.

Vi ser att lösningen är x≈ 1,573.

Om något ökar med 3 procent varje år betyder det att det efter ett år finns 103 % av vad det var från början. 103 % kan man skriva i decimalform: 103 % = 1,03. Detta är vår förändringsfaktor och det är det tal man multiplicerar med varje år. Från början fanns det 3 000 kronor, så efter 4 år finns det 3 000* 1,03*1,03*1,03*1,03=3 000* 1,03^4. Vi slår in det på räknaren och får cirka 3 377kr.

Nu känner vi inte till antal år, men vi kan kalla det för x. Startsumman och förändringsfaktorn är samma som tidigare så vi kan ställa upp ett uttryck som beskriver hur mycket pengar det finns efter x år: 3 000* 1,03^x. Vi vill vet när detta uttryck är lika med 4 000, vilket ger oss exponentialekvationen 3 000* 1,03^x= 4 000. Vi löser denna grafiskt med räknaren genom att skriva höger- och vänsterledet som funktioner och rita upp deras grafer.

Lösningen på ekvationen är alltså x≈10. Det betyder att det tar cirka 10 år till pengarna har vuxit till 4 000kr.

x^(13) kan skrivas om som kubikroten ur x. Det betyder att vi kan lösa ut x genom att höja upp båda led till 3.

I vänsterledet finns det en trea i samtliga termer och högerledet är delbart med 3. Vi dividerar därför båda led med 3.

I vänsterledet finns nu tre stycken 9^x vilket betyder att vi kan skriva det som 3* 9^x. Om man sedan delar ekvationen med 3 en gång till får vi en ekvation med endast en term i varje led. Om vi sedan använder att 9 kan skriva som 3^2 kan vi lösa ekvationen.

Nu har vi en ekvation med två potenser med samma bas. För att likheten ska gälla måste exponenterna också vara lika. Det betyder att 2x=1 ⇔ x=0,5. Ekvationens lösning är alltså x=0,5.