body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Mitt konto

Kurs 2a Visa detaljer

2. Exponentialekvationer

Fortsätt till nästa lektion

Lektion

Övningar

Tester

eKurser /

Matematik 2a /

Kapitel 3

Exponentialekvationer

Denna lektion fokuserar på att lösa exponentialekvationer, en typ av icke-linjära ekvationer, genom att använda grafiska metoder. Den beskriver hur man skriver ekvationsled som funktioner på räknaren, ritar ut funktionerna i ett koordinatsystem och använder räknaren för att hitta skärningspunkten mellan två grafer.

Inställningar & verktyg för lektion

	5 sidor teori
	19 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Sida av 5

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Exponentialekvation
Grafisk lösning
Lösa ekvation grafiskt med räknare

Koncept

Exponentialekvation

Exponentialekvationer är ekvationer på formen

$a^{x} = b .$

Exponentiella ekvationer kan lösas algebraiskt, grafiskt eller numeriskt.

Metod

Grafisk lösning

Vissa ekvationer kan vara svåra att lösa algebraiskt, exempelvis exponentialekvationen

1, 5^{x} = 5, 0625 .

Då kan man prova att lösa den grafiskt istället genom att tolka ekvationens led som två separata funktioner och bestämma var graferna till dessa skär varandra.

Skriv ekvationens led som funktioner

Skriv ekvationens vänster- och högerled som två separata funktioner:

y = 1, 5^{x} och y = 5, 0625 .

Rita graferna till funktionerna

Rita funktionernas grafer för hand, t.ex. med hjälp av värdetabell, eller på grafräknare.

Läs av

x -

värden där graferna skär varandra

Lösningen till ekvationen $1, 5^{x} = 5, 0625$ får man genom att läsa av $x -$ värdet för den punkt där graferna skär varandra.

Graferna skär varandra där $x = 4,$ vilket alltså är lösningen på ekvationen. På många grafräknare finns det inbyggda verktyg för att hitta skärningspunkten.

Digitala verktyg

Lösa ekvation grafiskt med räknare

Skriv in funktionerna på räknaren

Ekvationernas led skrivs in som funktioner på räknaren. Det görs genom att först trycka på $Y =$ och sedan skriva in funktionsuttrycken på raderna $Y_{1},$ $Y_{2}$ osv. För att skriva $x$ använder man $X, T, θ, n$

Fönster som visar plot1 plot2 plot3 på en TI82-räknare

Rita funktionerna

När funktionerna skrivits in på räknaren trycker man på $GRAPH$ för att rita ut funktionerna i ett koordinatsystem.

För att ändra de $x -$ och $y -$ värden som koordinatsystemet ritas mellan kan man trycka på $WINDOW,$ där det finns inställningar för hur koordinatsystemet ska visas.

Hitta skärningspunkten

Man kan nu använda räknaren för att hitta skärningspunkten mellan de två graferna. Verktyget som gör detta hittar man genom att först trycka på $2 ND + TRACE$ och sedan intersect.

När man har valt intersect visas de graferna igen och man kan nu välja mellan vilka av dem som skärningspunkten ska bestämmas.

First curve: Välj den första grafen genom att trycka på $ENTER .$ Man kan välja mellan graferna med upp- och nedpilarna.
Second curve: Välj den andra grafen.
Guess: För att räknaren ska kunna bestämma skärningspunkten snabbare ber den om en gissning som startpunkt. Placera markören i närheten av skärningspunkten genom att använda höger- och vänsterpilarna och tryck sedan på $ENTER .$

Nu skrivs skärningspunktens $x -$ och $y -$ värde ut och $x$ är ekvationens lösning.

Exempel

Att lösa exponentialekvationer

Betrakta följande ekvation.

1 0^{x} = 3, 16

a Lös ekvationen grafiskt och avrunda svaret till en decimal.

b Lös ekvationen med hjälp av ett ekvationslösningsverktyg. Avrunda svaret till en decimal.

Ledtråd

a Skriv om varje sida av ekvationen som en separat funktion. Rita grafen för båda och hitta skärningspunkten.

b Använd till exempel GeoGebra med funktionen NLös(ekvation), där ekvationen skrivs inom parenteserna

Lösning

a För att lösa ekvationen grafiskt, dela upp ekvationen i två separata funktioner — en för vänsterledet och en för högerledet.

y = 1 0^{x} and y = 3, 16

Grafrit sedan dessa funktioner med till exempel en grafräknare. Börja med att trycka på

Y =

och skriv in funktionsuttrycken.

Tryck sedan på knappen $GRAPH$ för att rita funktionerna i ett koordinatsystem. För att ändra de $x -$ och $y -$ värden mellan vilka koordinatsystemet ritas, tryck på $WINDOW,$ där inställningarna för hur koordinatsystemet visas kan justeras.

Tryck nu på $2ND + TRACE$ och välj intersect för att hitta skärningspunkten mellan graferna.

Graferna visas igen. Välj vilken graf som ska vara den first curve och den second curve; ordningen spelar ingen roll. Tryck slutligen på $ENTER .$

$x -$ och $y -$ värdena för skärningspunkten visas. $x -$ värdet representerar lösningen på ekvationen, vilket är ungefär $0, 5 .$

b I det här fallet används GeoGebra för att lösa ekvationen. Använd den inbyggda funktionen NLös(ekvation), där ekvationen skrivs inom parentesen.

NLös( $1 0^{x} = 3.16$ )

$\approx {x = 0.49996870826184}$

Lösningen stämmer överens med det som tidigare erhölls. Det betyder att lösningen till den exponentiella ekvationen är ungefär

0, 5 .

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Exponentialekvationer

Övningar

Figuren visar grafen till exponentialfunktionen $y = 1, 5^{x} .$

Använd grafen och lös ekvationen.

1, 5^{x} = 3

Nationella provet HT13 2a

1, 5^{x} \cdot 1, 5^{- 2 x} = 3

Nationella provet HT13 2a

Vi ska bestämma för vilket x-värde funktionen antar funktionsvärdet (y-värdet) 3. Det gör vi genom avläsning i grafen. Vi startar då på y-värdet 3 på y-axeln och går ut till grafen. När vi når den går vi rakt ner till x-axeln och läser av värdet där.

Vi ser att x-värdet är ca 2,7, vilket innebär att ekvationen har lösningen x≈2,7.

Nu ska vi lösa ekvationen 1,5^x*1,5^(-2x)=3. För att göra det måste vi först förenkla vänsterledet. Potenserna har samma bas så vi kan addera exponenterna.

Nu använder vi regeln för potenser med negativ exponent, vilket ger 1/1,5^x=3. Genom att multiplicera upp nämnaren och sedan dividera med 3 får vi en ekvation som går att lösa med grafen vi fått.

Denna ekvation kan vi lösa på samma sätt som den i föregående deluppgift, dvs. genom avläsning. Nu startar vi istället på y-värdet 13 när vi går ut till grafen. Då ser vi att motsvarande x-värde är ca -2,7.

Det innebär att ekvationen har lösningen x≈-2,7.

Exponentialekvationer

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Laddar innehåll