2. Exponentialekvationer
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 3
2.
Exponentialekvationer
Denna lektion fokuserar på att lösa exponentialekvationer, en typ av icke-linjära ekvationer, genom att använda grafiska metoder. Den beskriver hur man skriver ekvationsled som funktioner på räknaren, ritar ut funktionerna i ett koordinatsystem och använder räknaren för att hitta skärningspunkten mellan två grafer.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 5 sidor teori |
| | 19 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Exponentialekvationer
Sida av 5
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Exponentialekvation
- Grafisk lösning
- Lösa ekvation grafiskt med räknare
Förkunskaper
Koncept
Dela
Rapportera fel
Exponentialekvation
Exponentialekvationer är ekvationer på formen
a^x=b.
Metod
Dela
Rapportera fel
Grafisk lösning
Vissa ekvationer kan vara svåra att lösa algebraiskt, exempelvis exponentialekvationen
1,5^x=5,0625.
Då kan man prova att lösa den grafiskt istället genom att tolka ekvationens led som två separata funktioner och bestämma var graferna till dessa skär varandra.
1
Skriv ekvationens led som funktioner
expand_more 2
Rita graferna till funktionerna
expand_more Rita funktionernas grafer för hand, t.ex. med hjälp av värdetabell, eller på grafräknare.
3
Läs av x-värden där graferna skär varandra
expand_more Lösningen till ekvationen 1,5^x=5,0625 får man genom att läsa av x-värdet för den punkt där graferna skär varandra.
Graferna skär varandra där x=4, vilket alltså är lösningen på ekvationen. På många grafräknare finns det inbyggda verktyg för att hitta skärningspunkten.
Digitala verktyg
Dela
Rapportera fel
Lösa ekvation grafiskt med räknare
1
Skriv in funktionerna på räknaren
expand_more Ekvationernas led skrivs in som funktioner på räknaren. Det görs genom att först trycka på Y= och sedan skriva in funktionsuttrycken på raderna Y_1, Y_2 osv. För att skriva x använder man X,T,θ,n
2
Rita funktionerna
expand_more När funktionerna skrivits in på räknaren trycker man på GRAPH för att rita ut funktionerna i ett koordinatsystem.
För att ändra de x- och y-värden som koordinatsystemet ritas mellan kan man trycka på WINDOW, där det finns inställningar för hur koordinatsystemet ska visas.
3
Hitta skärningspunkten
expand_more Man kan nu använda räknaren för att hitta skärningspunkten mellan de två graferna. Verktyget som gör detta hittar man genom att först trycka på 2ND+TRACE och sedan intersect
.
När man har valt intersect
visas de graferna igen och man kan nu välja mellan vilka av dem som skärningspunkten ska bestämmas.
- First curve: Välj den första grafen genom att trycka på ENTER. Man kan välja mellan graferna med upp- och nedpilarna.
- Second curve: Välj den andra grafen.
- Guess: För att räknaren ska kunna bestämma skärningspunkten snabbare ber den om en gissning som startpunkt. Placera markören i närheten av skärningspunkten genom att använda höger- och vänsterpilarna och tryck sedan på ENTER.
Nu skrivs skärningspunktens x- och y-värde ut och x är ekvationens lösning.
Exempel
Dela
Rapportera fel
Att lösa exponentialekvationer
Betrakta följande ekvation. 10^x=3,16
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"x\u2248","formTextAfter":null,"answer":{"text":["0,5"]}}
b Lös ekvationen med hjälp av ett ekvationslösningsverktyg. Avrunda svaret till en decimal.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"x\u2248","formTextAfter":null,"answer":{"text":["0,5"]}}
Ledtråd
a Skriv om varje sida av ekvationen som en separat funktion. Rita grafen för båda och hitta skärningspunkten.
b Använd till exempel GeoGebra med funktionen
NLös(ekvation), där ekvationen skrivs inom parenteserna
Lösning
a För att lösa ekvationen grafiskt, dela upp ekvationen i två separata funktioner — en för vänsterledet och en för högerledet.
y=10^x and y=3,16 Grafrit sedan dessa funktioner med till exempel en grafräknare. Börja med att trycka på Y= och skriv in funktionsuttrycken.
Tryck sedan på knappen GRAPH för att rita funktionerna i ett koordinatsystem. För att ändra de x- och y-värden mellan vilka koordinatsystemet ritas, tryck på WINDOW, där inställningarna för hur koordinatsystemet visas kan justeras.
Tryck nu på 2ND + TRACE och välj intersect
för att hitta skärningspunkten mellan graferna.
Graferna visas igen. Välj vilken graf som ska vara den first curve
och den second curve
; ordningen spelar ingen roll. Tryck slutligen på ENTER.
x- och y-värdena för skärningspunkten visas. x-värdet representerar lösningen på ekvationen, vilket är ungefär 0,5.
b I det här fallet används GeoGebra för att lösa ekvationen. Använd den inbyggda funktionen
NLös(ekvation), där ekvationen skrivs inom parentesen.
NLös(10^x = 3.16)
≈ { x = 0.49996870826184 }
Exponentialekvationer
Uppgift 3.1
Figuren visar grafen till exponentialfunktionen y=1,5^x.
Använd grafen och lös ekvationen.
1,5^x=3
Nationella provet HT13 2a
{"type":"text","form":{"type":"interval","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":true},"text":" "},"formTextBefore":"x\u2248","formTextAfter":null,"answer":{"text1":"2.6","ineq1":"le","text2":"2.8","ineq2":"le"}}
1,5^x*1,5^(-2x)=3
Nationella provet HT13 2a
{"type":"text","form":{"type":"interval","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":true},"text":" "},"formTextBefore":"x\u2248","formTextAfter":null,"answer":{"text1":"-2.8","ineq1":"le","text2":"-2.6","ineq2":"le"}}
security
report
code
security
report
code
Vi ska bestämma för vilket x-värde funktionen antar funktionsvärdet (y-värdet) 3. Det gör vi genom avläsning i grafen. Vi startar då på y-värdet 3 på y-axeln och går ut till grafen. När vi når den går vi rakt ner till x-axeln och läser av värdet där.
Vi ser att x-värdet är ca 2,7, vilket innebär att ekvationen har lösningen x≈2,7.
Nu ska vi lösa ekvationen
1,5^x*1,5^(-2x)=3.
För att göra det måste vi först förenkla vänsterledet. Potenserna har samma bas så vi kan addera exponenterna.
Nu använder vi regeln för potenser med negativ exponent, vilket ger 1/1,5^x=3. Genom att multiplicera upp nämnaren och sedan dividera med 3 får vi en ekvation som går att lösa med grafen vi fått.
Denna ekvation kan vi lösa på samma sätt som den i föregående deluppgift, dvs. genom avläsning. Nu startar vi istället på y-värdet 13 när vi går ut till grafen. Då ser vi att motsvarande x-värde är ca -2,7.
Det innebär att ekvationen har lösningen x≈-2,7.
security
report
code
Exponentialekvationer
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
≤
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll