Nivå 2 - Exponentialekvationer - Icke-linjära ekvationer (Ma 2)

Lös ekvationen grafiskt med räknare och avrunda till tre decimaler.

1 0^{x} = 3 \cdot 2^{x}

\frac{0 . 5 ^{x}}{6} = 4^{x}

För att lösa ekvationen på räknaren delar vi upp ekvationens led i två separata funktioner: y=10^x och y=3* 2^x. Nu låter vi räknaren rita upp graferna till dessa funktioner och använder intersect för att bestämma skärningspunkten.

x-koordinaten för skärningspunkten är cirka 0.683 så x≈0.683 löser ekvationen.

Vi gör på samma sätt och skriver in ekvationens led, 0.5^x6 och 4^x, som funktioner i räknaren och ritar upp deras grafer.

x-värdet i skärningspunkten är ~ -0.862 så x≈ -0.862 är ekvationens lösning.

Putte sätter in $3000$ kr på ett bankkonto med $3 %$ ränta.

Hur mycket pengar finns på kontot efter

4

år? Svara i hela kronor.

När har pengarna på kontot vuxit till

4000

kr? Svara i hela år.

Om något ökar med 3 procent varje år betyder det att det efter ett år finns 103 % av vad det var från början. 103 % kan man skriva i decimalform: 103 % = 1.03. Detta är vår förändringsfaktor och det är det tal man multiplicerar med varje år. Från början fanns det 3000 kronor, så efter 4 år finns det 3000* 1.03*1.03*1.03*1.03=3000* 1.03^4. Vi slår in det på räknaren och får cirka 3377 kr.

Nu känner vi inte till antal år, men vi kan kalla det för x. Startsumman och förändringsfaktorn är samma som tidigare så vi kan ställa upp ett uttryck som beskriver hur mycket pengar det finns efter x år: 3000* 1.03^x. Vi vill vet när detta uttryck är lika med 4000, vilket ger oss exponentialekvationen 3000* 1.03^x= 4000. Vi löser denna grafiskt med räknaren genom att skriva höger- och vänsterledet som funktioner och rita upp deras grafer.

Lösningen på ekvationen är alltså x≈10. Det betyder att det tar cirka 10 år till pengarna har vuxit till 4000 kr.

Wilbur har köpt en lägenhet för

1850000

kr som beräknas stiga i värde med

9 %

per år. Efter hur många år har värdet fördubblats? Avrunda till heltal.

Lägenhetens värde ökar med 9 % varje år, så vi använder förändringsfaktorn 1.09 för att uttrycka värdeförändringen. Ett år efter inköpet är lägenheten värd 1 850 000*1.09kr. Ytterligare ett år senare är lägenheten värd 1 850 000*1.09*1.09=1 850 000*1.09^2kr. Vi kan se att exponenten ökar med 1 för varje år som går, och alltså beskriver antalet år sedan inköpet. Det vi söker är därför exponentens värde när lägenhetens värde har dubblerats, dvs. nått 3 700 000 kr. Vi bestämmer det genom att kalla den okända exponenten x och ställa upp exponentialekvationen 1 850 000*1.09^x=3 700 000. Vi löser den grafiskt med räknarens intersect-verktyg.

Då ser vi att ekvationens lösning är x ≈ 8. Det tar alltså ca 8 år innan värdet på lägenheten har fördubblats.

Exponentialekvationer

Grafisk lösning

Lösa ekvation grafiskt med räknare

Exponentialekvationer

Rekommenderade uppgifter

	3 sidor teori
	11 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.