Logga in
| 5 sidor teori |
| 19 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
Exponentialekvationer är ekvationer på formen
ax=b.
Rita funktionernas grafer för hand, t.ex. med hjälp av värdetabell, eller på grafräknare.
Lösningen till ekvationen 1,5x=5,0625 får man genom att läsa av x-värdet för den punkt där graferna skär varandra.
Graferna skär varandra där x=4, vilket alltså är lösningen på ekvationen. På många grafräknare finns det inbyggda verktyg för att hitta skärningspunkten.
Ekvationernas led skrivs in som funktioner på räknaren. Det görs genom att först trycka på Y= och sedan skriva in funktionsuttrycken på raderna Y1, Y2 osv. För att skriva x använder man X,T,θ,n
När funktionerna skrivits in på räknaren trycker man på GRAPH för att rita ut funktionerna i ett koordinatsystem.
För att ändra de x- och y-värden som koordinatsystemet ritas mellan kan man trycka på WINDOW, där det finns inställningar för hur koordinatsystemet ska visas.
Man kan nu använda räknaren för att hitta skärningspunkten mellan de två graferna. Verktyget som gör detta hittar man genom att först trycka på 2ND+TRACE och sedan intersect
.
När man har valt intersect
visas de graferna igen och man kan nu välja mellan vilka av dem som skärningspunkten ska bestämmas.
Nu skrivs skärningspunktens x- och y-värde ut och x är ekvationens lösning.
NLös(ekvation), där ekvationen skrivs inom parenteserna
Tryck sedan på knappen GRAPH för att rita funktionerna i ett koordinatsystem. För att ändra de x- och y-värden mellan vilka koordinatsystemet ritas, tryck på WINDOW, där inställningarna för hur koordinatsystemet visas kan justeras.
Tryck nu på 2ND+TRACE och välj intersect
för att hitta skärningspunkten mellan graferna.
Graferna visas igen. Välj vilken graf som ska vara den first curve
och den second curve
; ordningen spelar ingen roll. Tryck slutligen på ENTER.
x- och y-värdena för skärningspunkten visas. x-värdet representerar lösningen på ekvationen, vilket är ungefär 0,5.
NLös(ekvation), där ekvationen skrivs inom parentesen.
NLös(10x=3.16)
≈{x=0.49996870826184}
Lös ekvationen grafiskt med räknare och avrunda till tre decimaler.
För att lösa ekvationen på räknaren delar vi upp ekvationens led i två separata funktioner:
y=10^x och y=3* 2^x.
Nu låter vi räknaren rita upp graferna till dessa funktioner och använder intersect
för att bestämma skärningspunkten.
x-koordinaten för skärningspunkten är cirka 0,683 så x≈0,683 löser ekvationen.
Vi gör på samma sätt och skriver in ekvationens led, 0,5^x6 och 4^x, som funktioner i räknaren och ritar upp deras grafer.
x-värdet i skärningspunkten är ~ -0,862 så x≈ -0,862 är ekvationens lösning.
Lägenhetens värde ökar med 9 % varje år, så vi använder förändringsfaktorn 1,09 för att uttrycka värdeförändringen. Ett år efter inköpet är lägenheten värd 1 850 000*1,09kr. Ytterligare ett år senare är lägenheten värd 1 850 000*1.09*1.09=1 850 000*1.09^2kr. Vi kan se att exponenten ökar med 1 för varje år som går, och alltså beskriver antalet år sedan inköpet. Det vi söker är därför exponentens värde när lägenhetens värde har dubblerats, dvs. nått 3 700 000kr. Vi bestämmer det genom att kalla den okända exponenten x och ställa upp exponentialekvationen 1 850 000*1,09^x=3 700 000. Vi löser den grafiskt med räknarens intersect-verktyg.
Då ser vi att ekvationens lösning är x ≈ 8. Det tar alltså ca 8 år innan värdet på lägenheten har fördubblats.
Beskriv hur man löser en exponentiell ekvation med olika baser.
Vi kan lösa en exponentialekvation med olika baser genom att skriva om den med samma bas eller genom att rita en graf. Vi kommer att förklara båda tillvägagångssätten individuellt.
Ibland kan vi använda potenslagarna för att skriva om de ursprungliga ekvationerna så att båda sidor är potenser med en gemensam bas. Enligt Likhetsprincipen för exponentialekvationer kan vi sedan sätta exponenterna lika med varandra och lösa. Tänk till exempel på ekvationen som visas nedan. 1/2^x = 4 Vi kan använda definitionen av en negativ exponent för att skriva om vänsterledet som 2^(- x), och eftersom 4= 2^2 kan vi skriva båda sidor som en potens med en gemensam bas på 2. 1/2^x = 4 ⇔ 2^(- x) = 2^2 Eftersom båda potenserna är lika och har samma bas, måste deras exponenter också vara lika. Detta gör att vi kan lösa ut x. 2^(- x) = 2^2 ⇔ - x = 2 Från ekvationen ovan kan vi dra slutsatsen att lösningen för vår ursprungliga ekvation är x =- 2.
Ibland är det inte möjligt att skriva om exponentialekvationen med en gemensam bas. I dessa fall kan vi fortfarande lösa ekvationen genom att rita en graf. För att göra detta måste vi rita graferna för båda sidor av ekvationen tillsammans. x-koordinaten för skärningspunkten är lösningen på ekvationen. Tänk på exemplet som visas nedan. 3(2)^x=3^x Observera först att det inte är möjligt att skriva om denna ekvation med två potenser med en gemensam bas. Låt oss rita graferna för exponentialfunktionerna från båda sidor tillsammans.
Från grafen ovan kan vi approximera lösningen, x ≈ 2,7.
Vi har fått ekvationen y=192(4^(x-3)), där y representerar mängden bakterier och x representerar timmar. Vi vill ta reda på vid vilken tidpunkt det finns 200 000 bakterier, så vi ersätter y med 200 000 och löser ut x. Nu kör vi! 200 000=192(4^(x-3)) Det kommer att vara svårt att hitta likadana baser för den här ekvationen, så vi löser den genom att rita en graf. Vi skriver vår ekvation som ett ekvationssystem i vår räknare genom att trycka på knappen Y= och skriva in funktionerna på raderna.
Ändra storlek på fönstret genom att trycka på WINDOW och ändra inställningarna.
För att hitta skärningspunkten trycker du på 2nd och CALC och väljer det femte alternativet, skärning.
Välj den första och andra kurvan och välj en bästa gissning för skärningspunkten.
Som vi kan se längst ner i graffönstret har ekvationen en lösning när x är ungefär 8,01. Det kommer att finnas 200 000 bakterier efter 8,01 timmar.
Du sätter in 500 kronor på ett sparkonto som ger 6% årlig ränta som kapitaliseras årligen. Skriv och lös en exponentiell ekvation för att bestämma när saldot på kontot kommer att vara 800 kronor.
Vår startinsättning är 500 kronor, och varje år får vi 6 % av det tidigare värdet. Låt oss skapa en ekvation där y representerar mängden pengar på kontot och t representerar år. Eftersom beloppet på kontot ökar med samma faktor varje år, kommer vi att använda den allmänna formen för en exponentiell tillväxtfunktion. y=a(1+r)^t Under det 0^e året ska det finnas 500 kronor på kontot. Detta säger oss att när t=0, y=500. 500=a(1+r)^0 ⇒ 500=a Låt oss ersätta detta med a-värdet i vår ekvation. y=500(1+r)^x Varje år får kontot 6 %. Detta kan skrivas om som 0,06. I vår exponentiella tillväxtfunktion representerar r tillväxttakten, så vi kommer att ersätta 0,06 med r. y=500(1+0,06)^x ⇒ y=500(1,06)^x
Nu när vi har vår ekvation kan vi hitta när saldot kommer att vara 800 kronor. Vi kommer att ersätta 800 med y och lösa för x. 800=500(1,06)^x Det kommer att vara svårt att hitta liknande baser för denna ekvation, så vi kommer att lösa detta genom att rita. Vi kommer att skriva vår ekvation som ett ekvationssystem i vår räknare genom att trycka på Y= knappen och skriva in funktionerna i raderna.
Ändra storlek på fönstret genom att trycka på WINDOW och ändra inställningarna.
För att hitta skärningspunkten, tryck på 2nd och CALC och välj det femte alternativet, skärningspunkt.
Välj den första och andra kurvan och välj en bästa gissning för skärningspunkten.
Som vi kan se längst ner i graffönstret har ekvationen en lösning när x är ungefär 8,09. Det kommer att finnas 800 kronor efter 8,09 år.
Grafen visar det årliga deltagandet vid två olika evenemang. Varje evenemang började år 2004.
Uppskatta när evenemangen kommer att ha ungefär samma deltagande.
Förklara hur du kan verifiera ditt svar i Del A.
För att hitta när evenemangen kommer att ha samma antal besökare, vill vi hitta x-värdet när de två funktionerna korsar varandra.
Vi kan se att funktionerna kommer att korsa varandra runt x=3. Observera att år 0 motsvarar 2004. Detta säger oss att x=3 egentligen är år 2007, så ungefär år 2007 bör antalet besökare vara lika.
Vi kan verifiera detta genom att kontrollera om funktionerna faktiskt är lika vid x=3. Eftersom vi får ekvationerna kommer vi att sätta in x=3 i ekvationerna och se om de är lika.
Vi kan se att även om x=3 inte är det exakta svaret, är det verkligen en mycket nära approximation.
Approximera lösningen av ekvationen 1−55−x=−9 med hjälp av följande graf.
Approximera lösningen av ekvationen log25x=2 med hjälp av följande graf.
Lösningen till ekvationen är x-värdet där de två graferna skär varandra.
Från diagrammet ser vi att graferna skär varandra vid x≈ 3,5. Detta är vår bästa gissning. Om vi begränsar diagrammets x-axel runt skärningspunkten kan vi få en bättre approximation.
Låt oss återigen identifiera x-värdet för den punkt där graferna skär varandra.
Från diagrammet ser vi att graferna skär varandra vid x≈ 0,8. Detta är vår bästa gissning. Om vi begränsar diagrammets x-axel runt skärningspunkten kan vi få en bättre approximation.
En population av bakterier i en kultur ökar enligt modellen p=300(2,7)0,02t, där t är antalet timmar och t=0 motsvarar 9:00 AM.
Grafikfunktionen och namnge p-skärningen. Beskriv vad p-skärningen representerar, och beskriv ett rimligt intervall och värdemängd för denna situation.
Funktionen p modellerar tillväxten av en bakteriepopulation. p=300(2,7)^(0,02 t) Här är t antalet timmar. Eftersom t=0 motsvarar 9:00, är den förflutna tiden 2 timmar fram till 11:00. Därför måste vi sätta in 2 för t i funktionen.
Antalet bakterier är ungefär 312 klockan 11:00.
Låt oss se hur grafen ser ut i grafräknaren.
Vi ser att p-skärningen är 300. Det representerar antalet bakterier i kulturen vid t=0, eller 9 A.M. Eftersom t representerar tid, är en rimlig definitionsmängd alla icke-negativa reella tal. Vid t=0, är antalet bakterier 300, så en rimlig värdemängd är alla reella tal större än eller lika med 300. Definitionsmängd:& {t | t≥ 0 } Värdemängd:& {y | y ≥ 300 }
För att rita p=300(2,7)^(0,02* t), måste vi ändra variablerna. p=300(2,7)^(0,02 t) ⇔ y=300(2,7)^(0,02 x) Tryck på knappen Y= och ange ekvationen i den första raden.
Tryck på GRAPH och räknaren kommer att rita ekvationerna. För att denna funktion ska vara synlig på skärmen, ändra storlek på standardfönstret genom att trycka på knappen WINDOW. Ändra inställningarna till en mer lämplig storlek och tryck sedan på GRAPH.
För att hitta y-skärningen kan vi använda spårningsfunktionen för att hitta värdet på funktionen vid x=0. Detta kan göras genom att trycka på 2nd, TRACE, och välja alternativet värde
. Slutligen, ange 0 och det ger dig y-skärningen.
Eftersom y och p representerar samma sak, är p-skärningen 300.
Rita funktionerna y=x2 och y=2x på samma axlar.
Vad lägger du märke till om graferna för värdena av x mellan 1 och 3?
Hur tror du att grafen av y=8x skulle jämföras med graferna av y=x2 och y=2x?
Vi kommer att rita graferna för funktionerna med hjälp av en grafräknare. Vi kan göra detta genom att trycka på knappen Y= och skriva in ekvationerna på de två första raderna.
Efter att ha skrivit funktionerna kan vi trycka på GRAPH för att rita dem.
Låt oss ändra fönsterinställningarna till ett mycket mindre fönster. Vi kan göra detta genom att trycka på WINDOW. Tryck sedan på GRAPH en gång till för att rita funktionerna med dessa nya inställningar.
Vi ser att exponentialfunktionen är större från 1 till 2, och den kvadratiska funktionen är större från 2 till 3. Funktionerna är lika vid x=2.
Vi kan kontrollera dessa med hjälp av räknaren. Genom att trycka på 2nd och sedan GRAPH får vi en tabell med värden för heltalen x.
Från tabellen ser vi att funktionerna har samma värde när x=2.
Grafen för funktionen y=8^x växer snabbare än de andra eftersom vi varje gång multiplicerar med 8. Vi multiplicerar dock med 2 varje gång för funktionen y=2^x, och vi multiplicerar ett tal med sig självt för den kvadratiska funktionen.
Du investerar 100 kronor och förväntar dig att dina pengar växer 8% varje år. Ungefär hur många år kommer det att ta för din investering att fördubblas?
Vi kommer först att hitta funktionen som modellerar situationen. För att hitta svaret kommer vi att använda två metoder.
Vi vet att en investering på 100 kronor förväntas växa 8 % varje år. Investeringens tillväxt kan modelleras med en exponentiell tillväxtfunktion. I(t)= a* (1+ r)^t Här är a kapitalbeloppet och r är den procentuella förändringstakten. Med funktionen kan vi hitta värdet I(t) på vår investering efter t år. Eftersom kapitalbeloppet är $ 100 och den procentuella förändringstakten är 8 %, kan vi skriva funktionen. I(t)= 100* (1+ 0,08)^t ⇔ I(t)=100* (1,08)^t
Vi vill ta reda på när investeringen fördubblas. För att hitta det kommer vi att göra en tabell över funktionen I(t)=100* (1,08)^t. När vi hittar ett värde som är större än 200, två gånger kapitalbeloppet, kommer vi att sluta.
t | 100* (1,08)^t | I(t)=100* (1,08)^t |
---|---|---|
0 | 100* (1,08)^0 | 100 |
3 | 100* (1,08)^3 | ≈ 126 |
6 | 100* (1,08)^6 | ≈ 159 |
9 | 100* (1,08)^9 | ≈ 200 |
12 | 100* (1,08)^(12) | ≈ 252 |
Vi ser att när t=9, är värdet på investeringen ungefär 200. Därför tar det ungefär 9 år för investeringen att fördubblas.
Vi kan också hitta den ungefärliga tiden genom att använda grafen för funktionen. När investeringen fördubblas kommer den att vara 200 kronor. Därför måste vi rita linjen I(t)=200 samt grafen för funktionen.
Vi ser att graferna skär varandra vid ungefär t=9. Därför är den ungefärliga tiden 9 år.
Vi kan använda de punkter vi hittade i tabellen ovan. Låt oss plotta och ansluta punkterna ( 0;100), ( 3;126), ( 6;159), ( 9;200), och ( 12;252) med en jämn kurva.