Grafer och Funktioner: Olika Typer av Funktioner och Deras Grafer

$x$	$y$
$0$	$0$
$1$	$3$
$2$	$6$
$3$	$9$
$4$	$12$
$5$	$15$

x

y

0

0

1

3

2

6

3

9

4

12

5

15

$x$	$y$	Punkt
$- 2$	$3$	$(- 2, 3)$
$- 1$	$0$	$(- 1, 0)$
$0$	$- 1$	$(0, - 1)$
$1$	$0$	$(1, 0)$
$2$	$3$	$(2, 3)$

x

y

Punkt

- 2

3

(- 2, 3)

- 1

0

(- 1, 0)

0

- 1

(0, - 1)

1

0

(1, 0)

2

3

(2, 3)

$x$	$x^{2} - 1$	$y$	Punkt
$- 2$	$(- 2)^{2} - 1$	$3$	$(- 2, 3)$
$- 1$	$(- 1)^{2} - 1$	$0$	$(- 1, 0)$
$0$	$0^{2} - 1$	$- 1$	$(0, - 1)$
$1$	$1^{2} - 1$	$0$	$(1, 0)$
$2$	$2^{2} - 1$	$3$	$(2, 3)$

x

x^{2} - 1

y

Punkt

- 2

(- 2)^{2} - 1

3

(- 2, 3)

- 1

(- 1)^{2} - 1

0

(- 1, 0)

0

0^{2} - 1

- 1

(0, - 1)

1

1^{2} - 1

0

(1, 0)

2

2^{2} - 1

3

(2, 3)

$x$	$y$
$0$	$0$
$1$	$3$
$2$	$6$
$3$	$9$
$4$	$12$
$5$	$15$

x

y

0

0

1

3

2

6

3

9

4

12

5

15

$x$	$x^{2} - 1$	$y$	Punkt
$- 2$	$(- 2)^{2} - 1$	3	$(- 2, 3)$
$- 1$	$(- 1)^{2} - 1$	0	$(- 1, 0)$
$0$	$0^{2} - 1$	$- 1$	$(0, - 1)$
$1$	$1^{2} - 1$	0	$(1, 0)$
$2$	$2^{2} - 1$	3	$(2, 3)$

x

x^{2} - 1

y

Punkt

- 2

(- 2)^{2} - 1

(- 2, 3)

- 1

(- 1)^{2} - 1

(- 1, 0)

0

0^{2} - 1

- 1

(0, - 1)

1

1^{2} - 1

(1, 0)

2

2^{2} - 1

(2, 3)

Vilka av följande punkter ligger på linjen till $y = - 2 x + 5 ?$

A B C D E F G H (0, 0) (3, 8) (- 1, 7) (2, 1) (0, 5) (4, 0) (- 2, 9) (1, 3)

Kontrollera din lösning genom att skapa en värdetabell på räknare.

Varje punkt (x,y) består av en x-koordinat och en y-koordinat. Om y=f(x) är en funktion av x, så kommer därför alla punkter som ligger på grafen till funktionen att vara på formen (x,f(x)). Här är funktionen den räta linjen y=-2x+5. Vi kan alltså undersöka huruvida punkterna ligger på linjen genom att sätta in x-koordinaten i funktionen och se om y-koordinaten blir densamma som i punkten. De x-koordinater som finns är: x=-2, x=-1, x=0, x=1, x=2, x=3 och x=4. Vi skapar en värdetabell genom att sätta in dessa en efter en i funktionen och beräknar y. Kom ihåg att när man multiplicerar två negativa tal får man ett positivt tal.

x	- 2x+5	y
- 2	- 2( - 2)+5	9
- 1	- 2 ( - 1)+5	7
0	- 2 * 0+5	5
1	- 2 * 1+5	3
2	-2 * 2+5	1
3	-2 * 3+5	-1
4	-2 * 4+5	-3

Värdetabellen blir alltså som nedan.

x	y
-2	9
-1	7
0	5
1	3
2	1
3	-1
4	-3

Av alternativen är det alltså endast punkterna C, D, E, G och H som ligger på linjen.

Kontroll av värdetabell på räknare

Tryck på knappen Y= för att skriva in funktionen y=-2x+5 som vi vill skapa en värdetabell för.

Innan vi genererar värdetabellen behöver vi ange vilka x-värden som ska vara med i tabellen. y-värdena beräknas sedan utifrån dessa x-värden. Vi trycker då på TBLSET (2nd + WINDOW) och anger x-värdet -2 som startvärde (TblStart) samt avståndet 1 (ΔTbl), vilket säger att avståndet mellan varje x-värde vara 1.

Nu trycker vi på TABLE (2nd + GRAPH) för att generera värdetabellen.

Även om denna tabell visar två extra x- och y-värden ser vi att de värden vi beräknade fram är korrekta.

Du har funktionen

y = 5 x^{2} - 7 .

Vilka av följande punkter ligger på dess graf? Lös uppgiften genom att ställa upp en värdetabell.

A B C D E F (0, - 7) (- 1, 4) (1, - 2) (3, 38) (4, 15) (2, 13)

En värdetabell visar koordinaterna för ett antal punkter som grafen till en funktion går genom. Vi vet vilka x-värden som ska ingå i värdetabellen och genom att sätta in dessa i funktionen kan vi beräkna motsvarande y-värden.

x	5x^2-7	y
0	5* 0^2-7	-7
1	5* 1^2-7	-2
2	5* 2^2-7	13
3	5* 3^2-7	38

Själva värdetabellen består bara av x- och y-kolumnerna.

x	y
0	- 7
1	-2
2	13
3	38

Det är alltså punkterna A, C, D och F som ligger på grafen.

Skissa för hand grafen till den funktion som beskrivs av värdetabellen.

$x$	$y$
$- 4$	$0$
$- 2$	$1$
$0$	$2$
$2$	$3$

Från värdetabellen kan vi avläsa punkterna (-4,0), (-2,1), (0,2) och (2,3). Vi markerar dessa i ett koordinatsystem.

Till sist skissar vi grafen genom att sammanbinda punkterna.

Skapa en värdetabell för värdena $x = - 5, - 3, 0, 3, 5$ för funktionen som visas i koordinatsystemet.

En värdetabell visar koordinaterna för ett antal punkter som grafen till en funktion går genom. Vi känner till x-koordinaterna för de punkter som ska ingå och kan börja med att skriva dem som vänsterkolumnen i en tabell.

x	y
-5
-3
0
3
5

Motsvarande y-koordinater läser vi av i koordinatsystemet. Vi kan t.ex. se att x=-5 motsvarar y=5.

Vi gör på samma sätt för övriga x-värden och fyller successivt i y-kolumnen för att få en komplett värdetabell.

x	y
-5	5
-3	3
0	0
3	3
5	5

Skissa grafen till funktionen

y = 2 x^{2} - 4

genom att göra en värdetabell.

Vi sätter in några valfria x-värden i funktionen och beräknar motsvarande y-värden. För att inte missa intressant information väljer vi både negativa och positiva x. Vi redovisar allt i en värdetabell.

x	2x^2+4	y	Punkt
-2	2*( -2)^2-4	4	(-2,4)
-1	2*( -1)^2-4	-2	(-1,-2)
0	2* 0^2-4	-4	(0,-4)
1	2* 1^2-4	-2	(1,-2)
2	2* 2^2-4	4	(2,4)

Nu ritar vi ett koordinatsystem och prickar in punkterna från tabellen.

Till sist sammanbinder vi punkterna med en kurva.

I koordinatsystemet visas graferna till två linjära funktioner och två andragradsfunktioner.

Fyra olika grafer inritade i ett koordinatsystem, där två är parabler och två räta linjer.

Para ihop graferna med rätt funktion.

f (x) = 2 x^{2} + 4 x + 1 g (x) = - x^{2} + 7 x - 10 h (x) = 2 x - 1 p (x) = 0.5 x - 1

Vi ser att A och C är räta linjer, och alltså måste höra ihop med h(x) och p(x). Vi kollar på k-värdet för att skilja dem åt. Linje C har brantast lutning, vilket motsvarar ett högre k-värde, så &Ahör ihop medp(x)och &Chör ihop medh(x). För att avgöra hur B och D ska paras ihop med f(x) och g(x) kan vi kolla på x^2-termernas tecken. Vi ser att den är positiv för f(x), vilket betyder att grafen ser ut som en glad mun, så Bhör ihop medf(x).

Funktionen g(x) har istället en negativ x^2-term, så Dhör ihop medg(x).

Figuren visar graferna till två olika andragradsfunktioner på formen $y = a x^{2} + c .$

Bestäm funktionsuttrycket för

f (x) .

Bestäm funktionsuttrycket för

g (x) .

En andragradsfunktion skrivs generellt på formen y=ax^2+bx+c, men vi får veta att våra funktioner är på formen y=ax^2+c. Värdet på konstanttermen c innebär dock fortfarande samma sak, dvs. där grafen skär y-axeln. För den blå grafen f(x) är därför c=2 och för g(x) är c=- 1.

Eftersom c=2 vet vi redan att funktionsuttrycket kommer se ut så här: f(x)=ax^2+2. Vi kan även avgöra att a ska vara positivt eftersom vi har en "glad" graf. Men för att bestämma det exakta värde på a använder vi metoden för att hitta funktionsuttrycket utifrån graf. Vi har alltså en okänd konstant, a, så vi behöver avläsa en punkt på grafen, t.ex. punkten (1,4).

Punkten (1,4) innebär att då x=1 är y=4. Vi sätter in detta i funktionsuttrycket.

Nu vet vi även att a=2. Det ger oss funktionsuttrycket f(x)=2x^2+2.

Tidigare kom vi fram till att c=-1 för g(x). Den röda grafen skrivs på formen: g(x)=ax^2-1. För att bestämma a läser vi av en punkt på samma sätt som i förra deluppgiften.

Vi sätter in punkten (2,-3) i funktionsuttrycket.

Nu vet vi även att a=- 0.5. Funktionsuttrycket är alltså g(x)=-0.5x^2-1.

Figuren visar graferna till två olika exponentialfunktioner, $C \cdot a^{x} .$

Bestäm funktionsuttrycket för

f (x) .

Bestäm funktionsuttrycket för

g (x)

En exponentialfunktion skrivs på formen y=C * a^x, där C är startvärdet, dvs. där grafen skär y-axeln. För den blå grafen f(x) är därför C=4 och för g(x) är C=16.

Vi använder metoden för att bestämma en funktion utifrån dess graf. Eftersom startvärdet är C=4 måste uttrycket vara på formen f(x)=4 * a^x, där vi saknar förändringsfaktorn a. Vi har alltså en okänd konstant, och enligt metoden behöver vi då en punkt. Vi läser av t.ex. punkten (1,6).

Punkten (1,6) innebär att då x=1 är y=6. Vi sätter in detta i funktionsuttrycket.

Nu vet vi även att a=1.5. Det ger oss funktionsuttrycket f(x)=4 * 1.5^x.

Vi använder metoden för att bestämma en funktion utifrån dess graf igen. I föregående deluppgift kom vi fram till att C=16 för g(x), vilket betyder att den röda grafen skrivs på formen: g(x)=16 * a^x. För att bestämma a läser vi av en punkt på samma sätt som i förra deluppgiften.

Vi sätter Punkten (1,12) i funktionsuttrycket.

Nu vet vi även att a=0.75. Funktionsuttrycket är alltså g(x)=16 * 0.75^x.

Beskriva funktioner

Funktionsuttryck

Värdetabell

Graf

Värdetabell på räknare

Skissa grafen

Svar

Ledtråd

Lösning

Grafisk lösning

Lösa ekvation grafiskt med räknare

Lös ekvationen grafiskt

Ledtråd

Lösning

Lös olikheten grafiskt

Ledtråd

Lösning

Funktionsuttryck

Graf

Värdetabell

Värdetabell på räknare

Exempel

Skissa grafen

Bestäm funktion utifrån graf

Exempel

Bestäm funktionen med hjälp av grafen

Kontroll av värdetabell på räknare

Beskriva funktioner

Rekommenderade uppgifter

	8 sidor teori
	19 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.