Beskriva funktioner

Några vanliga sätt att representera funktioner är funktionsuttryck (formler), värdetabeller och grafer. Vad man använder beror på vilka egenskaper hos funktionen man är intresserad av.

Begrepp

Funktionsuttryck

Ett funktionsuttryck är ett sätt att beskriva en funktion. Det anger en omvandlingsregel eller formel som talar om hur funktionsvärdet beror av olika $x$ -värden. Exempelvis är $y=x+3$

ett funktionsuttryck som med ord kan beskrivas "addera 3 till

x

-värdet."

Begrepp

Graf

En graf är ett sätt att beskriva en funktion i ett koordinatsystem. Grafen byggs upp av en mängd punkter som illustrerar funktionen.

Grafen i sig visar inte själva funktionsuttrycket vilket är en begränsning. Däremot ger grafen en större överblick av funktionen än formeln då man ser flera par av

x

- och

y

-värden samtidigt.

Begrepp

Värdetabell

Värdetabeller används för att sammanställa utvalda $x$ - och $y$ -värden för en funktion. Från en sådan tabell kan man markera punkter i ett koordinatsystem och på så sätt få en uppfattning om grafens utseende. Man kan t.ex. skapa en värdetabell för funktionen $y=x-1$ med några valda värden på $x.$ Motsvarande $y$ -värden bestäms genom att man sätter in respektive $x$ -värde i formeln.

$x$	$y$
$0$	$\text{-}1$
$1$	$0$
$2$	$1$
$3$	$2$

Genom att binda samman punkterna får man funktionens graf.

Värdetabell på räknare

Räknaren har ett inbyggt verktyg för att generera en värdetabell utifrån ett funktionsuttryck. Det kan vara tidsbesparande eftersom det krävs många beräkningar att göra det för hand. Precis som när man ritar en graf på räknaren börjar man med att trycka på Y= och skriva in funktionsuttrycket.

Därefter trycker man på TABLE (2nd + GRAPH). Då genereras automatiskt en värdetabell för några olika $x$ -värden. Har man skrivit in ett annat funktionsuttryck på Y $_2$ kommer $y$ -värdena för den funktionen att visas i kolumnen längst till höger.

Om man vill ändra de $x$ -värden som syns i tabellen trycker man på TBLSET (2nd + WINDOW). Där kan man ange vilket $x$ -värde tabellen ska börja på (TblStart) och hur stort avståndet ska vara mellan värdena ( $\Delta$ Tbl). Avståndet anger skillnaden mellan varje $x$ -värde.

Genom att trycka på TABLE igen uppdateras tabellen.

Skissa grafen

Uppgift

Skissa grafen till funktionen $y=x^2-1$ genom att göra en värdetabell.

Lösning

För att göra en värdetabell sätter vi in några valfria $x$ -värden och beräknar motsvarande funktionsvärden. För att inte missa intressant information väljer vi några negativa och några positiva $x$ -värden.

$x$	$x^2-1$	$y$	Punkt
${\color{#0000FF}{\text{-}2}}$	$({\color{#0000FF}{\text{-}2}})^2-1$	3	$(\text{-}2,3)$
${\color{#0000FF}{\text{-}1}}$	$({\color{#0000FF}{\text{-}1}})^2-1$	0	$(\text{-}1,0)$
${\color{#0000FF}{0}}$	${\color{#0000FF}{0}}^2-1$	$\text{-}1$	$(0,\text{-}1)$
${\color{#0000FF}{1}}$	${\color{#0000FF}{1}}^2-1$	0	$(1,0)$
${\color{#0000FF}{2}}$	${\color{#0000FF}{2}}^2-1$	3	$(2,3)$

Nu ritar vi upp ett koordinatsystem och prickar in punkterna vi tog fram i tabellen.

Till sist sammanbinder vi punkterna med en kurva.

Visa lösning

Metod

Bestäm funktion utifrån graf

För att bestämma en funktion utifrån en graf måste man först veta vilken typ av funktion det är. I koordinatsystemet har grafen till en exponentialfunktion ritats.

För att bestämma funktionsuttrycket behöver man minst lika många punkter som antalet konstanter i funktionens allmänna form.

1

Bestäm antalet okända konstanter

Grafen beskriver en exponentialfunktion, vilket betyder att den allmänna formen är $y=C\cdot a^x.$ Antalet okända konstanter är två stycken: startvärdet $C$ och förändringsfaktorn $a.$

2

Läs av lika många punkter på grafen

Det finns två okända konstanter och därför behövs två olika punkter för att bestämma dessa värden.

Grafen går exempelvis igenom $(1,1),$ och $(2,3)$ .

3

Sätt in punkterna i funktionen

Punkterna sätts in i funktionen och man får då två ekvationer: $1=C\cdot a^{1} \quad \text{och} \quad 3=C\cdot a^{2}.$

4

Ställ upp ett ekvationssystem och lös det

Eftersom det finns två okända variabler och två ekvationer kan man ställa upp ett ekvationssystem. $\begin{cases}1=C\cdot a^{1} \\ 3=C\cdot a^{2} \end{cases}$ Nu kan man använda substitutionsmetoden för att bestämma de okända konstanterna.

\begin{cases}1=C\cdot a^{1} & \, \text {(I)}\\ 3=C\cdot a^{2} & \text {(II)}\end{cases}

{\color{#8C8C8C}{\text{(I): }}}

Förenkla potens

\begin{cases}1=C\cdot a \\ 3=C\cdot a^{2} \end{cases}

{\color{#8C8C8C}{\text{(I): }}}

\left.\text{VL}\middle/a\right.=\left.\text{HL}\middle/a\right.

\begin{cases}\frac{1}{a}=C \\ 3=C\cdot a^{2} \end{cases}

{\color{#8C8C8C}{\text{(I): }}}

Omarrangera ekvation

\begin{cases}C=\frac{1}{a} \\ 3=C\cdot a^{2} \end{cases}

{\color{#8C8C8C}{\text{(II): }}}

C={\color{#0000FF}{\dfrac{1}{a}}}

\begin{cases}C=\frac{1}{a} \\ 3={\color{#0000FF}{\frac{1}{a}}}\cdot a^{2} \end{cases}

{\color{#8C8C8C}{\text{(II): }}}

Multiplicera faktorer

\begin{cases}C=\frac{1}{a} \\ 3=\frac{a^2}{a} \end{cases}

{\color{#8C8C8C}{\text{(II): }}}

Förenkla kvot

\begin{cases}C=\frac{1}{a} \\ 3=a \end{cases}

{\color{#8C8C8C}{\text{(II): }}}

Omarrangera ekvation

\begin{cases}C=\frac{1}{a} \\ a=3 \end{cases}

{\color{#8C8C8C}{\text{(I): }}}

a={\color{#0000FF}{3}}

\begin{cases}C=\frac{1}{{\color{#0000FF}{3}}} \\ a=3 \end{cases}

5

Sätt in konstanterna

Till sist sätts värdena för konstanterna in i funktionsuttrycket. $y=C\cdot a^x\quad\Rightarrow\quad y=\dfrac{1}{3}\cdot 3^x$

Bestäm funktionen med hjälp av grafen

Uppgift

Vilken andragradsfunktion beskriver grafen?

Lösning

Den allmänna formen för en andragradsfunktion är $y=ax^2+bx+c,$ där $a,$ $b,$ och $c$ är reella konstanter. Konstanten $c$ kan vi bestämma direkt eftersom det är $y$ -värdet där grafen skär $y$ -axeln.

Vi ser att $y$ -värdet är 4 så $c=4,$ vilket ger $y=ax^2+bx+4.$ Det finns nu två okända konstanter kvar, så vi behöver ytterligare två punkter för att bestämma dem. Vi väljer två där $x$ - och $y$ -koordinaterna är lätta att läsa av.

Två punkter på kurvan är $(2,8)$ och $(6,4),$ och sätter vi in dessa i funktionsuttrycket bildas två ekvationer. Punkten $(2,8)$ betyder att när man sätter in $x=2$ är $y=8.$ Det ger ekvationen $a\cdot 2^2+b\cdot2+4=8.$ På samma sätt får man ekvationen $a\cdot 6^2+b\cdot6+4=4$ genom att sätta in den andra punktens koordinater. Dessa två ekvationer bildar ett ekvationssystem som man kan lösa med exempelvis additionsmetoden.

\begin{cases}a\cdot 2^2+b\cdot2+4=8 & \, \text {(I)}\\ a\cdot 6^2+b\cdot6+4=4 & \text {(II)}\end{cases}

Beräkna potens & produkt

\begin{cases}4a+2b+4=8 \\ 36a+6b+4=4 \end{cases}

{\color{#8C8C8C}{\text{(I): }}}

\text{VL} \cdot (\text{-}3)=\text{HL}\cdot (\text{-}3)

\begin{cases}\text{-}12 a-6b-12=\text{-}24 \\ 36a+6b+4=4 \end{cases}

{\color{#8C8C8C}{\text{(I): }}}

Addera

{\color{#0000FF}{\text{(II)}}}

\begin{cases}\text{-}12 a-6b-12+{\color{#0000FF}{36a+6b+4}}=\text{-}24+{\color{#0000FF}{4}} \\ 36a+6b+4=4 \end{cases}

{\color{#8C8C8C}{\text{(I): }}}

Förenkla termer

\begin{cases}24a-8= \text{-}20 \\ 36a+6b+4=4 \end{cases}

{\color{#8C8C8C}{\text{(I): }}}

\text{VL}+8=\text{HL}+8

\begin{cases}24a= \text{-}12 \\ 36a+6b+4=4 \end{cases}

{\color{#8C8C8C}{\text{(I): }}}

\left.\text{VL}\middle/24\right.=\left.\text{HL}\middle/24\right.

\begin{cases}a= \text{-}0.5 \\ 36a+6b+4=4 \end{cases}

Nu sätter vi in värdet på $a$ i den andra ekvationen.

\begin{cases}a= \text{-}0.5 \\ 36a+6b+4=4 \end{cases}

{\color{#8C8C8C}{\text{(II): }}}

a={\color{#0000FF}{\text{-}0.5}}

\begin{cases}a= \text{-}0.5 \\ 36({\color{#0000FF}{\text{-}0.5}})+6b+4=4 \end{cases}

{\color{#8C8C8C}{\text{(II): }}}

a(\text{-} b)=\text{-} a \cdot b

\begin{cases}a= \text{-}0.5 \\ \text{-}18+6b+4=4 \end{cases}

{\color{#8C8C8C}{\text{(II): }}}

Förenkla termer

\begin{cases}a= \text{-}0.5 \\ \text{-}14+6b=4 \end{cases}

{\color{#8C8C8C}{\text{(II): }}}

\text{VL}+14=\text{HL}+14

\begin{cases}a= \text{-}0.5 \\ 6b=18 \end{cases}

{\color{#8C8C8C}{\text{(II): }}}

\left.\text{VL}\middle/6\right.=\left.\text{HL}\middle/6\right.

\begin{cases}a= \text{-}0.5 \\ b=3 \end{cases}

$a$ är $\text{-}0.5$ och $b$ är 3. Sedan tidigare vet vi också att $c=4.$ Detta ger funktionen $y=\text{-}0.5 x^2+3x+4.$

Visa lösning

$x$	$f(x)$	$g(x)$
1	0	1.5
3	2	2.5
5	4	3.5
7	6	4.5

Beskriva funktioner

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Funktionsuttryck

Graf

Värdetabell

Digitala verktyg

Exempel

Skissa grafen

Bestäm funktion utifrån graf

1

2

3

4

5

Exempel

Bestäm funktionen med hjälp av grafen

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

Icke-linjära funktioner

Digitala verktyg

Exempel

Skissa grafen

1

2

3

4

5

Exempel

Bestäm funktionen med hjälp av grafen

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}