Beskriva funktioner

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Några vanliga sätt att representera funktioner är funktionsuttryck (formler), värdetabeller och grafer. Vad man använder beror på vilka egenskaper hos funktionen man är intresserad av.
Begrepp

Funktionsuttryck

Ett funktionsuttryck är ett sätt att beskriva en funktion. Det anger en omvandlingsregel eller formel som talar om hur funktionsvärdet beror av olika xx-värden. Exempelvis är y=x+3 y=x+3

ett funktionsuttryck som med ord kan beskrivas "addera 3 till xx-värdet."
Begrepp

Graf

En graf är ett sätt att beskriva en funktion i ett koordinatsystem. Grafen byggs upp av en mängd punkter som illustrerar funktionen.

Grafen i sig visar inte själva funktionsuttrycket vilket är en begränsning. Däremot ger grafen en större överblick av funktionen än formeln då man ser flera par av xx- och yy-värden samtidigt.
Begrepp

Värdetabell

Värdetabeller används för att sammanställa utvalda xx- och yy-värden för en funktion. Från en sådan tabell kan man markera punkter i ett koordinatsystem och på så sätt få en uppfattning om grafens utseende. Man kan t.ex. skapa en värdetabell för funktionen y=x1y=x-1 med några valda värden på x.x. Motsvarande yy-värden bestäms genom att man sätter in respektive xx-värde i formeln.

xx yy
00 -1\text{-}1
11 00
22 11
33 22

Genom att binda samman punkterna får man funktionens graf.

Räknaren har ett inbyggt verktyg för att generera en värdetabell utifrån ett funktionsuttryck. Det kan vara tidsbesparande eftersom det krävs många beräkningar att göra det för hand. Precis som när man ritar en graf på räknaren börjar man med att trycka på Y= och skriva in funktionsuttrycket.

TI-Meny med funktioner

Därefter trycker man på TABLE (2nd + GRAPH). Då genereras automatiskt en värdetabell för några olika xx-värden. Har man skrivit in ett annat funktionsuttryck på Y2_2 kommer yy-värdena för den funktionen att visas i kolumnen längst till höger.

Om man vill ändra de xx-värden som syns i tabellen trycker man på TBLSET (2nd + WINDOW). Där kan man ange vilket xx-värde tabellen ska börja på (TblStart) och hur stort avståndet ska vara mellan värdena (Δ\DeltaTbl). Avståndet anger skillnaden mellan varje xx-värde.

TI-Meny med TBLSET

Genom att trycka på TABLE igen uppdateras tabellen.

Uppgift

Skissa grafen till funktionen y=x21 y=x^2-1 genom att göra en värdetabell.

Lösning

För att göra en värdetabell sätter vi in några valfria xx-värden och beräknar motsvarande funktionsvärden. För att inte missa intressant information väljer vi några negativa och några positiva xx-värden.

xx x21x^2-1 yy Punkt
-2 {\color{#0000FF}{\text{-}2}} (-2)21({\color{#0000FF}{\text{-}2}})^2-1 3 (-2,3)(\text{-}2,3)
-1{\color{#0000FF}{\text{-}1}} (-1)21({\color{#0000FF}{\text{-}1}})^2-1 0 (-1,0)(\text{-}1,0)
0{\color{#0000FF}{0}} 021{\color{#0000FF}{0}}^2-1 -1\text{-}1 (0,-1)(0,\text{-}1)
1 {\color{#0000FF}{1}} 121{\color{#0000FF}{1}}^2-1 0 (1,0)(1,0)
2 {\color{#0000FF}{2}} 221{\color{#0000FF}{2}}^2-1 3 (2,3)(2,3)

Nu ritar vi upp ett koordinatsystem och prickar in punkterna vi tog fram i tabellen.

Till sist sammanbinder vi punkterna med en kurva.

Visa lösning Visa lösning
Metod

Bestäm funktion utifrån graf

För att bestämma en funktion utifrån en graf måste man först veta vilken typ av funktion det är. I koordinatsystemet har grafen till en exponentialfunktion ritats.

För att bestämma funktionsuttrycket behöver man minst lika många punkter som antalet konstanter i funktionens allmänna form.

1

Bestäm antalet okända konstanter

Grafen beskriver en exponentialfunktion, vilket betyder att den allmänna formen är y=Cax. y=C\cdot a^x. Antalet okända konstanter är två stycken: startvärdet CC och förändringsfaktorn a.a.

2

Läs av lika många punkter på grafen

Det finns två okända konstanter och därför behövs två olika punkter för att bestämma dessa värden.

Grafen går exempelvis igenom (1,1),(1,1), och (2,3)(2,3).

3

Sätt in punkterna i funktionen

Punkterna sätts in i funktionen och man får då två ekvationer: 1=Ca1och3=Ca2. 1=C\cdot a^{1} \quad \text{och} \quad 3=C\cdot a^{2}.

4

Ställ upp ett ekvationssystem och lös det

Eftersom det finns två okända variabler och två ekvationer kan man ställa upp ett ekvationssystem. {1=Ca13=Ca2 \begin{cases}1=C\cdot a^{1} \\ 3=C\cdot a^{2} \end{cases} Nu kan man använda substitutionsmetoden för att bestämma de okända konstanterna.

{1=Ca1(I)3=Ca2(II)\begin{cases}1=C\cdot a^{1} & \, \text {(I)}\\ 3=C\cdot a^{2} & \text {(II)}\end{cases}
(I): {\color{#8C8C8C}{\text{(I): }}} Förenkla potens
{1=Ca3=Ca2\begin{cases}1=C\cdot a \\ 3=C\cdot a^{2} \end{cases}
{1a=C3=Ca2\begin{cases}\frac{1}{a}=C \\ 3=C\cdot a^{2} \end{cases}
{C=1a3=Ca2\begin{cases}C=\frac{1}{a} \\ 3=C\cdot a^{2} \end{cases}
{C=1a3=1aa2\begin{cases}C=\frac{1}{a} \\ 3={\color{#0000FF}{\frac{1}{a}}}\cdot a^{2} \end{cases}
{C=1a3=a2a\begin{cases}C=\frac{1}{a} \\ 3=\frac{a^2}{a} \end{cases}
{C=1a3=a\begin{cases}C=\frac{1}{a} \\ 3=a \end{cases}
{C=1aa=3\begin{cases}C=\frac{1}{a} \\ a=3 \end{cases}
{C=13a=3\begin{cases}C=\frac{1}{{\color{#0000FF}{3}}} \\ a=3 \end{cases}

5

Sätt in konstanterna

Till sist sätts värdena för konstanterna in i funktionsuttrycket. y=Caxy=133x y=C\cdot a^x\quad\Rightarrow\quad y=\dfrac{1}{3}\cdot 3^x

Uppgift

Vilken andragradsfunktion beskriver grafen?

Lösning

Den allmänna formen för en andragradsfunktion är y=ax2+bx+c, y=ax^2+bx+c, där a,a, b,b, och cc är reella konstanter. Konstanten cc kan vi bestämma direkt eftersom det är yy-värdet där grafen skär yy-axeln.

Vi ser att yy-värdet är 4 så c=4,c=4, vilket ger y=ax2+bx+4. y=ax^2+bx+4. Det finns nu två okända konstanter kvar, så vi behöver ytterligare två punkter för att bestämma dem. Vi väljer två där xx- och yy-koordinaterna är lätta att läsa av.

Två punkter på kurvan är (2,8)(2,8) och (6,4),(6,4), och sätter vi in dessa i funktionsuttrycket bildas två ekvationer. Punkten (2,8)(2,8) betyder att när man sätter in x=2x=2 är y=8.y=8. Det ger ekvationen a22+b2+4=8. a\cdot 2^2+b\cdot2+4=8. På samma sätt får man ekvationen a62+b6+4=4a\cdot 6^2+b\cdot6+4=4 genom att sätta in den andra punktens koordinater. Dessa två ekvationer bildar ett ekvationssystem som man kan lösa med exempelvis additionsmetoden.

{a22+b2+4=8(I)a62+b6+4=4(II)\begin{cases}a\cdot 2^2+b\cdot2+4=8 & \, \text {(I)}\\ a\cdot 6^2+b\cdot6+4=4 & \text {(II)}\end{cases}
{4a+2b+4=836a+6b+4=4\begin{cases}4a+2b+4=8 \\ 36a+6b+4=4 \end{cases}
{-12a6b12=-2436a+6b+4=4\begin{cases}\text{-}12 a-6b-12=\text{-}24 \\ 36a+6b+4=4 \end{cases}
{-12a6b12+36a+6b+4=-24+436a+6b+4=4\begin{cases}\text{-}12 a-6b-12+{\color{#0000FF}{36a+6b+4}}=\text{-}24+{\color{#0000FF}{4}} \\ 36a+6b+4=4 \end{cases}
{24a8=-2036a+6b+4=4\begin{cases}24a-8= \text{-}20 \\ 36a+6b+4=4 \end{cases}
{24a=-1236a+6b+4=4\begin{cases}24a= \text{-}12 \\ 36a+6b+4=4 \end{cases}
{a=-0.536a+6b+4=4\begin{cases}a= \text{-}0.5 \\ 36a+6b+4=4 \end{cases}

Nu sätter vi in värdet på aa i den andra ekvationen.

{a=-0.536a+6b+4=4\begin{cases}a= \text{-}0.5 \\ 36a+6b+4=4 \end{cases}
{a=-0.536(-0.5)+6b+4=4\begin{cases}a= \text{-}0.5 \\ 36({\color{#0000FF}{\text{-}0.5}})+6b+4=4 \end{cases}
{a=-0.5-18+6b+4=4\begin{cases}a= \text{-}0.5 \\ \text{-}18+6b+4=4 \end{cases}
{a=-0.5-14+6b=4\begin{cases}a= \text{-}0.5 \\ \text{-}14+6b=4 \end{cases}
{a=-0.56b=18\begin{cases}a= \text{-}0.5 \\ 6b=18 \end{cases}
{a=-0.5b=3\begin{cases}a= \text{-}0.5 \\ b=3 \end{cases}

aa är -0.5\text{-}0.5 och bb är 3. Sedan tidigare vet vi också att c=4.c=4. Detta ger funktioneny=-0.5x2+3x+4. y=\text{-}0.5 x^2+3x+4.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skapa en värdetabell till y=-2x+5y=\text{-} 2x+5 för x-värdena -2,-1,0,1och2. \text{-} 2, \quad \text{-} 1, \quad 0, \quad 1 \quad \text{och} \quad 2. Kontrollera din lösning genom att skapa en värdetabell på räknare.

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skapa en värdetabell för värdena x=0,1,2,3x=0,1,2,3 för funktionen y=5x27.y=5x^2-7.

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skissa för hand grafen till den funktion som beskrivs av värdetabellen.

xx yy
-4\text{-}4 00
-2\text{-}2 11
00 22
22 33
1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skapa en värdetabell för värdena x=-5,-3,0,3,5x=\text{-}5, \text{-}3, 0, 3, 5 för funktionen som visas i koordinatsystemet.

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skissa grafen till funktionen y=2x24 y=2x^2-4 genom att göra en värdetabell.

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I koordinatsystemet visas graferna till två linjära funktioner och två andragradsfunktioner.

Para ihop graferna med rätt funktion. f(x)=2x2+4x+1g(x)=-x2+7x10h(x)=2x1p(x)=0.5x1\begin{aligned} &f(x)=2x^2+4x+1\\ &g(x)=\text{-} x^2+7x-10\\ &h(x)=2x-1\\ &p(x)=0.5x-1 \end{aligned}

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Figuren visar graferna till två olika andragradsfunktioner på formen y=ax2+c.y=ax^2+c.


a

Bestäm grafernas värde på c.c.

b

Bestäm grafernas funktionsuttryck.

1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Figuren visar graferna till två olika exponentialfunktioner, Cax.C\cdot a^x.


a

Bestäm grafernas startvärde C.C.

b

Bestäm grafernas funktionsuttryck.

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Funktionen f(x)f(x) har ritats in i ett koordinatsystem.

Vilket tal ska adderas till funktionen för att dess graf ska passera genom origo?

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Uppskatta med hjälp av värdetabellen för vilket värde på xx som graferna till de linjära funktionerna f(x)f(x) och g(x)g(x) skär varandra.

xx f(x)f(x) g(x)g(x)
1 0 1.5
3 2 2.5
5 4 3.5
7 6 4.5


b

Rita för hand graferna till f(x)f(x) och g(x)g(x) i ett koordinatsystem och ange skärningspunkten.

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skissa för hand grafen till funktionen y=0.25x3+x2 y=0.25x^3+x^2 i intervallet -5x2\text{-}5 \leq x \leq 2 genom att göra en värdetabell. Du får använda räknaren till beräkningarna. Kontrollera sedan grafens utseende med din grafritande räknare.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I koordinatsystemet är funktionerna f(x)=2axf(x)=2\cdot a^x och g(x)=x2+bx+2g(x)=x^2+bx+2 ritade. Bestäm aa och b.b.

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Nedan visas grafen till en exponentialfunktion f(x).f(x).

Bestäm funktionen f(x).f(x).

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I koordinatsystemet visas grafen till en andragradsfunktion, f(x).f(x).

Bestäm f(x).f(x).

2.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För alla exponentialfunktioner på formen y=Caxy=Ca^x gäller att a1a\neq1 och a>0.a>0. Nedan visas tre exponentialfunktioner på den formen.

Vad finns det mer för villkor på aa för


a

f(x)?f(x)?

b

g(x)?g(x)?

c

h(x)?h(x)?

2.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Tyrolf och Nefertiti ska bestämma basen aa i exponentialfunktionen f(x)=6axf(x)= 6\cdot a^x med hjälp av nedanstående graf. Tyrolf tycker att skärningspunkten med yy-axeln är lämplig att använda för att bestämma a.a. Nefertiti säger emellertid att det inte kommer att fungera. Vem har rätt?

2.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Det största djur som någonsin funnits på jorden är blåvalen. Under de senaste hundra åren har antalet blåvalar minskat kraftigt på grund av jakt.

År 19001900 fanns det ungefär 239000239\,000 blåvalar i världshaven och hundra år senare var antalet ungefär 2300.2\,300.

Figuren visar graferna till tre funktioner f,gf,\, g och hh där y=f(x),y=f(x), y=g(x)y=g(x) och y=h(x).y=h(x). De tre funktionerna representerar tre olika modeller för hur blåvalarnas antal kan ha minskat under 19001900-talet. yy är antalet blåvalar och xx är antal år från år 1900.1900.

ID2530NoText.svg

Anta att den årliga procentuella förändringen av antalet blåvalar var konstant under 19001900-talet och fortsätter att vara konstant under 20002000-talet.

a

Vilken av de tre modellerna representerar då hur blåvalarnas antal minskar efter år 1900?1900? Motivera ditt svar.

b

Bestäm hur många blåvalar det finns kvar år 20652065 om den årliga procentuella förändringen av antalet blåvalar fortsätter att vara konstant.

Nationella provet VT15 2a
Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Jack säger att detta är en linjär funktion. Rose säger att det inte är det. Hur kan de ha resonerat?

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För funktionen ff gäller att f(x)=-0.5x2+bx2.f(x)=\text{-}0.5 x^2+bx-2.


a

Bestäm för vilka värden på bb som ff endast har ett nollställe.

b

I figuren nedan ser du graferna till funktionen ff för några olika värden på b.b. Grafernas maximipunkter är markerade. Då bb varierar följer maximipunkterna grafen till en ny andragradsfunktion g,g, se figur.


Bestäm andragradsfunktionen g.g.

Nationella provet VT15 2b/2c
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}