{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
menu_book {{ printedBook.name}}
arrow_left {{ state.menu.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
arrow_left {{ state.menu.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
arrow_left {{ state.menu.current.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
Mathleaks
Använd offline
Expandera meny menu_open
close expand
Icke-linjära funktioner

Beskriva funktioner

Några vanliga sätt att representera funktioner är funktionsuttryck (formler), värdetabeller och grafer. Vad man använder beror på vilka egenskaper hos funktionen man är intresserad av.

Begrepp

Funktionsuttryck

Ett funktionsuttryck är ett sätt att beskriva en funktion. Det anger en omvandlingsregel eller formel som talar om hur funktionsvärdet beror av olika x-värden. Exempelvis är
y=x+3
ett funktionsuttryck som med ord kan beskrivas "addera 3 till x-värdet."

Begrepp

Graf

En graf är ett sätt att beskriva en funktion i ett koordinatsystem. Grafen byggs upp av en mängd punkter som illustrerar funktionen.

Grafen i sig visar inte själva funktionsuttrycket vilket är en begränsning. Däremot ger grafen en större överblick av funktionen än formeln då man ser flera par av x- och y-värden samtidigt.

Begrepp

Värdetabell

Värdetabeller används för att sammanställa utvalda x- och y-värden för en funktion. Från en sådan tabell kan man markera punkter i ett koordinatsystem och på så sätt få en uppfattning om grafens utseende. Man kan t.ex. skapa en värdetabell för funktionen y=x1 med några valda värden på x. Motsvarande y-värden bestäms genom att man sätter in respektive x-värde i formeln.

x y
0 -1
1 0
2 1
3 2

Genom att binda samman punkterna får man funktionens graf.

Digitala verktyg

Värdetabell på räknare

Räknaren har ett inbyggt verktyg för att generera en värdetabell utifrån ett funktionsuttryck. Det kan vara tidsbesparande eftersom det krävs många beräkningar att göra det för hand. Precis som när man ritar en graf på räknaren börjar man med att trycka på Y= och skriva in funktionsuttrycket.

TI-Meny med funktioner

Därefter trycker man på TABLE (2nd + GRAPH). Då genereras automatiskt en värdetabell för några olika x-värden. Har man skrivit in ett annat funktionsuttryck på Y2 kommer y-värdena för den funktionen att visas i kolumnen längst till höger.

Om man vill ändra de x-värden som syns i tabellen trycker man på TBLSET (2nd + WINDOW). Där kan man ange vilket x-värde tabellen ska börja på (TblStart) och hur stort avståndet ska vara mellan värdena (Tbl). Avståndet anger skillnaden mellan varje x-värde.

TI-Meny med TBLSET

Genom att trycka på TABLE igen uppdateras tabellen.

Exempel

Skissa grafen

fullscreen
Skissa grafen till funktionen
y=x21
genom att göra en värdetabell.
Visa Lösning expand_more

För att göra en värdetabell sätter vi in några valfria x-värden och beräknar motsvarande funktionsvärden. För att inte missa intressant information väljer vi några negativa och några positiva x-värden.

x x21 y Punkt
-2 (-2)21 3 (-2,3)
-1 (-1)21 0 (-1,0)
0 021 -1 (0,-1)
1 121 0 (1,0)
2 221 3 (2,3)

Nu ritar vi upp ett koordinatsystem och prickar in punkterna vi tog fram i tabellen.

Till sist sammanbinder vi punkterna med en kurva.

Metod

Bestäm funktion utifrån graf

För att bestämma en funktion utifrån en graf måste man först veta vilken typ av funktion det är. I koordinatsystemet har grafen till en exponentialfunktion ritats.

För att bestämma funktionsuttrycket behöver man minst lika många punkter som antalet konstanter i funktionens allmänna form.
1
Bestäm antalet okända konstanter
expand_more
Grafen beskriver en exponentialfunktion, vilket betyder att den allmänna formen är
Antalet okända konstanter är två stycken: startvärdet C och förändringsfaktorn a.
2
Läs av lika många punkter på grafen
expand_more

Det finns två okända konstanter och därför behövs två olika punkter för att bestämma dessa värden.

Grafen går exempelvis igenom (1,1), och (2,3).

3
Sätt in punkterna i funktionen
expand_more
Punkterna sätts in i funktionen och man får då två ekvationer:
4
Ställ upp ett ekvationssystem och lös det
expand_more
Eftersom det finns två okända variabler och två ekvationer kan man ställa upp ett ekvationssystem.
Nu kan man använda substitutionsmetoden för att bestämma de okända konstanterna.

(I): Förenkla potens

5
Sätt in konstanterna
expand_more
Till sist sätts värdena för konstanterna in i funktionsuttrycket.

Exempel

Bestäm funktionen med hjälp av grafen

fullscreen

Vilken andragradsfunktion beskriver grafen?

Visa Lösning expand_more
Den allmänna formen för en andragradsfunktion är
y=ax2+bx+c,
där a, b, och c är reella konstanter. Konstanten c kan vi bestämma direkt eftersom det är y-värdet där grafen skär y-axeln.
Vi ser att y-värdet är 4 så c=4, vilket ger
y=ax2+bx+4.
Det finns nu två okända konstanter kvar, så vi behöver ytterligare två punkter för att bestämma dem. Vi väljer två där x- och y-koordinaterna är lätta att läsa av.
Två punkter på kurvan är (2,8) och (6,4), och sätter vi in dessa i funktionsuttrycket bildas två ekvationer. Punkten (2,8) betyder att när man sätter in x=2 är y=8. Det ger ekvationen
a22+b2+4=8.
På samma sätt får man ekvationen a62+b6+4=4 genom att sätta in den andra punktens koordinater. Dessa två ekvationer bildar ett ekvationssystem som man kan lösa med exempelvis additionsmetoden.

Nu sätter vi in värdet på a i den andra ekvationen.

a är -0.5 och b är 3. Sedan tidigare vet vi också att c=4. Detta ger funktionen
y=-0.5x2+3x+4.
arrow_left
arrow_right
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward
arrow_left arrow_right
close
Community