Grafer och Funktioner: Olika Typer av Funktioner och Deras Grafer

$x$	$y$
$0$	$0$
$1$	$3$
$2$	$6$
$3$	$9$
$4$	$12$
$5$	$15$

x

y

0

0

1

3

2

6

3

9

4

12

5

15

$x$	$x^{2} - 1$	$y$	Punkt
$- 2$	$(- 2)^{2} - 1$	$3$	$(- 2, 3)$
$- 1$	$(- 1)^{2} - 1$	$0$	$(- 1, 0)$
$0$	$0^{2} - 1$	$- 1$	$(0, - 1)$
$1$	$1^{2} - 1$	$0$	$(1, 0)$
$2$	$2^{2} - 1$	$3$	$(2, 3)$

x

x^{2} - 1

y

Punkt

- 2

(- 2)^{2} - 1

3

(- 2, 3)

- 1

(- 1)^{2} - 1

0

(- 1, 0)

0

0^{2} - 1

- 1

(0, - 1)

1

1^{2} - 1

0

(1, 0)

2

2^{2} - 1

3

(2, 3)

Betrakta följande graf.

Jack säger att detta är en linjär funktion. Rose säger att det inte är det. Hur kan de ha resonerat, och vem kan ha rätt?

Grafen ser onekligen ut att vara linjär, men vi vet inte hur stor del av den vi faktiskt ser. Det skulle kunna vara mellan x-värdena -0,1 och 0,1 eller mellan -1 000 och 1 000. Vi har heller ingen aning om hur mycket vi kan behöva zooma in eller ut för att se hur grafen beter sig.

I just det här fallet ser vi bara en liten del. Grafen nedan är samma som ovan, men ritad i ett större fönster. Nu ser vi att det inte är en rät linje.

Man ska alltså vara försiktig med att dra generella slutsatser om en funktion om man enbart ser en graf. Fönstret som den är ritad i är ju begränsat och utan funktionsuttrycket vet vi inte hur den beter sig på andra intervall.

Slutsats

Jack har antagligen dragit en slutsats genom att enbart titta på grafen, medan Rose är medveten om att man inte ser hela. Jack kan ha rätt, men det är inte säkert.

För funktionen $f$ gäller att $f (x) = - 0, 5 x^{2} + b x - 2 .$

Bestäm för vilka värden på $b$ som $f$ endast har ett nollställe.

Nationella provet VT15 2b/2c

I figuren nedan ser du graferna till funktionen $f$ för några olika värden på $b .$ Grafernas maximipunkter är markerade. Då $b$ varierar följer maximipunkterna grafen till en ny andragradsfunktion $g,$ se figur.

En andragradskurva med olika andragradskurvor som har sina minima längs den första kurvan.

Bestäm andragradsfunktionen $g .$

Nationella provet VT15 2b/2c

Ett nollställe är ett x-värde där funktionsvärdet är 0. För att hitta dem löser man ekvationen f(x)=0. Vi ställer upp funktionen och använder pq-formeln.

Om funktionen endast ska ha ett nollställe ska denna ekvationen endast ha en lösning. Det har den när diskriminanten är 0. Vi undersöker för vilka b det sker.

Funktionen har ett endast ett nollställe om b=-2 eller b=2.

Oavsett hur andragradskurvan ser ut kommer maximipunkten ligga på samma x-värde som symmetrilinjen. Vi bestämmer symmetrilinjen för f(x). Det gör vi genom att ställa upp f(x)=0 och använda pq-formeln. Det gjorde vi i förra deluppgiften och fick då x=--2b/2±sqrt((- 2b/2)^2-4). Symmetrilinjen ges av den första termen.

Oavsett vilket b man väljer kommer symmetrilinjen att vara x=b. Exempelvis blir symmetrilinjen x_s=2 om b=2 och x_s=-1 om b=-1. Om vi sätter in x=b i f(x) får vi reda på vad maximipunkternas y-värde är för ett generellt b.

Funktionsvärdena för maximipunkterna varierar alltså med b enligt 0,5b^2-2. Och det är ju precis det som g ska beskriva: g(b)=0,5b^2-2. I f är b en konstant medan den i g är en variabel. Det betyder att f(b) är värdet på f när x=b. Vi kan därför byta ut b mot x, vilket ger g(x)=0,5x^2-2.

Vi vet att alla maxpunkter på f(x) kommer att vara punkter som ligger på g(x). Om vi kan hitta tre olika maxmimipunkter för f(x) kan vi använda dem för att bestämma g(x). I förra deluppgiften beräknade vi att f(x) har ett nollställe om b=± 2. Det måste betyda att f(x) precis nuddar x-axeln, dvs. maximivärdet är 0.

Vi hittar dessa punkter genom att lösa ekvationerna f(x)=0 för b=-2 och b=2. Vi börjar med b=-2.

Maximipunkten är alltså (-2,0) när b=-2. Det betyder att denna punkt ligger på g(x). Om man gör motsvarande beräkningar för b=2 får man maximipunkten (2,0). Nu behöver vi bara en punkt till. Titta på den funktion med den lägsta maximipunkten.

Där ligger maximipunkten punkten på y-axeln dvs. när x=0. Vi sätter in det för att beräkna y.

Den minsta maximipunkten är alltså (0,- 2). Det betyder att g(x) skär y-axeln i y=-2 så dess konstantterm måste vara -2: g(x)=ax^2+cx-2. För att bestämma konstanterna a och c använder vi punkterna (-2,0) och (2,0) för att ta fram ett ekvationssystem: a(-2)^2+c(-2)-2=0 a*2^2+c*2-2=0. Vi löser det med additionsmetoden.

a är alltså 0,5 och c är 0. Det ger g(x)=0,5x^2-2.

Beskriva funktioner

Förkunskaper

Funktionsuttryck

Graf

Värdetabell

Värdetabell på räknare

Skissa graf utifrån funktionsuttryck

Svar

Ledtråd

Lösning

Bestäm funktion utifrån graf

Bestäm funktionen med hjälp av grafen