Beskriva funktioner

Ett nollställe är ett x-värde där funktionsvärdet är 0. För att hitta dem löser man ekvationen f(x)=0. Vi ställer upp funktionen och använder pq-formeln.

Om funktionen endast ska ha ett nollställe ska denna ekvationen endast ha en lösning. Det har den när diskriminanten är 0. Vi undersöker för vilka b det sker.

Funktionen har ett endast ett nollställe om b=-2 eller b=2.

Oavsett hur andragradskurvan ser ut kommer maximipunkten ligga på samma x-värde som symmetrilinjen. Vi bestämmer symmetrilinjen för f(x). Det gör vi genom att ställa upp f(x)=0 och använda pq-formeln. Det gjorde vi i förra deluppgiften och fick då x=--2b/2±sqrt((- 2b/2)^2-4). Symmetrilinjen ges av den första termen.

Oavsett vilket b man väljer kommer symmetrilinjen att vara x=b. Exempelvis blir symmetrilinjen x_s=2 om b=2 och x_s=-1 om b=-1. Om vi sätter in x=b i f(x) får vi reda på vad maximipunkternas y-värde är för ett generellt b.

Funktionsvärdena för maximipunkterna varierar alltså med b enligt 0,5b^2-2. Och det är ju precis det som g ska beskriva: g(b)=0,5b^2-2. I f är b en konstant medan den i g är en variabel. Det betyder att f(b) är värdet på f när x=b. Vi kan därför byta ut b mot x, vilket ger g(x)=0,5x^2-2.

Vi vet att alla maxpunkter på f(x) kommer att vara punkter som ligger på g(x). Om vi kan hitta tre olika maxmimipunkter för f(x) kan vi använda dem för att bestämma g(x). I förra deluppgiften beräknade vi att f(x) har ett nollställe om b=± 2. Det måste betyda att f(x) precis nuddar x-axeln, dvs. maximivärdet är 0.

Vi hittar dessa punkter genom att lösa ekvationerna f(x)=0 för b=-2 och b=2. Vi börjar med b=-2.

Maximipunkten är alltså (-2,0) när b=-2. Det betyder att denna punkt ligger på g(x). Om man gör motsvarande beräkningar för b=2 får man maximipunkten (2,0). Nu behöver vi bara en punkt till. Titta på den funktion med den lägsta maximipunkten.

Där ligger maximipunkten punkten på y-axeln dvs. när x=0. Vi sätter in det för att beräkna y.

Den minsta maximipunkten är alltså (0,- 2). Det betyder att g(x) skär y-axeln i y=-2 så dess konstantterm måste vara -2: g(x)=ax^2+cx-2. För att bestämma konstanterna a och c använder vi punkterna (-2,0) och (2,0) för att ta fram ett ekvationssystem: a(-2)^2+c(-2)-2=0 a*2^2+c*2-2=0. Vi löser det med additionsmetoden.

a är alltså 0,5 och c är 0. Det ger g(x)=0,5x^2-2.

Betrakta den givna ekvationen. y=x Vi vet att x-värden är indatavärden. Med andra ord är x en oberoende variabel. Vi kan välja vilka värden som helst för x. Å andra sidan är y-värden utdatavärden. Variabeln y är beroende av variabeln x. Vi kan beräkna y-värden genom att sätta in x-värden i ekvationen. Låt oss göra en värdetabell med hjälp av denna information.

Ekvationen säger oss att y är lika med x. Vilket värde vi än väljer för x är också motsvarande y-värde. Till exempel, som tabellen visar, om x=0, så är y=0. Om x=1, så är y=1. Därför skulle grafen för y=x se ut som en rät linje som går genom origo. Varje ordnat par som ligger på linjen är i formen (a;a) för vilket tal som helst a. Låt oss ge tre exempel. (0;0), (13;13), (516;516)

Rita de ordnade paren (0;0), (1;1), och (2;2).

Anslut punkterna.

Vi blir ombedda att beskriva en verklig situation som kan representeras med hjälp av en tabell och en graf. Detta innebär att komma på två variabler som är kopplade genom ett verkligt scenario. Här är ett exempel.

Miley köper några glasspinnar till en poolfest. Varje kostar 12 kr. Hon är intresserad av att veta hur mycket pengar hon behöver ha innan hon går till kassan.

Det finns minst två kvantiteter vi kan tänka oss för den här situationen.

1. Antalet glasspinnar som Miley köper
2. Hur mycket pengar hon behöver ha

Låt oss välja en variabel som representerar var och en av kvantiteterna. x &- Antal glasspinnar y &- Total kostnad (kr) Vi kan visa kostnaden för att köpa olika antal glasspinnar i en tabell.

Ett annat sätt att representera relationer är att använda en graf. Varje ordnat par ( x, y) är en punkt som vi kan rita i koordinatplanet. Här är en graf som visar samma relation som vi har i tabellen.