Grafer och Funktioner: Olika Typer av Funktioner och Deras Grafer

$x$	$y$
$0$	$0$
$1$	$3$
$2$	$6$
$3$	$9$
$4$	$12$
$5$	$15$

$x$	$x^{2} - 1$	$y$	Punkt
$- 2$	$(- 2)^{2} - 1$	$3$	$(- 2, 3)$
$- 1$	$(- 1)^{2} - 1$	$0$	$(- 1, 0)$
$0$	$0^{2} - 1$	$- 1$	$(0, - 1)$
$1$	$1^{2} - 1$	$0$	$(1, 0)$
$2$	$2^{2} - 1$	$3$	$(2, 3)$

Funktionen $f (x)$ har ritats in i ett koordinatsystem.

Vilket tal ska adderas till funktionen för att dess graf ska passera genom origo?

Just nu skär linjen y-axeln vid y=-3. För att den ska gå genom origo vill vi flytta upp den 3 steg.

Det betyder att alla y-värden ökar med 3. Vi ska alltså lägga till 3 för att flytta upp grafen 3 steg. Vi kan skriva det som f(x)+3.

Notera följande värdetabell.

$x$	$f (x)$	$g (x)$
$1$	$0$	$1, 5$
$3$	$2$	$2, 5$
$5$	$4$	$3, 5$
$7$	$6$	$4, 5$

Ge ett intervall av

x -

värden då graferna till de linjära funktionerna

f (x)

och

g (x)

skär varandra.

Rita för hand graferna till

f (x)

och

g (x)

i ett koordinatsystem och ange därefter skärningspunkten.

När linjära funktioner skär varandra innebär det att ena funktionen har gått från att vara mindre till att vara större och vice versa. I värdetabellen har vi markerat den funktion som är störst för aktuellt x-värde med grönt.

x	f(x)	g(x)
1	0	1,5
3	2	2,5
5	4	3,5
7	6	4,5

Vi ser att det är mellan x=3 och x=5 som f(x) blir större än g(x). Detta innebär att grafen till f(x) har korsat grafen till g(x) någonstans mellan dessa x-värden. Funktionernas grafer skär därför varandra i någon punkt i intervallet 3 < x < 5.

Den givna värdetabellen ger oss fyra punkter för f(x) och fyra punkter för g(x).

x	(x, f(x))	(x, g(x))
1	(1, 0)	(1, 1,5)
3	(3, 2)	(3, 2,5)
5	(5, 4)	(5, 3,5)
7	(7, 6)	(7, 4,5)

Vi markerar dessa i ett koordinatsystem och ritar de båda graferna utifrån dessa. Därefter läser vi av skärningspunktens koordinater.

Funktionerna skär varandra i punkten (4,3).

Skissa för hand grafen till funktionen

y = 0, 25 x^{3} + x^{2}

i intervallet

- 5 \leq x \leq 2

genom att göra en värdetabell. Du får använda räknaren till beräkningarna. Kontrollera sedan grafens utseende med din grafritande räknare.

För att göra värdetabellen sätter vi in x-värdena -5, -4, ... , 2 och beräknar det motsvarande funktionsvärdet. x- och y-värdena representerar punker som funktionen går genom.

x	0,25x^3+x^2	y	Punkt
-5	0,25 * ( -5)^3+( -5)^2	- 6,25	(-5;-6,25)
-4	0,25 * ( -4)^3+( -4)^2	0	(-4,0)
-3	0,25 * ( -3)^3+( -3)^2	2,25	(-3;2,25)
-2	0,25 * ( -2)^3+( -2)^2	2	(-2,2)
-1	0,25 * ( -1)^3+( -1)^2	0,75	(-1;0,75)
0	0,25 * 0^3+ 0^2	0	(0,0)
1	0,25 * 1^3+ 1^2	1,25	(1;1,25)
2	0,25 * 2^3+ 2^2	6	(2,6)

Nu ritar vi upp ett koordinatsystem och markerar punkterna vi tog fram i tabellen.

Nu kan vi sammanbinda punkterna med en kurva.

I koordinatsystemet är funktionerna $f (x) = 2 \cdot a^{x}$ och $g (x) = x^{2} + b x + 2$ ritade.

En exponentialfunktion och en andragradskurva.

Para ihop rätt funktion med rätt graf.

Bestäm

b .

Bestäm

a .

Vi måste först ta reda på vilken graf som hör till vilken funktion. Den blå kurvan har en minimipunkt, medan den röda inte har någon extrempunkt alls. Andragradskurvor har alltid en extrempunkt så g(x) måste vara den blå grafen.

Vi läser av en punkt på grafen.

Punkten (1,5) ligger på grafen, så om vi sätter in x=1 och y=5 i g(x) kan vi bestämma b.

b är alltså lika med 2.

Nu läser vi av en punkt på den röda kurvan.

Punkten (1,3) ligger på den röda kurvan så vi sätter in den i f(x) för att bestämma a.

a är alltså 1,5.

Nedan visas grafen till en exponentialfunktion $f (x) .$

Bestäm funktionen

f (x) .

En exponentialfunktion på allmän form skrivs y=C* a^x, där C och a är konstanter. Det finns två okända konstanter så vi behöver två punkter från grafen.

Vi läser av punkterna (1,1) och (2,2). Insättning av dessa i funktionen ger oss två ekvationer som bildar ett ekvationssystem: 1=C* a^1 2=C* a^2. Vi kan lösa det med t.ex. substitutionsmetoden.

C är 0,5 och a är 2, vilket ger funktionen f(x)=0,5* 2^x.

I koordinatsystemet visas grafen till en andragradsfunktion, $f (x) .$

Bestäm

f (x) .

Kurvan skär y-axeln i y=-3. Det betyder att konstanttermen är -3, vilket ger f(x)=ax^2+bx-3, där a och b är reella konstanter. För att bestämma de andra behöver vi två punkter på grafen.

Vi läser av punkterna (1,-7) och (3,-3) och sätter in dem i funktionen. Det ger två nya ekvationer som bildar ett ekvationssystem: -7=a* 1^2+b*1-3 -3=a* 3^2+b*3-3. Vi löser det med t.ex. substitutionsmetoden.

Nu har vi löst ut a. Då sätter vi in det i den andra ekvationen.

a är 2 och b är -6 vilket ger funktionen f(x)=2x^2-6x-3.

För alla exponentialfunktioner på formen $y = C a^{x}$ gäller att $a \neq = 1$ och $a > 0 .$ Nedan visas tre exponentialfunktioner på den formen.

Vad finns det mer för villkor på $a$ för

f (x) ?

g (x) ?

h (x) ?

Eftersom kurvan skär positiva y-axeln är C positivt. Vi ser att kurvan är växande, dvs. antar större och större y-värden. Det betyder att det är en procentuell ökning, så förändringsfaktorn a måste vara större än 1: a > 1.

Även här är C positivt, men kurvan är avtagande. Det innebär att funktionsvärdet minskar, alltså att förändringsfaktorn är mindre än 1. Villkoret blir a < 1.

Nu har vi en exponentialfunktion med ett negativt startvärde. Ju större x blir desto mindre blir y. Förändringsfaktorn a måste vara positiv och funktionen går mot större och större negativa värden. Därför måste a^x bli större och större. Där a är större än 1: a>1.

Tyrolf och Nefertiti ska bestämma basen $a$ i exponentialfunktionen $f (x) = 6 \cdot a^{x}$ med hjälp av nedanstående graf. Tyrolf tycker att skärningspunkten med $y -$ axeln är lämplig att använda för att bestämma $a .$ Nefertiti säger emellertid att det inte kommer att fungera. Vem har rätt?

En exponentialfunktion i ett koordinatsystem.

Tyrolf har rätt i att skärningen med y-axeln är en lättavläst punkt, men eftersom denna punkt motsvarar konstanten 6 i exponentialfunktionen f(x)=6* a^x kommer den inte leda till att vi kan lösa ut a. Vi visar vad som händer när vi sätter in (0,6) i funktionen.

När vi sätter in skärningspunkten med y-axeln blir potensens värde 1 så vi får helt enkelt en likhet mellan två sexor. De måste alltså välja någon annan punkt längs grafen för att kunna lösa ut a. Nefertiti har rätt.

Det största djur som någonsin funnits på jorden är blåvalen. Under de senaste hundra åren har antalet blåvalar minskat kraftigt på grund av jakt. År $1900$ fanns det ungefär $239000$ blåvalar i världshaven och hundra år senare var antalet ungefär $2300 .$ Figuren visar graferna till tre funktioner $f, g$ och $h$ där $y = f (x),$ $y = g (x)$ och $y = h (x) .$ De tre funktionerna representerar tre olika modeller för hur blåvalarnas antal kan ha minskat under $1900 -$ talet. $y$ är antalet blåvalar och $x$ är antal år från år $1900 .$

Graferna till tre olika funktioner som modellerar hur blåvalars antal kan ha minskat under 1900-talet.

Anta att den årliga procentuella förändringen av antalet blåvalar var konstant under $1900 -$ talet och fortsätter att vara konstant under $2000 -$ talet.

Vilken av de tre modellerna representerar då hur blåvalarnas antal minskar efter år $1900 ?$ Motivera ditt svar.

Nationella provet VT15 2a

Bestäm hur många blåvalar det finns kvar år $2065$ om den årliga procentuella förändringen av antalet blåvalar fortsätter att vara konstant.

Nationella provet VT15 2a

Vi vet att antalet blåvalar minskar med lika många procent dvs. funktionen som beskriver minskningen är en exponentialfunktion. Detta utesluter y=f(x) som är en rät linje. Den blir dessutom negativ efter ett tag vilket inte heller är rimligt. Grafen till y=g(x) stiger efter x=100 vilket innebär att antalet blåvalar skulle öka efter år 2000. Detta stämmer inte minskningen förväntas fortsätta, även efter år 2000. Funktionen som beskriver minskningen är alltså y=h(x).

För att bestämma antalet blåvalar år 2065 ska vi sätta in x=165 i funktionen som beskriver y=h(x). Då måste vi först bestämma förändringsfaktorn a och startvärdet C i exponentialfunktionen h(x)=C* a^x. C anger var funktionen skär y-värdet och från grafen ser vi att detta sker i punkten (0,239 000) så C=239 000. För att hitta förändringsfaktorn a sätter vi in punkten (100,2300) i h(x) och löser ut a.

Förändringsfaktorn är ca 0,95 vilket betyder att antalet blåvalar minskar med 5 % per år. Förändringsfaktorn kan inte vara negativ så vi bortser från den negativa lösningen. Nu kan vi bestämma antalet blåvalar år 2065 genom att sätta in x=165 i vår funktion. Vi använder det exakt värdet på a för att undvika avrundningsfel.

Antalet blåvalar år 2065 är ca 112 stycken enligt modellen.

Beskriva funktioner

Förkunskaper

Funktionsuttryck

Graf

Värdetabell

Värdetabell på räknare

Skissa graf utifrån funktionsuttryck

Svar

Ledtråd

Lösning

Bestäm funktion utifrån graf

Bestäm funktionen med hjälp av grafen

Ledtråd

Lösning

Beskriva funktioner

Rekommenderade uppgifter

	8 sidor teori
	19 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.