body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Are

Areasatsen Visa detaljer

Innehållsförteckning

Kapitel

4.

Areasatsen

Denna lektion fokuserar på att förstå areasatsen, en central del av trigonometri. Areasatsen används för att beräkna arean av en triangel när man känner till två av dess sidor och vinkeln mellan dem. Detta är särskilt användbart när man inte har tillgång till triangelns höjd, vilket ofta är fallet med oregelbundna trianglar. Areasatsen kan tillämpas på alla typer av trianglar, inklusive likbenta, liksidiga och olikformiga trianglar. Detta koncept är viktigt inom många områden, inklusive arkitektur, ingenjörsvetenskap och design, där det ofta är nödvändigt att beräkna arean av oregelbundna former.

Inställningar & verktyg för lektion

	7 sidor teori
	15 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Areasatsen

Sida av 7

De trigonometriska funktionerna sinus, cosinus och tangens är definierade utifrån, och används ofta i samband med, rätvinkliga trianglar. Men är de även användbara för godtyckliga trianglar?

Ja, genom att använda definitionerna för sinus och cosinus kan man härleda satser för att bestämma area, vinklar och sidor för en godtycklig triangel. Dessa brukar kallas för triangelsatserna: areasatsen, sinussatsen och cosinussatsen.

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Areasatsen

Förkunskaper

Rätvinkliga trianglar
Trigonometriska funktioner
Area

Utforska

Undersöka arean av trubbiga trianglar

Trigonometriska kvoter kan användas för att beräkna arean av en triangel när längderna på två sidor och måttet på den mellanliggande spetsiga vinkeln är givna. Vad händer om den mellanliggande vinkeln är trubbig? I

△ A B C

är

\overline{A B}

och

\overline{B C}

6

respektive

8

centimeter långa. Måttet på

∠ A B C

varierar från

1 5^{\circ}

till

16 5^{\circ} .

Hur kan måttet på

∠ A B D

användas för att beräkna arean av

△ A B C

när

∠ A B C

är trubbig? Vad är sambandet mellan areorna av

△ A B C

när måttet på

∠ A B C

är

50

grader respektive

130

grader? Vad är sambandet mellan sinusvärdet för en spetsig vinkel och dess supplementvinkel?

Regel

Areasatsen

Om man känner till en triangels bas och höjd kan man bestämma dess area med hjälp av areaformeln för en triangel. Ibland känner man dock inte till höjden, men om man vet två sidlängder och den mellanliggande vinkeln kan man använda areasatsen.

$Area = \frac{a b sin ( C )}{2}$

I formeln är $a$ och $b$ sidlängder i triangeln och $C$ är den vinkel som ligger mellan dem.

Det går bra att använda vilket par av sidlängder som helst så länge man känner till den mellanliggande vinkeln. Om man t.ex. känner till sidorna $b$ och $c$ i triangeln måste man känna till vinkeln $A .$

Bevis

Beviset måste göras för två fall eftersom den mellanliggande vinkeln antingen kan vara spetsig eller trubbig.

Mellanliggande vinkel är spetsig

Höjden delar triangeln i två rätvinkliga trianglar, där den ena har sidan $a$ som hypotenusa.

Då kan man med hjälp av definitionen av sinus ställa upp ett uttryck för höjden

h .

sin (v) = \frac{Motst a ˚ ende katet}{Hypotenusa}

SubstituteExpressions

Sätt in uttryck

sin (C) = \frac{h}{a}

$VL \cdot a = HL \cdot a$

a sin (C) = h

Omarrangera ekvation

h = a sin (C)

Man ersätter sedan

h

i formeln

A = \frac{b h}{2}

med detta uttryck.

A = \frac{b h}{2}

$h = a s i n (C)$

A = \frac{b \cdot a s i n ( C )}{2}

Omarrangera faktorer

A = \frac{a b sin ( C )}{2}

Detta är areasatsen.

Mellanliggande vinkel är trubbig

Då $C$ är trubbig bevisas areasatsen lite annorlunda. Genom att förlänga triangelns bas och markera höjden $h$ vinkelrätt mot den förlängda basen bildas en rätvinklig triangel.

Sidovinkeln till

C,

som är

18 0^{\circ} - C,

utgör en av vinklarna i den nya triangel som skapats. Utgår man från denna vinkel får man, enligt definitionen för sinus,

sin (18 0^{\circ} - C) = \frac{h}{a} .

Med hjälp av sambandet

sin (18 0^{\circ} - v) = sin (v)

kan man visa att även detta går att skriva om till areasatsen.

sin (18 0^{\circ} - C) = \frac{h}{a}

$sin (18 0^{\circ} - v) = sin (v)$

sin (C) = \frac{h}{a}

$VL \cdot a = HL \cdot a$

a sin (C) = h

Man ersätter sedan

h

i formeln

A = \frac{b h}{2}

med detta uttryck på samma sätt som tidigare.

A = \frac{b h}{2}

$h = a s i n (C)$

A = \frac{b \cdot a s i n ( C )}{2}

Omarrangera faktorer

A = \frac{a b sin ( C )}{2}

Q.E.D.

Bevis

Bevis för areasatsen

Arean av en triangel bestäms vanligtvis med formeln $A = \frac{b h}{2},$ där $b$ är bredden på triangeln och $h$ är höjden. Även areasatsen bygger på denna formel, men $h$ bestäms med trigonometri. Beviset måste göras för två fall eftersom den mellanliggande vinkeln antingen kan vara spetsig eller trubbig.

Bevis

Mellanliggande vinkel är spetsig

Höjden delar triangeln i två rätvinkliga trianglar, där den ena har sidan

a

som hypotenusa.

Då kan man med hjälp av definitionen av sinus ställa upp ett uttryck för höjden

h .

sin (v) = \frac{Motst a ˚ ende katet}{Hypotenusa}

SubstituteExpressions

Sätt in uttryck

sin (C) = \frac{h}{a}

$VL \cdot a = HL \cdot a$

a sin (C) = h

Omarrangera ekvation

h = a sin (C)

Man ersätter sedan

h

i formeln

A = \frac{b h}{2}

med detta uttryck.

A = \frac{b h}{2}

$h = a s i n (C)$

A = \frac{b \cdot a s i n ( C )}{2}

Omarrangera faktorer

A = \frac{a b sin ( C )}{2}

Detta är areasatsen.

Bevis

Mellanliggande vinkel är trubbig

Då

C

är trubbig bevisas areasatsen lite annorlunda. Genom att förlänga triangelns bas och markera höjden

h

vinkelrätt mot den förlängda basen bildas en rätvinklig triangel.

Sidovinkeln till

C,

som är

18 0^{\circ} - C,

utgör en av vinklarna i den nya triangel som skapats. Utgår man från denna vinkel får man, enligt definitionen för sinus,

sin (18 0^{\circ} - C) = \frac{h}{a} .

Med hjälp av sambandet

sin (18 0^{\circ} - v) = sin (v)

kan man visa att även detta går att skriva om till areasatsen.

sin (18 0^{\circ} - C) = \frac{h}{a}

$sin (18 0^{\circ} - v) = sin (v)$

sin (C) = \frac{h}{a}

$VL \cdot a = HL \cdot a$

a sin (C) = h

Man ersätter sedan

h

i formeln

A = \frac{b h}{2}

med detta uttryck på samma sätt som tidigare.

A = \frac{b h}{2}

$h = a s i n (C)$

A = \frac{b \cdot a s i n ( C )}{2}

Omarrangera faktorer

A = \frac{a b sin ( C )}{2}

Q.E.D.

Exempel

Bestäm arean med areasatsen

Bestäm triangelns area. Avrunda till en decimal.

Ledtråd

Ersätt de kända värdena för sidorna och vinkeln mellan dem i areasatsen.

Lösning

Vi känner inte till någon höjd i triangeln. Däremot vet vi två av sidorna,

3

och

4,

samt dess mellanliggande vinkel

7 2^{\circ} .

Det betyder att vi kan använda areasatsen för att bestämma triangelns area.

Area = \frac{a b sin ( C )}{2}

SubstituteValues

Sätt in värden

Area = \frac{3 \cdot 4 \cdot sin ( 7 2 ^{\circ} )}{2}

Förenkla kvot

Area = 3 \cdot 2 \cdot sin (7 2^{\circ})

Slå in på räknare

Area = 5, 70633 \dots

Avrunda till $1$ decimal(er)

Area \approx 5, 7

Triangelns area är ca

5, 7

a.e.

Exempel

Bestäm vinkeln med areasatsen

För en triangel

A B C

gäller det att sidan

A B = 13, 8

cm, sidan

B C = 7, 8

cm och att arean är

45, 5 cm^{2} .

Hur stor kan vinkel

B

vara som ligger mellan sidorna

A B

och

B C ?

Avrunda svaret till heltal. Skriv de möjliga vinklarna som en lista.

Ledtråd

Använd areasatsen.

Lösning

Eftersom vi känner till arean för triangeln samt längden på sidorna omkring den vinkel vi ska bestämma kan vi använda areasatsen. Vi sätter in de kända värdena i satsen och löser sedan ut vinkel

B .

Area = \frac{a b sin ( C )}{2}

SubstituteValues

Sätt in värden

45, 5 = \frac{1 3 , 8 \cdot 7 , 8 sin ( B )}{2}

Multiplicera faktorer

45, 5 = \frac{1 0 7 , 6 4 sin ( B )}{2}

Förenkla kvot

45, 5 = 53, 82 sin (B)

Omarrangera ekvation

53, 82 sin (B) = 45, 5

$VL / 53, 82 = HL / 53, 82$

sin (B) = \frac{4 5 , 5}{5 3 , 8 2}

$arcsin (VL) = arcsin (HL)$

B = arcsin (\frac{4 5 , 5}{5 3 , 8 2})

Slå in på räknare

B = 57, 71595 \dots^{\circ}

Avrunda till närmaste heltal

B \approx 5 8^{\circ}

Vinkel

B

kan alltså vara ca

5 8^{\circ} .

Vi måste dock komma ihåg att det enligt sambandet

sin (v) = sin (18 0^{\circ} - v)

alltid finns

2

vinklar på intervallet

0^{\circ} \leq v \leq 18 0^{\circ}

med samma sinusvärde. Vi bestämmer därför även vinkeln

18 0^{\circ} - B

:

18 0^{\circ} - 5 8^{\circ} = 12 2^{\circ} .

Den mellanliggande vinkeln

B

kan alltså vara antingen

5 8^{\circ}

eller

12 2^{\circ} .

Övning

Öva på att använda areasatsen

I följande trianglar är längderna på två sidor och måttet på den mellanliggande vinkeln eller arean givna. Använd areasatsen för att beräkna triangelns area eller måttet på den mellanliggande vinkeln. Avrunda svaret till en decimal.

Areasatsen

Vad är det största värdet som triangelns area kan anta?

En blå triangel med två kända sidor.

Vi ställer upp ett uttryck för triangelns area med areasatsen.

Arean är alltså produkten av 3 och sin(v). Faktorn 3 är konstant så för att få en så stor area som möjligt ska vi maximera sin(v). Vi tittar på enhetscirkeln för att se för vilken vinkel sin(v) antar största möjliga värde.

Vi ser att sin(v) når sitt maximala värde, 1, då vinkeln v är 90^(∘).

Triangelns maximala area är alltså 3 a.e..

Bestäm triangelns okända sidor om triangelns omkrets är $11$ cm och dess area är $3, 8 cm^{2} .$ Avrunda till heltal.

En blå triangel med vinkeln 108 och motstående sida 5 cm.

Vi kallar den längre okända sidan för x och och den kortare för y.

Eftersom omkretsen är 11 cm kan vi ställa upp sambandet x+y+5=11 ⇔ x+y=6. Vi kan ställa upp ytterligare ett samband med hjälp av den givna arean genom att sätta in informationen vi har i areasatsen.

Vi har nu två samband som beskriver triangeln. Om vi löser ut t.ex. y från omkretssambandet kan vi sedan sätta in det i areasambandet. x+y=6 ⇔ y=6-x Genom att ersätta y:et i areasambandet med detta uttryck får vi en ekvation där vi kan lösa ut x.

Vi löser andragradsekvationen med pq-formeln.

Sidan x är alltså antingen ca 2 cm eller ca 4 cm beroende på vilken av sidorna man har valt att kalla x. Eftersom vi har valt att kalla den långa sidan x innebär det att x≈ 4. Omkretssambandet ger oss värdet på y: ~4+y=6 ⇔ y ≈ 2. Triangelns sidor är alltså ca 2 cm och ca 4 cm.

Areasatsen

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Laddar innehåll