Cosinussatsen
Regel

Cosinussatsen

Cosinussatsen anger ett samband mellan en godtycklig triangels sidor och en av triangelns vinklar.

Längderna och är triangelns sidor och är den motstående vinkeln till sidan

triangel

Beroende på vad man vet om en triangel kan cosinussatsen användas för att bestämma en sida eller en vinkel. Känner man till två sidor och dess mellanliggande vinkel kan man beräkna triangelns tredje sida. Känner man till triangelns samtliga sidor kan man beräkna en eller flera av triangelns återstående vinklar.

Bevis

För att bevisa cosinussatsen utgår man från en generell triangel I triangeln ritar man ut en höjd, vilket bildar två rätvinkliga trianglar. Man kan kalla deras baser och

Dessa sidor, och kan man skriva om med hjälp av definitionen för cosinus.
Man kan sedan ersätta och med dessa uttryck.
Genom att använda Pythagoras sats på båda de rätvinkliga trianglarna får man följande två ekvationer:
Eftersom finns i båda likheterna går det att lösa ut det ur den ena ekvationen och sätta in i den andra.
Nu fokuserar man helt på den andra ekvationen. Eftersom cosinussatsen endast innehåller vinkel försöker man skriva om uttrycket så att det istället beror på den vinkeln. Då använder man att summan av sträckorna och är lika med
Till sist ersätter man med detta nya uttryck och förenklar sambandet.
Liknande resonemang kan föras för alla vinklar i triangeln.
Q.E.D.
Övningar