body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Regel

Areasatsen

Om man känner till en triangels bas och höjd kan man bestämma dess area med hjälp av areaformeln för en triangel. Ibland känner man dock inte till höjden, men om man vet två sidlängder och den mellanliggande vinkeln kan man använda areasatsen.

$Area = \frac{a b sin ( C )}{2}$

I formeln är $a$ och $b$ sidlängder i triangeln och $C$ är den vinkel som ligger mellan dem.

Det går bra att använda vilket par av sidlängder som helst så länge man känner till den mellanliggande vinkeln. Om man t.ex. känner till sidorna

b

och

c

i triangeln måste man känna till vinkeln

A .

Satsen kan bevisas genom att utgå ifrån formeln för arean av en triangel,

Area = \frac{b h}{2} .

Bevis

Beviset måste göras för två fall eftersom den mellanliggande vinkeln antingen kan vara spetsig eller trubbig.

Mellanliggande vinkel är spetsig

Höjden delar triangeln i två rätvinkliga trianglar, där den ena har sidan $a$ som hypotenusa.

Då kan man med hjälp av definitionen av sinus ställa upp ett uttryck för höjden

h .

sin (v) = \frac{Motst a ˚ ende katet}{Hypotenusa}

SubstituteExpressions

Sätt in uttryck

sin (C) = \frac{h}{a}

$VL \cdot a = HL \cdot a$

a sin (C) = h

Omarrangera ekvation

h = a sin (C)

Man ersätter sedan

h

i formeln

A = \frac{b h}{2}

med detta uttryck.

A = \frac{b h}{2}

$h = a s i n (C)$

A = \frac{b \cdot a s i n ( C )}{2}

Omarrangera faktorer

A = \frac{a b sin ( C )}{2}

Detta är areasatsen.

Mellanliggande vinkel är trubbig

Då $C$ är trubbig bevisas areasatsen lite annorlunda. Genom att förlänga triangelns bas och markera höjden $h$ vinkelrätt mot den förlängda basen bildas en rätvinklig triangel.

Sidovinkeln till

C,

som är

18 0^{\circ} - C,

utgör en av vinklarna i den nya triangel som skapats. Utgår man från denna vinkel får man, enligt definitionen för sinus,

sin (18 0^{\circ} - C) = \frac{h}{a} .

Med hjälp av sambandet

sin (18 0^{\circ} - v) = sin (v)

kan man visa att även detta går att skriva om till areasatsen.

sin (18 0^{\circ} - C) = \frac{h}{a}

$sin (18 0^{\circ} - v) = sin (v)$

sin (C) = \frac{h}{a}

$VL \cdot a = HL \cdot a$

a sin (C) = h

Man ersätter sedan

h

i formeln

A = \frac{b h}{2}

med detta uttryck på samma sätt som tidigare.

A = \frac{b h}{2}

$h = a s i n (C)$

A = \frac{b \cdot a s i n ( C )}{2}

Omarrangera faktorer

A = \frac{a b sin ( C )}{2}

Q.E.D.

Övningar

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Laddar innehåll