body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Regel

Sinussatsen

Sinussatsen anger ett samband mellan vinklar och sidor i en godtycklig triangel. Kvoten mellan sinusvärdet av en vinkel och dess motstående sida är lika stor oavsett vilken vinkel och motstående sida man dividerar.

$\frac{sin ( A )}{a} = \frac{sin ( B )}{b} = \frac{sin ( C )}{c}$

$A$ , $B$ och $C$ är triangelns vinklar medan $a$ , $b$ och $c$ är respektive vinkels motstående sida, så sinussatsen kan användas för att bestämma en okänd vinkel eller sida.

Mellan

0^{\circ}

och

18 0^{\circ}

finns det två vinklar med samma sinusvärde, så om man använder sinussatsen för att bestämma en okänd vinkel kan det därför finnas två möjliga värden på denna. Det är inte alltid det finns en geometrisk tolkning av båda dessa värden, så det är viktigt att man kontrollerar att båda är rimliga. Sinussatsen kan också skrivas

\frac{a}{sin ( A )} = \frac{b}{sin ( B )} = \frac{c}{sin ( C )},

vilket kan vara användbart när man istället bestämmer en okänd sida.

Bevis

Bevis för sinussatsen

För att bevisa sinussatsen kan man använda följande godtyckliga triangel.

Om man studerar sidorna

b

och

c

blir

A

mellanliggande vinkel. Enligt areasatsen kan triangelns area då skrivas

Area = \frac{b c sin ( A )}{2} .

Utgår man istället ifrån vinkel

B

respektive

C

får man två nya samband som beskriver samma area:

Area = \frac{a c sin ( B )}{2} och Area = \frac{a b sin ( C )}{2} .

Eftersom alla tre uttryck beskriver triangelns area måste de vara lika stora. Man kan därmed likställa dem och genom att göra några omskrivningar får man slutligen sinussatsen.

\frac{b c sin ( A )}{2} = \frac{a c sin ( B )}{2} = \frac{a b sin ( C )}{2}

MultEqn

$VL \cdot 2 = HL \cdot 2$

b c sin (A) = a c sin (B) = a b sin (C)

DivEqn

$VL / a b c = HL / a b c$

\frac{b c sin ( A )}{a b c} = \frac{a c sin ( B )}{a b c} = \frac{a b sin ( C )}{a b c}

SimpQuot

Förenkla kvot

\frac{sin ( A )}{a} = \frac{sin ( B )}{b} = \frac{sin ( C )}{c}

Detta är alltså sinussatsen.

Q.E.D.

Övningar

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.