{{ option.label }} add
menu_book {{ printedBook.name}}
arrow_left {{ state.menu.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
arrow_left {{ state.menu.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
arrow_left {{ state.menu.current.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
Mathleaks
Använd offline
Expandera meny menu_open
Trigonometri

Areasatsen

{{ 'ml-article-collection-answers-hints-solutions' | message }}
tune
{{ topic.label }}
{{tool}}
{{ result.displayTitle }}
{{ result.subject.displayTitle }}
navigate_next

Kanaler

Direktmeddelanden


Teori

Triangelsatserna

De trigonometriska funktionerna sinus, cosinus och tangens är definierade utifrån, och används ofta i samband med, rätvinkliga trianglar. Men är de även användbara för godtyckliga trianglar?

Ja, genom att använda definitionerna för sinus och cosinus kan man härleda satser för att bestämma area, vinklar och sidor för en godtycklig triangel. Dessa brukar kallas för triangelsatserna: areasatsen, sinussatsen och cosinussatsen.

Regel

Areasatsen

Om man känner till en triangels bas och höjd kan man bestämma dess area med hjälp av areaformeln för en triangel. Ibland känner man dock inte till höjden, men om man vet två sidlängder och den mellanliggande vinkeln kan man använda areasatsen.

I formeln är a och b sidlängder i triangeln och C är den vinkel som ligger mellan dem.

Det går bra att använda vilket par av sidlängder som helst så länge man känner till den mellanliggande vinkeln. Om man t.ex. känner till sidorna b och c i triangeln måste man känna till vinkeln A.

Bevis

Areasatsen

Arean av en triangel bestäms vanligtvis med formeln där b är bredden på triangeln och h är höjden. Även areasatsen bygger på denna formel, men h bestäms med trigonometri. Beviset måste göras för två fall eftersom den mellanliggande vinkeln antingen kan vara spetsig eller trubbig.

Bevis

Mellanliggande vinkel är spetsig

Höjden delar triangeln i två rätvinkliga trianglar, där den ena har sidan a som hypotenusa.
Då kan man med hjälp av definitionen av sinus ställa upp ett uttryck för höjden h.
Man ersätter sedan h i formeln med detta uttryck.
Detta är areasatsen.

Bevis

Mellanliggande vinkel är trubbig

C är trubbig bevisas areasatsen lite annorlunda. Genom att förlänga triangelns bas och markera höjden h vinkelrätt mot den förlängda basen bildas en rätvinklig triangel.

Sidovinkeln till C, som är utgör en av vinklarna i den nya triangel som skapats. Utgår man från denna vinkel får man, enligt definitionen för sinus,
Med hjälp av sambandet kan man visa att även detta går att skriva om till areasatsen.
Man ersätter sedan h i formeln med detta uttryck på samma sätt som tidigare.
Q.E.D.

Exempel

Bestäm arean med areasatsen

fullscreen

Bestäm triangelns area. Avrunda till en decimal.

Visa Lösning expand_more
Vi känner inte till någon höjd i triangeln. Däremot vet vi två av sidorna, 3 och 4, samt dess mellanliggande vinkel . Det betyder att vi kan använda areasatsen för att bestämma triangelns area.
Triangelns area är ca 5.7 ae.

Exempel

Bestäm vinkeln med areasatsen

fullscreen

För en triangel ABC gäller det att sidan AB=13.8 cm, sidan BC=7.8 cm och att arean är 45.5 cm2. Hur stor kan vinkel B vara som ligger mellan sidorna AB och BC? Avrunda svaret till heltal.

Visa Lösning expand_more
Eftersom vi känner till arean för triangeln samt längden på sidorna omkring den vinkel vi ska bestämma kan vi använda areasatsen. Vi sätter in de kända värdena i satsen och löser sedan ut vinkel B.
Vinkel B kan alltså vara ca Vi måste dock komma ihåg att det enligt sambandet alltid finns 2 vinklar på intervallet med samma sinusvärde. Vi bestämmer därför även vinkeln :
Den mellanliggande vinkeln B kan alltså vara antingen eller
arrow_left
arrow_right
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward
arrow_left arrow_right
close
Community