mathleaks.se mathleaks.se Startsida kapitel home Startsida Historik history Historik expand_more Community
Community expand_more
menu_open Stäng
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
Expandera meny menu_open home
{{ courseTrack.displayTitle }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
{{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
search Använd offline Verktyg apps
Logga in account_circle menu_open
Trigonometri

Areasatsen


Teori

Triangelsatserna

De trigonometriska funktionerna sinus, cosinus och tangens är definierade utifrån, och används ofta i samband med, rätvinkliga trianglar. Men är de även användbara för godtyckliga trianglar?

Ja, genom att använda definitionerna för sinus och cosinus kan man härleda satser för att bestämma area, vinklar och sidor för en godtycklig triangel. Dessa brukar kallas för triangelsatserna: areasatsen, sinussatsen och cosinussatsen.

Regel

Areasatsen

Om man känner till en triangels bas och höjd kan man bestämma dess area med hjälp av areaformeln för en triangel. Ibland känner man dock inte till höjden, men om man vet två sidlängder och den mellanliggande vinkeln kan man använda areasatsen.

I formeln är och sidlängder i triangeln och är den vinkel som ligger mellan dem.

Det går bra att använda vilket par av sidlängder som helst så länge man känner till den mellanliggande vinkeln. Om man t.ex. känner till sidorna och i triangeln måste man känna till vinkeln

Bevis

Areasatsen

Arean av en triangel bestäms vanligtvis med formeln där är bredden på triangeln och är höjden. Även areasatsen bygger på denna formel, men bestäms med trigonometri. Beviset måste göras för två fall eftersom den mellanliggande vinkeln antingen kan vara spetsig eller trubbig.

Bevis

Mellanliggande vinkel är spetsig

Höjden delar triangeln i två rätvinkliga trianglar, där den ena har sidan som hypotenusa.
Då kan man med hjälp av definitionen av sinus ställa upp ett uttryck för höjden
Man ersätter sedan i formeln med detta uttryck.
Detta är areasatsen.

Bevis

Mellanliggande vinkel är trubbig

är trubbig bevisas areasatsen lite annorlunda. Genom att förlänga triangelns bas och markera höjden vinkelrätt mot den förlängda basen bildas en rätvinklig triangel.


Sidovinkeln till som är utgör en av vinklarna i den nya triangel som skapats. Utgår man från denna vinkel får man, enligt definitionen för sinus, Med hjälp av sambandet kan man visa att även detta går att skriva om till areasatsen.

Man ersätter sedan i formeln med detta uttryck på samma sätt som tidigare.
Q.E.D.
fullscreen
Uppgift

Bestäm triangelns area. Avrunda till en decimal.

Visa Lösning
Lösning
Vi känner inte till någon höjd i triangeln. Däremot vet vi två av sidorna, och samt dess mellanliggande vinkel . Det betyder att vi kan använda areasatsen för att bestämma triangelns area.
Triangelns area är ca ae.
fullscreen
Uppgift

För en triangel gäller det att sidan cm, sidan cm och att arean är cm Hur stor kan vinkel vara som ligger mellan sidorna och ? Avrunda svaret till heltal.

Visa Lösning
Lösning
Eftersom vi känner till arean för triangeln samt längden på sidorna omkring den vinkel vi ska bestämma kan vi använda areasatsen. Vi sätter in de kända värdena i satsen och löser sedan ut vinkel
Vinkel kan alltså vara ca Vi måste dock komma ihåg att det enligt sambandet alltid finns vinklar på intervallet med samma sinusvärde. Vi bestämmer därför även vinkeln : Den mellanliggande vinkeln kan alltså vara antingen eller
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward