Areasatsen

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Teori

Triangelsatserna

De trigonometriska funktionerna sinus, cosinus och tangens är definierade utifrån, och används ofta i samband med, rätvinkliga trianglar. Men är de även användbara för godtyckliga trianglar?

Ja, genom att använda definitionerna för sinus och cosinus kan man härleda satser för att bestämma area, vinklar och sidor för en godtycklig triangel. Dessa brukar kallas för triangelsatserna: areasatsen, sinussatsen och cosinussatsen.
Regel

Areasatsen

Om man känner till en triangels bas och höjd kan man bestämma dess area med hjälp av areaformeln för en triangel. Ibland känner man dock inte till höjden, men om man vet två sidlängder och den mellanliggande vinkeln kan man använda areasatsen.

Area=absin(C)2\text{Area}=\dfrac{ab\sin(C)}{2}

I formeln är aa och bb sidlängder i triangeln och CC är den vinkel som ligger mellan dem.

Det går bra att använda vilket par av sidlängder som helst så länge man känner till den mellanliggande vinkeln. Om man t.ex. känner till sidorna bb och cc i triangeln måste man känna till vinkeln A.A.

Bevis

Areasatsen

Arean av en triangel bestäms vanligtvis med formeln A=bh2,A = \frac{bh}{2}, där bb är bredden på triangeln och hh är höjden. Även areasatsen bygger på denna formel, men hh bestäms med trigonometri. Beviset måste göras för två fall eftersom den mellanliggande vinkeln antingen kan vara spetsig eller trubbig.

Bevis

Mellanliggande vinkel är spetsig

Höjden delar triangeln i två rätvinkliga trianglar, där den ena har sidan aa som hypotenusa.

Då kan man med hjälp av definitionen av sinus ställa upp ett uttryck för höjden h.h.
sin(v)=Motstende kateta˚Hypotenusa\sin(v)=\dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Hypotenusa}}
sin(C)=ha\sin(C)=\dfrac{h}{a}
asin(C)=ha\sin(C)=h
h=asin(C)h=a\sin(C)
Man ersätter sedan hh i formeln A=bh2A=\frac{bh}{2} med detta uttryck.
A=bh2A=\dfrac{bh}{2}
A=basin(C)2A=\dfrac{b\cdot {\color{#0000FF}{a\sin(C)}}}{2}
A=absin(C)2A=\dfrac{ab\sin(C)}{2}
Detta är areasatsen.
Bevis

Mellanliggande vinkel är trubbig

CC är trubbig bevisas areasatsen lite annorlunda. Genom att förlänga triangelns bas och markera höjden hh vinkelrätt mot den förlängda basen bildas en rätvinklig triangel.


Sidovinkeln till C,C, som är 180C,180^\circ - C, utgör en av vinklarna i den nya triangel som skapats. Utgår man från denna vinkel får man, enligt definitionen för sinus, sin(180C)=ha. \sin(180^\circ-C)=\dfrac{h}{a}. Med hjälp av sambandet sin(180v)=sin(v)\sin(180^\circ-v)=\sin(v) kan man visa att även detta går att skriva om till areasatsen.

sin(180C)=ha\sin(180^\circ-C)=\dfrac{h}{a}
sin(C)=ha\sin(C)=\dfrac{h}{a}
asin(C)=ha \sin(C)=h
Man ersätter sedan hh i formeln A=bh2A=\frac{bh}{2} med detta uttryck på samma sätt som tidigare.
A=bh2A=\dfrac{bh}{2}
A=basin(C)2A=\dfrac{b\cdot {\color{#0000FF}{a\sin(C)}}}{2}
A=absin(C)2A=\dfrac{ab\sin(C)}{2}
Q.E.D.
Uppgift

Bestäm triangelns area. Avrunda till en decimal.

Lösning
Vi känner inte till någon höjd i triangeln. Däremot vet vi två av sidorna, 33 och 4,4, samt dess mellanliggande vinkel 7272^\circ. Det betyder att vi kan använda areasatsen för att bestämma triangelns area.
Area=absin(C)2\text{Area}=\dfrac{ab\sin(C)}{2}
Area=34sin(72)2\text{Area}=\dfrac{3\cdot 4\cdot \sin(72^\circ)}{2}
Area=32sin(72)\text{Area}=3\cdot 2 \cdot \sin(72^\circ)
Area=5.70633\text{Area}=5.70633\ldots
Area5.7\text{Area} \approx 5.7
Triangelns area är ca 5.75.7 ae.
Visa lösning Visa lösning
Uppgift

För en triangel ABCABC gäller det att sidan AB=13.8AB=13.8 cm, sidan BC=7.8BC=7.8 cm och att arean är 45.545.5 cm2.^2. Hur stor kan vinkel BB vara som ligger mellan sidorna ABAB och BCBC? Avrunda svaret till heltal.

Lösning
Eftersom vi känner till arean för triangeln samt längden på sidorna omkring den vinkel vi ska bestämma kan vi använda areasatsen. Vi sätter in de kända värdena i satsen och löser sedan ut vinkel B.B.
Area=absin(C)2\text{Area}=\dfrac{ab\sin(C)}{2}
45.5=13.87.8sin(B)245.5=\dfrac{13.8\cdot7.8\sin(B)}{2}
45.5=107.64sin(B)245.5=\dfrac{107.64\sin(B)}{2}
45.5=53.82sin(B)45.5=53.82\sin(B)
53.82sin(B)=45.553.82\sin(B)=45.5
sin(B)=45.553.82\sin(B)=\dfrac{45.5}{53.82}
B=arcsin(45.553.82)B=\arcsin\left(\dfrac{45.5}{53.82}\right)
B=57.71595B=57.71595\ldots^\circ
Avrunda till närmaste heltal
B58B \approx 58^\circ
Vinkel BB kan alltså vara ca 58.58^\circ. Vi måste dock komma ihåg att det enligt sambandet sin(v)=sin(180v)\sin(v)=\sin(180^\circ-v) alltid finns 22 vinklar på intervallet 0v1800^\circ\leq v\leq180^\circ med samma sinusvärde. Vi bestämmer därför även vinkeln 180B180^\circ-B: 18058=122. 180^\circ-58^\circ=122^\circ. Den mellanliggande vinkeln BB kan alltså vara antingen 5858^\circ eller 122.122^\circ.
Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm trianglarnas areor. Avrunda till en decimal.

a


b


c
1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm trianglarnas areor. Avrunda till en decimal.

a


b
1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Bestäm vinkel vv då det är givet att triangelns area är 4.944.94 ae. Figuren är skalenlig. Avrunda till närmaste heltal.



b

Bestäm vinkel uu då det är givet att triangelns area är 2.222.22 ae. Figuren är skalenlig. Avrunda till närmaste heltal.


1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm arean av fyrhörningen. Avrunda till en decimal.

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En liksidig triangel har sidorna 55 cm. Bestäm dess area. Avrunda till en decimal.

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I en likbent triangel är de lika långa sidorna 66 cm. Figuren är skalenlig.

Vad är vinkeln mellan de lika långa sidorna om triangelns area är 9 cm2?^2?

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm triangelns sidlängder givet att dess area är 1616 cm2.^2.

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm sidorna xx och x+5x+5 i triangeln så att den får arean 66 cm2^2.

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Hur stor kan A\wedge A i triangeln ABCABC vara om triangelns area är 66 cm2,^2, sidan AB=3AB=3 cm och sidan AC=8AC=8 cm?

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Går det att bestämma värdet på vinkeln vv så att triangelns area blir 1212 cm2^2? Motivera!

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Gigliolas studsmatta har fått en stor reva och hon bestämmer sig för att sätta fast en ny matta på sin cirkulära studsmatteställning. Hon köper ett cirkulärt tygstycke med samma diameter som ställningen. För att sedan kunna montera den ska man enligt instruktionerna klippa bort delar på kanterna så att tyget blir en regelbunden niohörning.

Den totala arean av de bortklippta bitarna är 0.90.9 m2^2. Bestäm med hjälp av denna information studsmattans area. Avrunda till en decimal.

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Den röda triangeln har arean 33 ae.

Anton ska bestämma vinkeln mellan de kända sidorna och gör då följande uträkning.

Anton tittar på sin lösning och kliar sig lite i huvudet. Han räcker upp handen och när läraren kommer säger han att vinkeln i triangeln ser ut att vara mycket större än den han räknade ut. Hans lärare som är lite stressad säger att det är nog bara boken som har ritat triangeln fel. Kan man ge Anton ett bättre svar?

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För vilken storlek på vinkel vv är det blå områdets area 179179 ae.? Figuren är skalenlig. Avrunda till närmaste heltal.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vad är det största värdet som triangelns area kan anta?

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm triangelns okända sidor om triangelns omkrets är 1111 cm och dess area är 3.83.8 cm2^2. Avrunda till heltal.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}