Expandera meny menu_open Minimera Gå till startsidan home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu
{{ courseTrack.displayTitle }} {{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
search Använd offline Verktyg apps
Digitala verktyg Grafräknare Geometri 3D Grafritare Geogebra Classic Mathleaks Kalkylator Kodfönster
Kurs & Bok Jämför mattebok Studieläge Avsluta studieläge Skriv ut kurs
Handledning Videohandledningar Formelsamling

Videohandledningar

Hur fungerar Mathleaks

Mathleaks Läromedel

Hur fungerar Mathleaks

play_circle_outline
Studera med en mattebok

Mathleaks Läromedel

Hur studerar man med en mattebok

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Lösningarna finns i appen

play_circle_outline
Verktyg för elever & lärare

Mathleaks Läromedel

Dela statistik med lärare

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skapar man klasser

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skriver man ut kursmaterial?

play_circle_outline

Formelsamling

Formelsamlingar för mattekurser looks_one

Kurs 1

looks_two

Kurs 2

looks_3

Kurs 3

looks_4

Kurs 4

looks_5

Kurs 5

Logga in account_circle menu_open

Areasatsen

Teori

Triangelsatserna

De trigonometriska funktionerna sinus, cosinus och tangens är definierade utifrån, och används ofta i samband med, rätvinkliga trianglar. Men är de även användbara för godtyckliga trianglar?

Ja, genom att använda definitionerna för sinus och cosinus kan man härleda satser för att bestämma area, vinklar och sidor för en godtycklig triangel. Dessa brukar kallas för triangelsatserna: areasatsen, sinussatsen och cosinussatsen.
Regel

Areasatsen

Om man känner till en triangels bas och höjd kan man bestämma dess area med hjälp av areaformeln för en triangel. Ibland känner man dock inte till höjden, men om man vet två sidlängder och den mellanliggande vinkeln kan man använda areasatsen.

Area=absin(C)2\text{Area}=\dfrac{ab\sin(C)}{2}

I formeln är aa och bb sidlängder i triangeln och CC är den vinkel som ligger mellan dem.

Det går bra att använda vilket par av sidlängder som helst så länge man känner till den mellanliggande vinkeln. Om man t.ex. känner till sidorna bb och cc i triangeln måste man känna till vinkeln A.A.

Bevis

info
Areasatsen

Arean av en triangel bestäms vanligtvis med formeln A=bh2,A = \frac{bh}{2}, där bb är bredden på triangeln och hh är höjden. Även areasatsen bygger på denna formel, men hh bestäms med trigonometri. Beviset måste göras för två fall eftersom den mellanliggande vinkeln antingen kan vara spetsig eller trubbig.

Bevis

Mellanliggande vinkel är spetsig

Höjden delar triangeln i två rätvinkliga trianglar, där den ena har sidan aa som hypotenusa.

Då kan man med hjälp av definitionen av sinus ställa upp ett uttryck för höjden h.h.
sin(v)=Motsta˚ende katetHypotenusa\sin(v)=\dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Hypotenusa}}
sin(C)=ha\sin(C)=\dfrac{h}{a}
asin(C)=ha\sin(C)=h
h=asin(C)h=a\sin(C)
Man ersätter sedan hh i formeln A=bh2A=\frac{bh}{2} med detta uttryck.
A=bh2A=\dfrac{bh}{2}
A=basin(C)2A=\dfrac{b\cdot {\color{#0000FF}{a\sin(C)}}}{2}
A=absin(C)2A=\dfrac{ab\sin(C)}{2}
Detta är areasatsen.
Bevis

Mellanliggande vinkel är trubbig

CC är trubbig bevisas areasatsen lite annorlunda. Genom att förlänga triangelns bas och markera höjden hh vinkelrätt mot den förlängda basen bildas en rätvinklig triangel.


Sidovinkeln till C,C, som är 180C,180^\circ - C, utgör en av vinklarna i den nya triangel som skapats. Utgår man från denna vinkel får man, enligt definitionen för sinus, sin(180C)=ha. \sin(180^\circ-C)=\dfrac{h}{a}. Med hjälp av sambandet sin(180v)=sin(v)\sin(180^\circ-v)=\sin(v) kan man visa att även detta går att skriva om till areasatsen.

sin(180C)=ha\sin(180^\circ-C)=\dfrac{h}{a}
sin(C)=ha\sin(C)=\dfrac{h}{a}
asin(C)=ha \sin(C)=h
Man ersätter sedan hh i formeln A=bh2A=\frac{bh}{2} med detta uttryck på samma sätt som tidigare.
A=bh2A=\dfrac{bh}{2}
A=basin(C)2A=\dfrac{b\cdot {\color{#0000FF}{a\sin(C)}}}{2}
A=absin(C)2A=\dfrac{ab\sin(C)}{2}
Q.E.D.
Uppgift

Bestäm triangelns area. Avrunda till en decimal.

Lösning
Vi känner inte till någon höjd i triangeln. Däremot vet vi två av sidorna, 33 och 4,4, samt dess mellanliggande vinkel 7272^\circ. Det betyder att vi kan använda areasatsen för att bestämma triangelns area.
Area=absin(C)2\text{Area}=\dfrac{ab\sin(C)}{2}
Area=34sin(72)2\text{Area}=\dfrac{3\cdot 4\cdot \sin(72^\circ)}{2}
Area=32sin(72)\text{Area}=3\cdot 2 \cdot \sin(72^\circ)
Area=5.70633\text{Area}=5.70633\ldots
Area5.7\text{Area} \approx 5.7
Triangelns area är ca 5.75.7 ae.
info Visa lösning Visa lösning
Uppgift

För en triangel ABCABC gäller det att sidan AB=13.8AB=13.8 cm, sidan BC=7.8BC=7.8 cm och att arean är 45.545.5 cm2.^2. Hur stor kan vinkel BB vara som ligger mellan sidorna ABAB och BCBC? Avrunda svaret till heltal.

Lösning
Eftersom vi känner till arean för triangeln samt längden på sidorna omkring den vinkel vi ska bestämma kan vi använda areasatsen. Vi sätter in de kända värdena i satsen och löser sedan ut vinkel B.B.
Area=absin(C)2\text{Area}=\dfrac{ab\sin(C)}{2}
45.5=13.87.8sin(B)245.5=\dfrac{13.8\cdot7.8\sin(B)}{2}
45.5=107.64sin(B)245.5=\dfrac{107.64\sin(B)}{2}
45.5=53.82sin(B)45.5=53.82\sin(B)
53.82sin(B)=45.553.82\sin(B)=45.5
sin(B)=45.553.82\sin(B)=\dfrac{45.5}{53.82}
B=arcsin(45.553.82)B=\arcsin\left(\dfrac{45.5}{53.82}\right)
B=57.71595B=57.71595\ldots^\circ
B58B \approx 58^\circ
Vinkel BB kan alltså vara ca 58.58^\circ. Vi måste dock komma ihåg att det enligt sambandet sin(v)=sin(180v)\sin(v)=\sin(180^\circ-v) alltid finns 22 vinklar på intervallet 0v1800^\circ\leq v\leq180^\circ med samma sinusvärde. Vi bestämmer därför även vinkeln 180B180^\circ-B: 18058=122. 180^\circ-58^\circ=122^\circ. Den mellanliggande vinkeln BB kan alltså vara antingen 5858^\circ eller 122.122^\circ.
info Visa lösning Visa lösning
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward