Areasatsen

Vi vet att vinkeln som ligger mellan de två sidorna är 30^(∘). Genom att sätta in vinkeln och uttrycken för sidorna i areasatsen får vi en ekvation som kan lösas för att bestämma x.

Vi löser denna andragradsekvation med pq-formeln.

Både x=- 8 och x=3 löser ekvationen. Sidan i en triangel kan dock inte vara negativ så x=3 är den enda giltiga lösningen. Sidorna i triangeln är alltså 3 cm och 3+5=8 cm.

Vinkeln A kommer att ligga mellan de givna sidorna AB och AC. Eftersom vi även vet triangelns area kan vi beräkna ∧ A med areasatsen.

När triangelns area är 6 cm^2 och AC=3 cm och BC=8 cm kan den mellanliggande vinkeln alltså vara 30^(∘).

Men enligt sambandet sin(v)=sin(180^(∘)-v) ger vinkeln 180^(∘) -A samma sinusvärde som vinkeln A och därmed samma area. Vinkeln ∧ A kan alltså även vara 180^(∘)-30^(∘)=150^(∘), vilket ger triangeln ett helt annat utseende.

Det finns alltså två korrekta värden på ∧ A: 30 ^(∘) eller 150 ^(∘).

Genom att sätta in arean 12 cm^2 och de två kända sidorna i areasatsen kan vi lösa ut vad den mellanliggande vinkeln måste vara.

Ekvationen sin(v)=2 kan inte lösas eftersom sinusvärdet för en vinkel aldrig kan bli större än 1. Sinus definieras som sin(v)=Motstående katet/Hypotenusa och eftersom hypotenusan aldrig kan vara kortare än någon av kateterna så måste Motstående katet/Hypotenusa≤ 1. Vi kan därför konstatera att det inte kan bildas någon triangel med sidlängderna 3 och 4 som har arean 12 cm^2 oavsett vad den mellanliggande vinkeln är.

Om vi kallar ställningens radie för r kan studsmattans area, A, uttryckas som differensen mellan det cirkulära tygstyckets area, π r^2, och det bortklippta tygets area 0.9 m^2: A=π r^2-0.9. Eftersom vi varken känner till A eller r behöver vi ett annat samband som innehåller A och r. Vi uttrycker därför studsmattans area genom att dela upp den i 9 lika stora likbenta trianglar och noterar att trianglarnas lika långa sidor är lika med cirkelns radie.

De 9 toppvinklarna utgör tillsammans 360^(∘), eftersom de bildar ett helt varv, vilket betyder att varje toppvinkel är 360^(∘)/9=40^(∘). Varje triangel har alltså två sidor som är r m och en mellanliggande vinkel på 40^(∘).

Areasatsen ger att arean för en av dessa trianglar är r^2sin(40^(∘))2. Genom att multiplicera detta med 9 får vi ett uttryck för hela studsmattans area: A=9*r^2sin(40^(∘))/2=4.5r^2sin(40^(∘)). Nu har vi två ekvationer som innehåller A och r^2. Genom att bryta ut r^2 ur den ena och sätta in i den andra kan vi bestämma A.

Vi sätter in detta i den andra ekvationen och löser ut A.

Gigliolas nya studsmatta har alltså en area på ca 10.5 m^2.

Sinusvärdet för en vinkel v är lika stort som sinusvärdet för vinkeln 180^(∘)-v, dvs. sin(v)=sin(180^(∘)-v).

När man beräknar en vinkel med räknaren svarar den dock alltid med den vinkel som ligger i intervallet 0^(∘)≤ v≤ 90^(∘). För att hitta den trubbiga vinkeln v i den röda triangeln måste vi alltså subtrahera 35^(∘) från 180^(∘): v=180^(∘)-35^(∘)=145^(∘). Vinkel v är alltså 145^(∘).

Vi börjar med kalla hela arean för A och arean av de mindre trianglarna för A_1-A_4. Hela arean kan då skrivas A=A_1+A_2+A_3+A_4.

Vi ska nu bestämma för vilken storlek på vinkel v som A=179 a.e. För att göra det måste vi hitta ett uttryck för trianglarnas areor som innehåller vinkel v. Så hur gör vi det? Jo, med hjälp av areasatsen. Vi känner till två sidor i varje triangel och anger mellanliggande vinkel som v. A_1&=15*16sin(v)/2 A_2&=16*17sin(v)/2 A_3&=17*18sin(v)/2 A_4&=18*19sin(v)/2 Genom att sätta summan av dessa fyra areauttryck lika med 179 a.e. får vi en ekvation där vi kan lösa ut och bestämma vinkel v.

Vinkel v ska vara ungefär 18^(∘) för att det blå områdets area ska vara 179 a.e.