3. Volym och begränsningsarea
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 5
2.
Volym och begränsningsarea
Lektionen fokuserar på begreppen volym och begränsningsyta inom geometri. Den förklarar hur man beräknar volymen av olika tredimensionella former, inklusive cylindrar, koner, sfärer och pyramider. Innehållet ger formler och exempel för att bestämma volymen och begränsningsytan av dessa former. Till exempel illustrerar den hur man beräknar volymen av ett cirkustält genom att summera volymerna av en cylindrisk del och en konisk del. Den förklarar också hur man omvandlar mellan olika volymenheter, såsom kubikcentimeter och liter. Sidan inkluderar praktiska exempel, som att beräkna mängden medicin som behövs under en viss tid eller bestämma volymen på Louvren-pyramiden. Informationen presenteras på ett klart och förståeligt sätt, vilket gör den tillgänglig för studenter som studerar geometri.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 11 sidor teori |
| | 13 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Volym och begränsningsarea
Sida av 11
Storleken på ytan av en tvådimensionell figur kallas för area. Tredimensionella figurer, eller kroppar, består av en eller flera ytor och summan av dessa kallas för figurens begränsningsarea. Ett annat användbart mått för att beskriva tredimensionella figurer är volym, som anger hur mycket en kropp rymmer. Volym beräknas på olika sätt beroende på hur kroppen ser ut.
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Volym och begränsningsarea
- Omvandla volymenheter
Teori
Volym och begränsningsarea av ett rätblock
Ett rätblock är den tredimensionella motsvarigheten till en rektangel.
Dess volym och begränsningsarea bestäms av längden, ℓ, bredden, b, och höjden, h.
VolymV=bhBegra¨nsningsareaA=2bℓ+2bh+2ℓh
Teori
Volym och begränsningsarea av en kub
En kub är ett rätblock där alla kanter är lika långa, dvs. den tredimensionella motsvarigheten till en kvadrat.
Volymen och begränsningsarean bestäms av längden på kanterna, a.
VolymV=a3Begra¨nsningsareaA=6a2
Teori
Volym och begränsningsarea av ett klot
Ett klot är en bollformad kropp.
Man beräknar volymen och begränsningsarean med hjälp av klotets radie, r.
VolymV=34πr3Begra¨nsningsareaA=4πr2
Teori
Volym och begränsningsarea av en cylinder
En cylinder är en tredimensionell kropp där två likadana parallella cirkelskivor binds ihop av en böjd yta som kallas mantel.
Vecklar man ut manteln ser man att den är en rektangel med en längd som är lika med cirkelskivornas omkrets. Volym och begränsningsarea bestäms med hjälp av cirkelskivans radie, r, och cylinderns höjd, h.
VolymV=πr2hMantelareaA=2πrh
Teori
Volym och begränsningsarea av en kon
En kon är en tredimensionell kropp som består av en cirkelformad basyta och en böjd mantelyta som skapar en spets.
Volymen beräknas med basytans radie, r, och höjden, h, som är det vinkelräta avståndet från basytan till spetsen. Begränsningsarean beräknas istället med radien, r, och avståndet från basytans kant till spetsen, s.
VolymV=3πr2hMantelareaA=πrs
Teori
Volym och begränsningsarea av en pyramid
En pyramid är en tredimensionell kropp med basyta i form av en månghörning och tre eller fler triangelformade sidor.
Volymen bestäms av basytan B, och pyramidens höjd, h, som är det vinkelräta avståndet från basytan till spetsen. Begränsningsarean beräknas som summan av basytans och sidytornas areor.
VolymV=3Bh
Teori
Volym och begränsningsarea av ett rakt prisma
Ett rakt prisma är en tredimensionell kropp med två identiska polygonala baser som förbinds av rektangulära sidoytor.
Volymen bestäms av basytans area B och prismats höjd, h, som är det vinkelräta avståndet mellan baserna. Begränsningsarean beräknas som summan av areorna för de två baserna och sidoytorna.
VolymV=Bh
Exempel
Beräkna volymen och begränsningsarean
Benno är en djupt olycklig clown och försöker muntra upp sig själv med ett nytt cirkustält.
a Beräkna tältets volym.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.83333em;vertical-align:-0.15em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.22222em;\">V<\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t vlist-t2\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.2805559999999999em;\"><span style=\"top:-2.5500000000000003em;margin-left:-0.22222em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mathdefault mtight\">t<\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"vlist-s\">\u200b<\/span><\/span><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"><span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.8141079999999999em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.03588em;\">\u03c0<\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord text\"><span class=\"mord\">\u00a0<\/span><span class=\"mord Roboto-Regular\">m<\/span><\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.8141079999999999em;\"><span style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\">2<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>","answer":{"text":["\\dfrac{5}{3}","1\\dfrac{2}{3}"]}}
b Beräkna tältets begränsningsarea.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.83333em;vertical-align:-0.15em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord mathdefault\">A<\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t vlist-t2\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.2805559999999999em;\"><span style=\"top:-2.5500000000000003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mathdefault mtight\">t<\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"vlist-s\">\u200b<\/span><\/span><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"><span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.8141079999999999em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.03588em;\">\u03c0<\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord text\"><span class=\"mord\">\u00a0<\/span><span class=\"mord Roboto-Regular\">m<\/span><\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.8141079999999999em;\"><span style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\">2<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>","answer":{"text":["4,1"]}}
Lösning
a Tältet har en cylindrisk bas och en konformad topp. För att bestämma dess volym måste volymerna av dessa två delar beräknas separat.
Cylinderns volym
En cylinders volym beräknas med formelnV=πr2h.
I figuren ser vi att cylinderns radie, r, är 1 m och att höjden, h, är 1,5 m. Vi sätter in detta i formeln.
Volymen av cylindern är 1.5π m3. Konens volym
Konens volym beräknas med formelnV=3πr2h.
Eftersom konens radie, r, är samma som cylinderns vet vi att den är 1 m. Konens höjd, h, är 0,5 m.
V=3πr2h
SubstituteII
r=1 och h=0.5
V=3π⋅12⋅0,5
SimpPowProd
Förenkla potens & produkt
V=3π⋅0,5
RearrangeFac
Omarrangera faktorer
V=30,5π
Tältets volym
Nu beräknar vi tältets volym, Vt, genom att summera volymen av cylinderns och konens volym.Vt=1,5π+30,5π
NumberToFrac
a=33⋅a
Vt=33⋅1,5π+30,5π
Multiply
Multiplicera faktorer
Vt=34,5π+30,5π
AddFrac
Addera bråk
Vt=35π
b Tältets area kan bestämmas med en liknande metod som för volymen. Detta innebär att ytorna för botten och toppen bestäms separat.
Cylinderns begränsningsarea
När vi beräknar cylinderns begränsningsarea måste vi tänka på att den inte har något lock eller botten. Det innebär att vi endast behöver beräkna mantelarean. Det gör vi med formelnA=2πrh.
Vi känner till cylinderns radie och höjd så vi sätter in dem i formeln.
Mantelarean är 3π m2. Nu bestämmer vi begränsningsarean för den konformade delen av tältet. Konens begränsningsarea
Eftersom vi inte har någon basyta att ta hänsyn till behöver vi bara bestämma konens mantelarea. Det gör vi med formelnA=πrs.
Sedan tidigare vet vi att radien är 1 m och avståndet s, från basytans kant till spetsen, kan vi läsa av från figuren till 1,1 m. Vi sätter in detta i formeln.
A=π⋅1⋅1,1=1,1π
Begränsningsarean är alltså 1,1π m2 för den konformade delen. Tältets begränsningsarea
Till sist summerar vi begränsningsareorna för cylindern och konen för att bestämma tältets totala begränsningsarea, At.At=3π+1,1π=4,1π m2
Teori
Omvandla volymenheter
Ibland kan man vilja byta enhet när man ska ange en volym. Genom att multiplicera eller dividera med 1000 ett visst antal gånger kan man växla mellan de vanligaste volymenheterna. För vätskor brukar man använda enheten liter, som motsvarar dm3, eller varianter av den, t.ex. milliliter.
Vill man omvandla från exempelvis kubikdecimeter till kubikcentimeter måste man dividera med 1000, eftersom det går 1000 cm3 på 1 dm3. På motsvarande sätt multiplicerar man med 1000 för att omvandla från kubikdecimeter till kubikcentimeter. Volymen 2500 cm3 kan alltså skrivas om som
10002500=2,5 dm3.
Övning
Beräkning av volym eller begränsningsarea för en geometrisk kropp
Använd informationen i diagrammet för att beräkna volymen eller begränsningsarean av den geometriska kroppen, enligt frågan. Om tillämpligt är basen en regelbunden polygon.
Volym och begränsningsarea
Övningar
När Peter och Lisa var på café blev de serverade mjölk till kaffet i en regelbunden tetraeder. Lisa visste att man kan räkna ut volymen av en sådan förpackning med hjälp av formeln:
V=12k3⋅2da¨r k motsvarar kantla¨ngden.
Peter mätte kantens längd på tetraedern till 6 cm och beräknade volymen med hjälp av formeln. På förpackningen står att den innehåller 2 cl mjölk. Ryms det i förpackningen? Motivera ditt svar med beräkningar.
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
Nationella provet VT10 MaA
security
report
code
security
report
code
Vi sätter in tetraederns kantlängd i formeln och beräknar volymen. Eftersom vi räknar med längdenheten cm blir volymen i cm^3. Tetraedern rymmer alltså 25 cm^3. Om informationen på förpackningen är korrekt ska denna volym vara minst lika med 2cl. Omvandlingsfaktorn från cm^3 till cl är dock inte helt uppenbar så låt oss först göra om den beräknade volymen till dm^3 som är lika med 1 liter.
Omvandling från cm^3 till dm^3
Det går 10cm på 1dm, vilket innebär att det går 10*10*10=1000 cm^3 på 1 dm^3. För att få volymen i dm^3 ska vi därför dividera med 1000: 25/1000= 0,025 dm^3.
Omvandling från dm^3 till cl
Förpackningen rymmer alltså 0,025 dm^3 vilket är samma sak som 0,025 liter. Nu ska vi göra om detta till cl. Prefixet centi står för hundradel så 1cl är en hundradels liter. Det betyder att 0,025 liter är 0,025 * 100 = 2,5 cl. Tetraedern rymmer ca 2,5cl vilket innebär att det ryms 2cl i förpackningen.
security
report
code
En golfbolls diameter är 4,12 cm. Hur stor andel av askens volym upptas av golfbollar? Avrunda till hela procent.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.80556em;vertical-align:-0.05556em;\"><\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.16666666666666666em;\"><\/span><span class=\"mord\">%<\/span><\/span><\/span><\/span>","answer":{"text":["52"]}}
security
report
code
security
report
code
För att besvara frågan behöver vi veta volymen av golfbollarna och asken.
Askens volym
Asken är ett rätblock där höjden och bredden båda är lika med en golfbolls diameter, dvs. 4,12 cm. Det får plats 3 golfbollar i asken, så längden är lika med tre golfbollars diameter: 3* 4,12=12,36cm. Nu kan vi beräkna rätblockets volym genom att multiplicera bredden, längden och höjden.
Lådans volym är alltså ungefär 209,80 cm^3.
Golfbollarnas volym
En golfboll är formad som ett klot och volymen av ett klot beräknas med formeln V=4π r^3/3. Vi vet att diametern är 4,12 cm så radien måste vara hälften så stor, alltså 2,06 cm. Vi sätter in detta i formeln för att beräkna volymen.
Eftersom det finns totalt 3 golfbollar i asken blir den totala volymen av golfbollarna 3* 36,62=109,86 cm^3.
Andel
Nu kan vi beräkna hur stor andel av lådan som golfbollarna tar upp genom att dividera golfbollarnas volym med lådans volym. Vi får 109,86/209,80 = 0,52364... ≈ 0,52 =52 %. Golfbollarna tar alltså upp lite mer än hälften av volymen i lådan.
security
report
code
Hur många kvadratcentimeter plast går det åt till att konstruera 100 ihåliga vägkoner som den i figuren? Svara i hela tusental.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"cm<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.8141079999999999em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span><\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.8141079999999999em;\"><span style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\">2<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>","answer":{"text":["110000"]}}
security
report
code
security
report
code
Vägkonen består av två delar, en ihålig kon och en fot som konen står på. Vi beräknar begränsningsarean för båda dessa och adderar dem.
Konens begränsningsarea
Eftersom konen är ihålig saknar den botten. Det är alltså enbart mantelarean vi är intresserade av och den kan beräknas med formeln A=π rs, där r är radien och s är längden på sidan. Eftersom diametern är 16 cm blir radien 8 cm. Vi sätter in det samt sidlängden 36 cm.
Mantelarean för konen är ungefär 904,8 cm^2.
Fotens area
Foten är en kvadrat med sidan 20cm. Eftersom konen sitter på foten har den kvadratiska ytan ett hål i mitten med radien 8cm. För att bestämma fotens area beräknar man alltså sidan i kvadrat och subtraherar sedan konens cirkulära basyta. A_(fot) = 20^2 - π * 8^2 ≈ 198,9 cm^2
Total begränsningsarea
Vi lägger till sist ihop areorna för att bestämma konens totala begränsningsarea som vi kallar A_B: A_B≈904,8+198,9 ≈ 1 103,7 cm^2. Eftersom 100 vägkoner ska produceras blir den totala mängden plast 1 103,7* 100 =110 370≈ 110 000cm^2.
security
report
code
Små lådor med yttermåtten 4 cm×4 cm×4 cm ska packas i en kartong med innermåtten 24 cm×21 cm ×18 cm. Hur många små lådor får högst plats i kartongen?
Nationella provet HT00 MaA
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"l\u00e5dor","answer":{"text":["120"]}}
security
report
code
security
report
code
För att bestämma hur många lådor som får plats i kartongen måste vi först undersöka hur många lådor som går in på varje ledd i kartongen. Det gör vi genom att dividera kartongens sidlängder med lådornas sidlängder, vilka är 4cm. Längs med kanten som är 24cm får det plats 24/4 = 6 lådor. Längs med sidan som är 21cm lång får man in 21/4 = 5,25 lådor. Det är dock inte möjligt att lägga in bitar av lådor i kartongen så vi blir tvungna att avrunda neråt. Vi får alltså in maximalt 5 lådor på den ledden och så blir det lite plats över. Om de två sidorna vi har tittat på är kartongens bottenarea ser det ut på följande sätt när man har lagt ner ett lager lådor.
Det blir samma sak för den sista sidan. Den är 18cm lång, vilket innebär att det går in 18/4 = 4,5 lådor. Vi avrundar neråt igen och ser att det går in 4 lådor på höjden. Totalt rymmer alltså kartongen 6 * 5 * 4 = 120 lådor. Det blir dock lite volym över som inte går att utnyttja.
security
report
code
Volym och begränsningsarea
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll