Volym och begränsningsarea

Vi sätter in tetraederns kantlängd i formeln och beräknar volymen. Eftersom vi räknar med längdenheten cm blir volymen i cm^3. Tetraedern rymmer alltså 25 cm^3. Om informationen på förpackningen är korrekt ska denna volym vara minst lika med 2cl. Omvandlingsfaktorn från cm^3 till cl är dock inte helt uppenbar så låt oss först göra om den beräknade volymen till dm^3 som är lika med 1 liter.

Omvandling från cm^3 till dm^3

Det går 10cm på 1dm, vilket innebär att det går 10*10*10=1000 cm^3 på 1 dm^3. För att få volymen i dm^3 ska vi därför dividera med 1000: 25/1000= 0,025 dm^3.

Omvandling från dm^3 till cl

Förpackningen rymmer alltså 0,025 dm^3 vilket är samma sak som 0,025 liter. Nu ska vi göra om detta till cl. Prefixet centi står för hundradel så 1cl är en hundradels liter. Det betyder att 0,025 liter är 0,025 * 100 = 2,5 cl. Tetraedern rymmer ca 2,5cl vilket innebär att det ryms 2cl i förpackningen.

När man börjar hälla i vattnet kommer det att skapa ett rätblock med samma basyta som akvariet och en höjd som beror på hur mycket vatten man har hällt i. Volymen av ett rätblocks beräknas genom att multiplicera bredden, längden och höjden: V=b * l * h. Från uppgiften har vi fått information om akvariets bredd och längd och vi vet även hur mycket vatten som hällts i, alltså volymen. Genom att sätta in dessa värden i formeln ovan kan vi lösa ut h och beräkna hur högt vattnet når. Innan vi kan göra detta måste vi dock omvandla vissa av enheterna.

Enhetsomvandlig

Eftersom 1 liter är lika med 1 dm^3 väljer vi att göra om akvariets mått till dm. Bredden står redan i dm och längden är 10 dm eftersom det går 10 dm på 1.0 m. Vi får alltså: V = 10 dm^3, b = 4,0 dm och l = 10 dm.

Hur högt når vattnet?

Då sätter vi in våra värden i formeln och löser ut höjden h.

Vi får att vattnet når en höjd på 0,25dm, alltså 2,5cm.

Det nya akvariet har hälften så stor längd och bredd, dvs. att längden är 5dm och bredden är 2dm. Man häller dock fortfarande ner 10 liter vatten i det, så volymen som vi räknar på är fortfarande 10 dm^3. Vi sätter in dessa värden i volymformeln för rätblock och löser ut h för att se hur högt upp vattenytan hamnar nu.

Vattnet når alltså 1dm upp, dvs. 10cm. Peter har fel då vattnet i det mindre akvariet har en höjd som är 10/2,5=4 gånger större. Detta är på grund av att både basen och längden har halverats, vilket ger att basytan blir 2* 2 = 4 gånger mindre. Höjden måste då bli 4 gånger så lång för att få plats med samma volym.

För att besvara frågan behöver vi veta volymen av golfbollarna och asken.

Askens volym

Asken är ett rätblock där höjden och bredden båda är lika med en golfbolls diameter, dvs. 4,12 cm. Det får plats 3 golfbollar i asken, så längden är lika med tre golfbollars diameter: 3* 4,12=12,36cm. Nu kan vi beräkna rätblockets volym genom att multiplicera bredden, längden och höjden.

Lådans volym är alltså ungefär 209,80 cm^3.

Golfbollarnas volym

En golfboll är formad som ett klot och volymen av ett klot beräknas med formeln V=4π r^3/3. Vi vet att diametern är 4,12 cm så radien måste vara hälften så stor, alltså 2,06 cm. Vi sätter in detta i formeln för att beräkna volymen.

Eftersom det finns totalt 3 golfbollar i asken blir den totala volymen av golfbollarna 3* 36,62=109,86 cm^3.

Andel

Nu kan vi beräkna hur stor andel av lådan som golfbollarna tar upp genom att dividera golfbollarnas volym med lådans volym. Vi får 109,86/209,80 = 0,52364... ≈ 0,52 =52 %. Golfbollarna tar alltså upp lite mer än hälften av volymen i lådan.

Vägkonen består av två delar, en ihålig kon och en fot som konen står på. Vi beräknar begränsningsarean för båda dessa och adderar dem.

Konens begränsningsarea

Eftersom konen är ihålig saknar den botten. Det är alltså enbart mantelarean vi är intresserade av och den kan beräknas med formeln A=π rs, där r är radien och s är längden på sidan. Eftersom diametern är 16 cm blir radien 8 cm. Vi sätter in det samt sidlängden 36 cm.

Mantelarean för konen är ungefär 904,8 cm^2.

Fotens area

Foten är en kvadrat med sidan 20cm. Eftersom konen sitter på foten har den kvadratiska ytan ett hål i mitten med radien 8cm. För att bestämma fotens area beräknar man alltså sidan i kvadrat och subtraherar sedan konens cirkulära basyta. A_(fot) = 20^2 - π * 8^2 ≈ 198,9 cm^2

Total begränsningsarea

Vi lägger till sist ihop areorna för att bestämma konens totala begränsningsarea som vi kallar A_B: A_B≈904,8+198,9 ≈ 1 103,7 cm^2. Eftersom 100 vägkoner ska produceras blir den totala mängden plast 1 103,7* 100 =110 370≈ 110 000cm^2.

För att bestämma hur många lådor som får plats i kartongen måste vi först undersöka hur många lådor som går in på varje ledd i kartongen. Det gör vi genom att dividera kartongens sidlängder med lådornas sidlängder, vilka är 4cm. Längs med kanten som är 24cm får det plats 24/4 = 6 lådor. Längs med sidan som är 21cm lång får man in 21/4 = 5,25 lådor. Det är dock inte möjligt att lägga in bitar av lådor i kartongen så vi blir tvungna att avrunda neråt. Vi får alltså in maximalt 5 lådor på den ledden och så blir det lite plats över. Om de två sidorna vi har tittat på är kartongens bottenarea ser det ut på följande sätt när man har lagt ner ett lager lådor.

Det blir samma sak för den sista sidan. Den är 18cm lång, vilket innebär att det går in 18/4 = 4,5 lådor. Vi avrundar neråt igen och ser att det går in 4 lådor på höjden. Totalt rymmer alltså kartongen 6 * 5 * 4 = 120 lådor. Det blir dock lite volym över som inte går att utnyttja.

En kula har formen av ett klot och volymen av ett klot beräknas med formeln V=4π r^3/3. Eftersom vi får vikten per cm^3 måste vi beräkna klotets volym i samma enhet. Det går 10 mm på 1 cm så klotet har en diameter på 1.2 cm och en radie på 0.6 cm. Nu kan vi beräkna volymen i rätt enhet.

Silverkulans volym är alltså ca 0.905 cm^3. Om 1 cm^3 väger 10.5 g så måste 0.905 cm^3 väga 0.905* 10.5≈ 9.5 gram.

Vi provar att öka längd, bredd respektive höjd med 1 cm och ser vad som händer.

Längd

När längden ökas med 1 cm kan vi se det som att vi lägger till ett "extra" rätblock med längden 1 cm, bredden 4 cm och höjden 3 cm.

Volymen av detta extra rätblock får vi genom att multiplicera ihop dess längd, bredd och höjd. V=1*4*3=12 cm^3 Om det ursprungliga rätblockets längd ökar med 1 cm ökar alltså dess volym med 12cm^3.

Bredd

När vi istället ökar bredden med 1 cm har det extra rätblocket bredden 1 cm, längden 8 cm och höjden 3 cm.

Vi beräknar volymen på samma sätt som tidigare, dvs. genom att multiplicera ihop sidlängderna: V=1*8*3=24 cm^3.

Höjd

Ökas höjden med 1 cm får det extra rätblocket höjden 1 cm, längden 8 cm och bredden 4 cm.

Dess volym är V=1*8*4=32 cm^3.

Slutsats

Till sist jämför vi de extra rätblockens volymer, vilka motsvarar det ursprungliga rätblockets volymökning i de olika fallen. L: 12cm^3 B: 24cm^3 H: 32cm^3 Vi kan konstatera att det är längden man bör öka för att volymen ska ändras så lite som möjligt.

Till vår första cylinder väljer vi för enkelhetens skull radien 1 cm och höjden 1 cm. Volymberäkningen blir då som följer.

Volymen hos den här cylindern blir alltså π cm^3.

1 dl är samma sak som 0.1 liter, och är därför 0.1dm^3. Eftersom vi nu har volymen i enheten dm^3 så bör även måtten uttryckas med hjälp av enheten dm. För att lite likna ett decilitermått i kök, så väljer vi radien 0.3 dm. Nu har vi volym och radie hos vår cylinder, och kan då beräkna höjden.

Vi har nu hittat höjden 0.35 dm hos vår cylinder. För att nu kunna bestämma måtten på ritningen så måste vi tänka på vad bredden och höjden hos rektangeln motsvarar för mått hos cylindern.

Om vi tänker oss att vi öppnar upp en cylinder till en rektangel så kan vi se vad som motsvarar vad. Rektangelns bas är alltså samma mått som cylinderns omkrets, och rektangelns höjd är samma mått som cylinderns höjd. Vi behöver nu beräkna cylinderns omkrets.

Cylinderns omkrets är 1.88 dm. Vi kan nu äntligen sätta ut alla mått i vår ritning, och sedan gå vidare till uppgift 3. Ignorera gärna faktumet att ritningen inte är skalenlig.

Först kan vi beräkna hur mycket plåt som går åt för cylindern i uppgift 2. Vi börjar med areaberäkningen för cirkeln.

Cirkeln har alltså arean 0.28 dm^2. Vi går vidare och beräknar arean för rektangeln.

Rektangeln har alltså arean 0.66 dm^2. Totalt får vi då arean 0.28 + 0.66 = 0.94 dm^2 för hela cylindern. Vi går vidare genom att göra samma beräkningar igen, fast med andra värden på radien och höjden. För att inte slösa på utrymme och bandbredd så skriver vi inte ut hela beräkningarna här.

Vi kan här se att mängden använt material skiljer sig beroende på vilka mått som väljs hos decilitermåttet. Från radien 0.3 till 0.1 och 0.5 dm ökar mängden använt material. Det här betyder att det finns en optimal radie där det används så lite material som möjligt, och den ligger mellan 0.1 och 0.5 dm.

Sandlagret kommer få måtten 3.40 m × 4.95 m × 15 cm, eftersom hela terrassen ska ligga på sand. Innan vi beräknar vilken volym det här blir, så behöver vi omvandla höjden 15 cm till m. Det gör vi genom att dividera höjden med 100. 15/100=0.15m Vi har nu bredden, längden och höjden i enheten m, och kan nu beräkna sandlagrets volym med hjälp av formeln för ett rätblocks volym.

Sandlagret kommer alltså ha volymen 2.5245 m^3. Frågan är ju hur många kubikmeter sand Joakim ska köpa, så han kommer behöva köpa 3 m^3 sand för att det ska räcka.

För att kunna avgöra om plattorna räcker eller inte så behöver vi först ta reda på hur många plattor som får plats på bredden och längden. Plattorna har bredd och längd 30cm = 0.3 m. Vi kan nu beräkna hur många plattor som terassens bredd och längd motsvarar.

Eftersom han endast vill lägga hela plattor så måste de tal vi fått avrundas nedåt. På bredden får det plats 11 hela plattor och på längden får det plats 16 hela plattor. Han behöver därför 11 * 16 = 176 plattor för att kunna täcka hela terassen. De 180 som han köpte är alltså tillräckligt.

För att kunna räkna ut hur mycket pengar man fick in måste vi veta hur många bitar som såldes. Tårtan var 2053 meter lång och vi omvandlar tårtans längd till cm att kunna räkna ut antal bitar. 2053m=2053 * 100 = 205 300cm Tårtan var alltså 205 300 cm lång och om varje bit var 25 cm så kommer antalet bitar vara tårtans längd delat på tårtbitens längd. 205 300/25=8212 Det såldes alltså 8212 bitar för 20 kr/st vilket betyder att de totalt fick in 8212 * 20 = 164 240 kr.

Vi kan räkna ut volymen om vi vet hur många kilo chokladbollen vägde totalt. Om vi lägger ihop vikten av alla ingredienser så får vi den totala vikten. Vi läser i texten och hittar följande ingredienser: Smör:& 135kilo Socker:& 180kilo Havregryn:& 162kilo Kakao:& 22.5kilo Vanilj:& 2.7kilo Mocka:& 2.7kilo Vi lägger ihop alla ingredienser och får den totala vikten till 504.9 kg. Om 1 dm^3 av chokladbollen väger 1 kg så är chokladbollens volym 504.9dm^3.

Vi beräknar volymen på rulltårtan och jämför den med volymen på chokladbollen. För att räkna ut volymen av en cylinder beräknar vi arean av basytan och multiplicerar med höjden. Basytan är formad som en cirkel och för att beräkna arean av en cirkel behöver vi veta radien, som är hälften av diametern. r = 7/2=3.5 Rulltårtan har alltså en radie på 3.5 cm och den är 2053 m lång vilket kommer motsvara höjden. Eftersom chokladbollens volym har enheten dm^3 vill vi omvandla längderna till decimeter innan vi räknar ut volymen. Vi börjar med höjden som kommer bli 2053m= 20 530dm och sen radien som blir 3.5cm=3.5/10=0.35dm. Nu kan vi sätta in värden i formeln för att beräkna rulltårtans volym.

Rulltårtans volym är alltså ungefär 7901dm^3 vilket är betyldigt större än chokladbollens som var 504.9 dm^3.

Eftersom vi vet chokladbollens volym 504.9dm^3 från uppgift B kan vi räkna ut dess radie från formeln för volymen av ett klot. Om vi sätter in värdet för volymen i formeln kan vi beräkna radien.

Chokladbollens radie är alltså ungefär 4.9 dm och diametern blir då 2*4.9=9.8 dm.

Det finns ett par olika lösningsmetoder för den här uppgiften, och oändligt många svar. Vi väljer att vårt akvarium ska ha formen av ett rätblock. Ett rätblocks volym beräknas med formeln V = b * l * h. Volymen hos det här akvariet är 160 liter. 1 liter är lika mycket som 1 dm^3, så vi skriver akvariets volym som 160 dm^3. De mått vi väljer kommer alltså ha enheten dm. För att lättare kunna välja sidmått som är heltal så faktoriserar vi 160. 160 = 10 * 16 = 5 * 2 * 2 * 8 Vi behöver inte faktorisera mer än såhär för att hitta lämpliga mått. Vi väljer att använda oss av måtten 5, 4 och 8 dm. Vi låter 8 dm vara längden, 5 dm vara bredden och 4 dm vara höjden. En ritning av akvariet syns nedan.

En solids yta är summan av alla dess sidoytor. När soliden är en kub, är sidoytorna kvadrater med samma kantlängd s.

Eftersom det finns 6 likadana sidoytor, kommer ytan att vara sex gånger arean av en kvadrat. S= s^2 + s^2 + s^2 + s^2 + s^2 + s^2 ⇓ S=6 s^2 Antag att ett block av metamaterial har formen av en kub med en yta på 600 kvadratcentimeter. För att beräkna blockets kantlängd kan vi börja med att sätta in S= 600 i formeln ovan. 600=6s^2 Nu ska vi isolera termen s^2 på ena sidan av ekvationen.

Kom ihåg att en potens är produkten av en upprepad faktor. I det här fallet representerar potensen s multiplicerat med sig själv 2 gånger. s * s = 100 Det enda tal som multiplicerat med sig själv är lika med 100 är 10. Därför måste blockets kantlängd vara 10 centimeter.

Vi vill slå in en presentförpackning i form av ett rätblock som mäter 8 centimeter gånger 8 centimeter gånger 10 centimeter. Låt oss göra en skiss av lådan!

För att hitta den minsta mängden omslagspapper som behövs för att slå in lådan kan vi använda ett nät för att beräkna prismans yta.

Summan av arean av alla polygoner på nätet är prismans yta. Nätet består av rektanglar och kvadrater. Observera att rektanglarna i prismat är kongruenta. Detta innebär att de har samma area. Låt oss sätta in måtten på en rektangel i formeln för arean av en rektangel!

Vi fann att arean av en rektangel är 80 kvadratcentimeter. Eftersom rektanglarna är kongruenta betyder det att arean av varje rektangel är 80 kvadratcentimeter. Låt oss nu ta en titt på kvadraterna. De är också kongruenta figurer, vilket innebär att de har samma area. Låt oss sätta in måtten på fram- och baksidan i formeln för arean av en kvadrat!

Vi fann att arean av en kvadrat är 64 kvadratcentimeter. Då är arean av båda kvadraterna 64 kvadratcentimeter. Nu har vi all information vi behöver för att hitta den totala ytan av det triangulära prismat. Total Yta 80+ 80+ 80+ 80+ 64+ 64=448cm^2 Den totala ytan på presentförpackningen är 448 kvadratcentimeter. Därför behöver vi minst 448 kvadratcentimeter omslagspapper för att slå in presentförpackningen.

Betrakta de givna dimensionerna för en flingpaket.

Vi vill beräkna paketets yta. För att göra det kommer vi att använda ett nät.

Summan av arean av alla polygoner på nätet kommer att vara paketets yta. Nätet består av rektanglar. Då måste vi beräkna arean av varje rektangel genom att använda formeln för arean av en rektangel. A=l * w Här indikerar l längden och w representerar rektangelns bredd. Låt oss beräkna arean separat för varje rektangel och konstruera en tabell med resultaten.

Nu när vi har all information om rektanglarna kan vi beräkna flingpaketets yta. Total Yta 36+ 36+ 108+ 108+ 48+ 48=384cm^2 Flingpaketets yta är 384 kvadratcentimeter.

Antag att tillverkaren bestämmer sig för att minska storleken på paketet genom att minska var och en av dimensionerna med 1 centimeter.

Låt oss hitta ytan på det nya flingpaketet. För att göra det kommer vi att beräkna arean separat för varje rektangel och konstruera en tabell med resultaten.

Nu kan vi beräkna flingpaketets yta genom att addera alla areor. Total Yta 24+ 24+ 88+ 88+ 33+ 33=290cm^2 Det nya flingpaketets yta är 290 kvadratcentimeter. Eftersom vi vill ha minskningen i yta kan vi subtrahera den nya ytan från paketets ursprungliga yta. 384-290=58 Minskningen i yta är 94 kvadratcentimeter.

Tänk på att en kub tas bort från ett rätblock.

Vi vill hitta figurens yta efter att kuben tagits bort. Kom ihåg att ytan på en figur är den totala arean av alla formens ytor. Sedan beräknar vi arean för varje sida av figuren. Låt oss börja med de sidor som inte påverkades av kuben.

Observera att efter att kuben tagits bort hade toppen och botten av det rektangulära prismat en kvadratisk bit borttagen. För att hitta arean av dessa sidor börjar vi med att beräkna arean innan kuben togs bort. Eftersom dessa sidor är kongruenta kan vi bara beräkna en area. A=8* 9 → A= 72cm^2 Nu subtraherar vi arean av den kvadratiska biten från detta värde. För att göra det måste vi hitta arean av den kvadratiska biten genom att använda formeln för arean av en kvadrat.

Arean av den kvadratiska biten är 25 kvadratcentimeter. Låt oss subtrahera detta från den ursprungliga arean av den övre sidan. 72ft^2-25 ft^2 = 47 cm^2 Arean av figurens topp och botten är 47 kvadratcentimeter. Efter att kuben tagits bort får det rektangulära prismat fyra nya kvadratiska sidor. Dessa sidor är kongruenta med den kvadratiska biten som vi tog bort från toppen och botten av det rektangulära prismat. Då är arean av varje ny sida 25 kvadratcentimeter. Slutligen kan vi beräkna ytan på det rektangulära prismat. Total Yta 45+45+40+40+47+47+4(25)=364cm^2 Ytan på det rektangulära prismat efter att kuben tagits bort är 364 kvadratcentimeter.

Betrakta det givna diagrammet över ett badtunna som har formen av ett rätblock.

Vi vill beräkna mängden vatten som badtunnan kan innehålla. För att göra det kommer vi att använda formeln för volymen av ett rätblock. V=Bh eller V=l w h I vårt fall är l= 2 meter, w= 2 meter och h= 1,25 meter. Låt oss sätta in dessa värden i formeln ovan för att bestämma badtunnans volym.

Badtunnans volym är 5 kubikmeter. Vi vet att en kubikdecimeter vatten väger ungefär 1 kilogram. För att ta reda på hur många kilogram vatten 5 kubikmeter är, måste vi börja med att konvertera kubikmeter till kubikdecimeter. För att göra det kommer vi att använda det faktum att 1 kubikmeter är lika med 1 000 kubikdecimeter. Då är 5 kubikmeter lika med 5 000 kubikdecimeter. 5* 1 000 = 5 000 kubikdecimeter Badtunnan kan rymma 5 000 kubikdecimeter vatten. Eftersom 1 kubikdecimeter vatten väger ungefär 1 kilogram, kan badtunnan rymma omkring 5 000 kilogram vatten.

En enhetskub är ett prisma med sex kvadratiska sidor. Det speciella med den här kuben är att alla sidor har samma storlek och form, och alla kanter har samma längd. Lägg märke till att de parallella kanterna på den givna kuben har delats in i 4, 2, och 2 lika delar för att skapa mindre rektangulära prismor som är identiska.

Kom nu ihåg formeln för volymen av en kub. V= l * w * h Eftersom antalet delar på kanterna representerar dimensionen av enhetskuben, kommer vi att substituera l= 2, w= 4, och h= 2 i ovanstående formel för att beräkna volymen av den givna enhetskuben.

Volymen av enhetskuben är 16 kubikenheter. Volymen av enheten är också summan av volymen av varje rektangulärt prisma som utgör den. Detta betyder att volymen av varje rektangulärt prisma (V_r) är en del av volymen av enhetskuben (V_c). V_r=1/V_c Volymen av den givna kuben är 16, då är volymen av varje rektangulärt prisma 116 kubikenheter.