1a
Kurs 1a Visa detaljer
3. Volym och begränsningsarea
Fortsätt till nästa lektion
Lektion
Övningar
Tester
Kapitel 5
2. 

Volym och begränsningsarea

Lektionen fokuserar på begreppen volym och begränsningsyta inom geometri. Den förklarar hur man beräknar volymen av olika tredimensionella former, inklusive cylindrar, koner, sfärer och pyramider. Innehållet ger formler och exempel för att bestämma volymen och begränsningsytan av dessa former. Till exempel illustrerar den hur man beräknar volymen av ett cirkustält genom att summera volymerna av en cylindrisk del och en konisk del. Den förklarar också hur man omvandlar mellan olika volymenheter, såsom kubikcentimeter och liter. Sidan inkluderar praktiska exempel, som att beräkna mängden medicin som behövs under en viss tid eller bestämma volymen på Louvren-pyramiden. Informationen presenteras på ett klart och förståeligt sätt, vilket gör den tillgänglig för studenter som studerar geometri.
Visa mer expand_more
Inställningar & verktyg för lektion
11 sidor teori
13 Uppgifter - Nivå 1 - 3
Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.
Volym och begränsningsarea
Sida av 11
Storleken på ytan av en tvådimensionell figur kallas för area. Tredimensionella figurer, eller kroppar, består av en eller flera ytor och summan av dessa kallas för figurens begränsningsarea. Ett annat användbart mått för att beskriva tredimensionella figurer är volym, som anger hur mycket en kropp rymmer. Volym beräknas på olika sätt beroende på hur kroppen ser ut.

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

  • Volym och begränsningsarea
  • Omvandla volymenheter
Teori

Volym och begränsningsarea av ett rätblock

Ett rätblock är den tredimensionella motsvarigheten till en rektangel.

rätblock

Dess volym och begränsningsarea bestäms av längden, bredden, och höjden,

Teori

Volym och begränsningsarea av en kub

En kub är ett rätblock där alla kanter är lika långa, dvs. den tredimensionella motsvarigheten till en kvadrat.

kub

Volymen och begränsningsarean bestäms av längden på kanterna,

Teori

Volym och begränsningsarea av ett klot

Ett klot är en bollformad kropp.

ett klot

Man beräknar volymen och begränsningsarean med hjälp av klotets radie,

Teori

Volym och begränsningsarea av en cylinder

En cylinder är en tredimensionell kropp där två likadana parallella cirkelskivor binds ihop av en böjd yta som kallas mantel.

en cylinder

Vecklar man ut manteln ser man att den är en rektangel med en längd som är lika med cirkelskivornas omkrets. Volym och begränsningsarea bestäms med hjälp av cirkelskivans radie, och cylinderns höjd,

Teori

Volym och begränsningsarea av en kon

En kon är en tredimensionell kropp som består av en cirkelformad basyta och en böjd mantelyta som skapar en spets.

en kon

Volymen beräknas med basytans radie, och höjden, som är det vinkelräta avståndet från basytan till spetsen. Begränsningsarean beräknas istället med radien, och avståndet från basytans kant till spetsen,

Teori

Volym och begränsningsarea av en pyramid

En pyramid är en tredimensionell kropp med basyta i form av en månghörning och tre eller fler triangelformade sidor.

en pyramid

Volymen bestäms av basytan och pyramidens höjd, som är det vinkelräta avståndet från basytan till spetsen. Begränsningsarean beräknas som summan av basytans och sidytornas areor.

Teori

Volym och begränsningsarea av ett rakt prisma

Ett rakt prisma är en tredimensionell kropp med två identiska polygonala baser som förbinds av rektangulära sidoytor.

ett rakt prisma

Volymen bestäms av basytans area och prismats höjd, som är det vinkelräta avståndet mellan baserna. Begränsningsarean beräknas som summan av areorna för de två baserna och sidoytorna.

Exempel

Beräkna volymen och begränsningsarean

Benno är en djupt olycklig clown och försöker muntra upp sig själv med ett nytt cirkustält.

a Beräkna tältets volym.
b Beräkna tältets begränsningsarea.

Ledtråd

a Tältet består av en cylinder och en kon. Beräkna deras volymer separat och addera dem för att få den totala volymen.
b Beräkna de böjda ytorna separat. Uteslut baserna för både cylindern och konen.

Lösning

a Tältet har en cylindrisk bas och en konformad topp. För att bestämma dess volym måste volymerna av dessa två delar beräknas separat.

Cylinderns volym

En cylinders volym beräknas med formeln
I figuren ser vi att cylinderns radie, är och att höjden, är Vi sätter in detta i formeln.
Volymen av cylindern är

Konens volym

Konens volym beräknas med formeln
Eftersom konens radie, är samma som cylinderns vet vi att den är Konens höjd, är
Konens volym är

Tältets volym

Nu beräknar vi tältets volym, genom att summera volymen av cylinderns och konens volym.
Tältets totala volym är
b Tältets area kan bestämmas med en liknande metod som för volymen. Detta innebär att ytorna för botten och toppen bestäms separat.

Cylinderns begränsningsarea

När vi beräknar cylinderns begränsningsarea måste vi tänka på att den inte har något lock eller botten. Det innebär att vi endast behöver beräkna mantelarean. Det gör vi med formeln
Vi känner till cylinderns radie och höjd så vi sätter in dem i formeln.
Mantelarean är Nu bestämmer vi begränsningsarean för den konformade delen av tältet.

Konens begränsningsarea

Eftersom vi inte har någon basyta att ta hänsyn till behöver vi bara bestämma konens mantelarea. Det gör vi med formeln
Sedan tidigare vet vi att radien är och avståndet från basytans kant till spetsen, kan vi läsa av från figuren till Vi sätter in detta i formeln.
Begränsningsarean är alltså för den konformade delen.

Tältets begränsningsarea

Till sist summerar vi begränsningsareorna för cylindern och konen för att bestämma tältets totala begränsningsarea,
Teori

Omvandla volymenheter

Ibland kan man vilja byta enhet när man ska ange en volym. Genom att multiplicera eller dividera med ett visst antal gånger kan man växla mellan de vanligaste volymenheterna. För vätskor brukar man använda enheten liter, som motsvarar eller varianter av den, t.ex. milliliter.

Vill man omvandla från exempelvis kubikdecimeter till kubikcentimeter måste man dividera med eftersom det går På motsvarande sätt multiplicerar man med för att omvandla från kubikdecimeter till kubikcentimeter. Volymen kan alltså skrivas om som

Övning

Beräkning av volym eller begränsningsarea för en geometrisk kropp

Använd informationen i diagrammet för att beräkna volymen eller begränsningsarean av den geometriska kroppen, enligt frågan. Om tillämpligt är basen en regelbunden polygon.

Slumpmässiga geometriska kroppar
Volym och begränsningsarea
Övningar
Laddar innehåll