Volym och begränsningsarea: Kub, cylinder och kon.

När Peter och Lisa var på café blev de serverade mjölk till kaffet i en regelbunden tetraeder. Lisa visste att man kan räkna ut volymen av en sådan förpackning med hjälp av formeln:

V = \frac{k ^{3} \cdot 2}{1 2} d \ddot{a} r k motsvarar kantl \ddot{a} ngden .

Peter mätte kantens längd på tetraedern till

6

cm och beräknade volymen med hjälp av formeln. På förpackningen står att den innehåller

2

cl mjölk. Ryms det i förpackningen? Motivera ditt svar med beräkningar.

Nationella provet VT10 MaA

Vi sätter in tetraederns kantlängd i formeln och beräknar volymen. Eftersom vi räknar med längdenheten cm blir volymen i cm^3. Tetraedern rymmer alltså 25 cm^3. Om informationen på förpackningen är korrekt ska denna volym vara minst lika med 2cl. Omvandlingsfaktorn från cm^3 till cl är dock inte helt uppenbar så låt oss först göra om den beräknade volymen till dm^3 som är lika med 1 liter.

Omvandling från cm^3 till dm^3

Det går 10cm på 1dm, vilket innebär att det går 10*10*10=1000 cm^3 på 1 dm^3. För att få volymen i dm^3 ska vi därför dividera med 1000: 25/1000= 0,025 dm^3.

Omvandling från dm^3 till cl

Förpackningen rymmer alltså 0,025 dm^3 vilket är samma sak som 0,025 liter. Nu ska vi göra om detta till cl. Prefixet centi står för hundradel så 1cl är en hundradels liter. Det betyder att 0,025 liter är 0,025 * 100 = 2,5 cl. Tetraedern rymmer ca 2,5cl vilket innebär att det ryms 2cl i förpackningen.

Ett tomt akvarium i form av ett rätblock har följande innermått: $1, 0 m$ långt och $4, 0 dm$ brett.

Ett akvarium som är rektangulärt och fylls med vatten.

Hur högt upp når vattnet om man häller i $10$ liter?

Nationella provet VT12 1a

Ett annat tomt akvarium är hälften så långt och hälften så brett. Om man häller i $10$ liter vatten även i detta akvarium påstår Peter att vattnet kommer att nå dubbelt så högt upp. Är det sant? Motivera ditt svar.

Nationella provet VT12 1a

När man börjar hälla i vattnet kommer det att skapa ett rätblock med samma basyta som akvariet och en höjd som beror på hur mycket vatten man har hällt i. Volymen av ett rätblocks beräknas genom att multiplicera bredden, längden och höjden: V=b * l * h. Från uppgiften har vi fått information om akvariets bredd och längd och vi vet även hur mycket vatten som hällts i, alltså volymen. Genom att sätta in dessa värden i formeln ovan kan vi lösa ut h och beräkna hur högt vattnet når. Innan vi kan göra detta måste vi dock omvandla vissa av enheterna.

Enhetsomvandlig

Eftersom 1 liter är lika med 1 dm^3 väljer vi att göra om akvariets mått till dm. Bredden står redan i dm och längden är 10 dm eftersom det går 10 dm på 1.0 m. Vi får alltså: V = 10 dm^3, b = 4,0 dm och l = 10 dm.

Hur högt når vattnet?

Då sätter vi in våra värden i formeln och löser ut höjden h.

Vi får att vattnet når en höjd på 0,25dm, alltså 2,5cm.

Det nya akvariet har hälften så stor längd och bredd, dvs. att längden är 5dm och bredden är 2dm. Man häller dock fortfarande ner 10 liter vatten i det, så volymen som vi räknar på är fortfarande 10 dm^3. Vi sätter in dessa värden i volymformeln för rätblock och löser ut h för att se hur högt upp vattenytan hamnar nu.

Vattnet når alltså 1dm upp, dvs. 10cm. Peter har fel då vattnet i det mindre akvariet har en höjd som är 10/2,5=4 gånger större. Detta är på grund av att både basen och längden har halverats, vilket ger att basytan blir 2* 2 = 4 gånger mindre. Höjden måste då bli 4 gånger så lång för att få plats med samma volym.

En golfbolls diameter är $4, 12 cm .$ Hur stor andel av askens volym upptas av golfbollar? Avrunda till hela procent.

För att besvara frågan behöver vi veta volymen av golfbollarna och asken.

Askens volym

Asken är ett rätblock där höjden och bredden båda är lika med en golfbolls diameter, dvs. 4,12 cm. Det får plats 3 golfbollar i asken, så längden är lika med tre golfbollars diameter: 3* 4,12=12,36cm. Nu kan vi beräkna rätblockets volym genom att multiplicera bredden, längden och höjden.

Lådans volym är alltså ungefär 209,80 cm^3.

Golfbollarnas volym

En golfboll är formad som ett klot och volymen av ett klot beräknas med formeln V=4π r^3/3. Vi vet att diametern är 4,12 cm så radien måste vara hälften så stor, alltså 2,06 cm. Vi sätter in detta i formeln för att beräkna volymen.

Eftersom det finns totalt 3 golfbollar i asken blir den totala volymen av golfbollarna 3* 36,62=109,86 cm^3.

Andel

Nu kan vi beräkna hur stor andel av lådan som golfbollarna tar upp genom att dividera golfbollarnas volym med lådans volym. Vi får 109,86/209,80 = 0,52364... ≈ 0,52 =52 %. Golfbollarna tar alltså upp lite mer än hälften av volymen i lådan.

Hur många kvadratcentimeter plast går det åt till att konstruera $100$ ihåliga vägkoner som den i figuren? Svara i hela tusental.

En orange plastkon med vita ränder, och en dekonstruering av denna.

Vägkonen består av två delar, en ihålig kon och en fot som konen står på. Vi beräknar begränsningsarean för båda dessa och adderar dem.

Konens begränsningsarea

Eftersom konen är ihålig saknar den botten. Det är alltså enbart mantelarean vi är intresserade av och den kan beräknas med formeln A=π rs, där r är radien och s är längden på sidan. Eftersom diametern är 16 cm blir radien 8 cm. Vi sätter in det samt sidlängden 36 cm.

Mantelarean för konen är ungefär 904,8 cm^2.

Fotens area

Foten är en kvadrat med sidan 20cm. Eftersom konen sitter på foten har den kvadratiska ytan ett hål i mitten med radien 8cm. För att bestämma fotens area beräknar man alltså sidan i kvadrat och subtraherar sedan konens cirkulära basyta. A_(fot) = 20^2 - π * 8^2 ≈ 198,9 cm^2

Total begränsningsarea

Vi lägger till sist ihop areorna för att bestämma konens totala begränsningsarea som vi kallar A_B: A_B≈904,8+198,9 ≈ 1 103,7 cm^2. Eftersom 100 vägkoner ska produceras blir den totala mängden plast 1 103,7* 100 =110 370≈ 110 000cm^2.

Små lådor med yttermåtten $4 cm \times 4 cm \times 4 cm$ ska packas i en kartong med innermåtten $24 cm \times 21 cm$ $\times 18 cm .$ Hur många små lådor får högst plats i kartongen?

En kartong med små lådor som packas ned i kartongen.

Nationella provet HT00 MaA

För att bestämma hur många lådor som får plats i kartongen måste vi först undersöka hur många lådor som går in på varje ledd i kartongen. Det gör vi genom att dividera kartongens sidlängder med lådornas sidlängder, vilka är 4cm. Längs med kanten som är 24cm får det plats 24/4 = 6 lådor. Längs med sidan som är 21cm lång får man in 21/4 = 5,25 lådor. Det är dock inte möjligt att lägga in bitar av lådor i kartongen så vi blir tvungna att avrunda neråt. Vi får alltså in maximalt 5 lådor på den ledden och så blir det lite plats över. Om de två sidorna vi har tittat på är kartongens bottenarea ser det ut på följande sätt när man har lagt ner ett lager lådor.

Det blir samma sak för den sista sidan. Den är 18cm lång, vilket innebär att det går in 18/4 = 4,5 lådor. Vi avrundar neråt igen och ser att det går in 4 lådor på höjden. Totalt rymmer alltså kartongen 6 * 5 * 4 = 120 lådor. Det blir dock lite volym över som inte går att utnyttja.

Volym och begränsningsarea

Förkunskaper

Volym och begränsningsarea av ett rätblock

Volym och begränsningsarea av en kub

Volym och begränsningsarea av ett klot

Volym och begränsningsarea av en cylinder

Volym och begränsningsarea av en kon

Volym och begränsningsarea av en pyramid

Volym och begränsningsarea av ett rakt prisma

Beräkna volymen och begränsningsarean

Ledtråd

Lösning

Cylinderns volym

Konens volym

Tältets volym

Cylinderns begränsningsarea

Konens begränsningsarea

Tältets begränsningsarea

Omvandla volymenheter

Beräkning av volym eller begränsningsarea för en geometrisk kropp

Omvandling från cm^3 till dm^3

Omvandling från dm^3 till cl

Enhetsomvandlig

Hur högt når vattnet?

Askens volym

Golfbollarnas volym

Andel

Konens begränsningsarea

Fotens area

Total begränsningsarea

Volym och begränsningsarea

Rekommenderade uppgifter

	11 sidor teori
	13 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.