Volym och begränsningsarea: Kub, cylinder och kon.

a Tältet har en cylindrisk bas och en konformad topp. För att bestämma dess volym måste volymerna av dessa två delar beräknas separat.

Cylinderns volym

En cylinders volym beräknas med formeln

V = π r^{2} h .

I figuren ser vi att cylinderns radie,

r,

är

1 m

och att höjden,

h,

är

1, 5 m .

Vi sätter in detta i formeln.

V = π r^{2} h

SubstituteII

$r = 1$ och $h = 1, 5$

V = π \cdot 1^{2} \cdot 1, 5

BaseOne

$1^{a} = 1$

V = π \cdot 1 \cdot 1, 5

Multiply

Multiplicera faktorer

V = 1, 5 π

Volymen av cylindern är

1.5 π m^{3} .

Konens volym

Konens volym beräknas med formeln

V = \frac{π r ^{2} h}{3} .

Eftersom konens radie,

r,

är samma som cylinderns vet vi att den är

1 m .

Konens höjd,

h,

är

0, 5 m .

V = \frac{π r ^{2} h}{3}

SubstituteII

$r = 1$ och $h = 0.5$

V = \frac{π \cdot 1 ^{2} \cdot 0 , 5}{3}

SimpPowProd

Förenkla potens & produkt

V = \frac{π \cdot 0 , 5}{3}

RearrangeFac

Omarrangera faktorer

V = \frac{0 , 5 π}{3}

Konens volym är

\frac{0 , 5 π}{3} m^{3} .

Tältets volym

Nu beräknar vi tältets volym,

V_{t},

genom att summera volymen av cylinderns och konens volym.

V_{t} = 1, 5 π + \frac{0 , 5 π}{3}

NumberToFrac

$a = \frac{3 \cdot a}{3}$

V_{t} = \frac{3 \cdot 1 , 5 π}{3} + \frac{0 , 5 π}{3}

Multiply

Multiplicera faktorer

V_{t} = \frac{4 , 5 π}{3} + \frac{0 , 5 π}{3}

AddFrac

Addera bråk

V_{t} = \frac{5 π}{3}

Tältets totala volym är

\frac{5 π}{3} m^{3} .

b Tältets area kan bestämmas med en liknande metod som för volymen. Detta innebär att ytorna för botten och toppen bestäms separat.

Cylinderns begränsningsarea

När vi beräknar cylinderns begränsningsarea måste vi tänka på att den inte har något lock eller botten. Det innebär att vi endast behöver beräkna mantelarean. Det gör vi med formeln

A = 2 π r h .

Vi känner till cylinderns radie och höjd så vi sätter in dem i formeln.

A = 2 π r h

SubstituteII

$r = 1$ och $h = 1, 5$

A = 2 π \cdot 1 \cdot 1, 5

Multiply

Multiplicera faktorer

A = 3 π

Mantelarean är

3 π m^{2} .

Nu bestämmer vi begränsningsarean för den konformade delen av tältet.

Konens begränsningsarea

Eftersom vi inte har någon basyta att ta hänsyn till behöver vi bara bestämma konens mantelarea. Det gör vi med formeln

A = π r s .

Sedan tidigare vet vi att radien är

1 m

och avståndet

s,

från basytans kant till spetsen, kan vi läsa av från figuren till

1, 1 m .

Vi sätter in detta i formeln.

A = π \cdot 1 \cdot 1, 1 = 1, 1 π

Begränsningsarean är alltså

1, 1 π m^{2}

för den konformade delen.

Tältets begränsningsarea

Till sist summerar vi begränsningsareorna för cylindern och konen för att bestämma tältets totala begränsningsarea,

A_{t} .

A_{t} = 3 π + 1, 1 π = 4, 1 π m^{2}

Volym och begränsningsarea

Förkunskaper

Volym och begränsningsarea av ett rätblock

Volym och begränsningsarea av en kub

Volym och begränsningsarea av ett klot

Volym och begränsningsarea av en cylinder

Volym och begränsningsarea av en kon

Volym och begränsningsarea av en pyramid

Volym och begränsningsarea av ett rakt prisma

Beräkna volymen och begränsningsarean

Ledtråd

Lösning

Cylinderns volym

Konens volym

Tältets volym

Cylinderns begränsningsarea

Konens begränsningsarea

Tältets begränsningsarea

Omvandla volymenheter

Beräkning av volym eller begränsningsarea för en geometrisk kropp

Volym och begränsningsarea

Rekommenderade uppgifter

	11 sidor teori
	13 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.