Volymen av ett Klot

Cavalieris princip kommer att användas för att visa att formeln för en sfärs volym stämmer. För detta ändamål, betrakta hälften av en sfär — en hemisfär — med radie $r$ och en rät cylinder med en kon borttagen från dess inre, där radien och höjden är lika med $r.$ Nu, betrakta ett plan som skär de tredimensionella figurerna på en höjd $x$ och är parallellt med baserna av figurerna. Arean av varje tvärsnitt kommer att beräknas en i taget.

Att hitta hemisfärens tvärsnittsarea

Rita en rätvinklig triangel med höjden $x,$ basen $y,$ och hypotenusan $r.$ Här är $x$ avståndet mellan centrum på hemisfärens bas och centrum på tvärsnittscirkeln, $y$ är radien på tvärsnittsscirkeln, och $r$ är sfärens radie. Med hjälp av Pythagoras sats kan ett uttryck för $y$ hittas. Eftersom $y$ är ett avstånd beaktas endast den positiva roten. Nästa, arean $A_H$ av det cirkulära tvärsnittet kan hittas med formeln för arean av en cirkel. För att vara konsekvent kommer $y$ att användas istället för $r$ i standardformeln. Denna ekvation ger arean av tvärsnittet av hemisfären vid höjd $x.$

Att hitta cylinderns tvärsnittsarea

Arean av cylinderns tvärsnitt kan hittas på liknande sätt. Tvärsnittsarean är lika med arean mellan två cirklar. Eftersom höjden och radien på cylindern är lika kan en likbent rätvinklig triangel bildas inuti cylindern. Därför är radien på den mindre cirkeln också $x.$ Nu när radierna av cirklarna är kända kan arean $A_C$ av tvärsnittet beräknas som skillnaden mellan arean $A_G$ av den större cirkeln och arean $A_S$ av den mindre cirkeln. Arean av cylinderns tvärsnitt på höjden $x$ ges av det föregående uttrycket. Observera att detta uttryck är lika med arean av hemisfärens tvärsnitt på höjden $x.$

Slutsats

Det kan konstateras att båda figurerna har samma tvärsnittsarea vid varje höjd. Dessutom har de samma höjd. Enligt Cavalieris princip har hemisfären och cylindern med en kon borttagen från dess inre samma volym. Då är volymen av hemisfären lika med skillnaden mellan volymen av cylindern och volymen av konen. Eftersom en hemisfär är hälften av en sfär, multiplicera hemisfärens volym med $2$ för att få sfärens volym.

För att hitta volymen av ett klot kommer denna informella motivering att använda faktumet att volymen av en pyramid är en tredjedel av basens area multiplicerat med höjden och att begränsningsarean av ett klot är fyra gånger produkten av $\pi$ och dess upphöjda radie i kvadrat. Först, anta att ett klot är fyllt med många pyramider av samma dimensioner. Låt $B$ vara arean av basen av varje pyramid. Nu är volymen av klotet lika med summan av volymerna av alla pyramider. Eftersom basen av varje pyramid ligger på ytan av klotet är höjden av varje pyramid lika med radien $r$ av klotet. Så, ersätt $r$ med $h$ i summan på höger sida. Nästa steg är att faktorisera ut $\frac{1}{3}r$ från summan inom parenteserna. Observera att alla baser av pyramiderna tillsammans utgör ytan av klotet. Detta innebär att summan inom parenteserna är lika med begränsningsarean av ett klot med radie $r.$ Ersätt sedan summan inom parenteserna med $4\pi r^2.$ Formeln för volymen av ett klot har erhållits.