{{ 'ml-label-loading-course' | message }}
{{ toc.name }}
{{ toc.signature }}
{{ tocHeader }} {{ 'ml-btn-view-details' | message }}
{{ tocSubheader }}
{{ 'ml-toc-proceed-mlc' | message }}
{{ 'ml-toc-proceed-tbs' | message }}
Lektion
Övningar
Rekommenderade
Tester
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel {{ article.chapter.number }}
{{ article.number }}. 

{{ article.displayTitle }}

{{ article.intro.summary }}
Visa mindre Visa mer expand_more
{{ ability.description }} {{ ability.displayTitle }}
Inställningar & verktyg för lektion
{{ 'ml-lesson-number-slides' | message : article.intro.bblockCount }}
{{ 'ml-lesson-number-exercises' | message : article.intro.exerciseCount }}
{{ 'ml-lesson-time-estimation' | message }}
 SFÅk8 Volym och begränsningsarea av cylindrar, koner och klot Åk 8
Regel

Volymen av ett Klot

Volymen av ett klot med radie är fyra tredjedelar av produkten av pi och den upphöjda radien i kub.
Volymen av ett klot

Bevis

Cavalieris princip kommer att användas för att visa att formeln för en sfärs volym stämmer. För detta ändamål, betrakta hälften av en sfär — en hemisfär — med radie och en rät cylinder med en kon borttagen från dess inre, där radien och höjden är lika med
Cylinder, kon och hemisfär
Nu, betrakta ett plan som skär de tredimensionella figurerna på en höjd och är parallellt med baserna av figurerna.
Fel uppstod: bilden kunde ej laddas.

Arean av varje tvärsnitt kommer att beräknas en i taget.

Att hitta hemisfärens tvärsnittsarea

Rita en rätvinklig triangel med höjden basen och hypotenusan Här är avståndet mellan centrum på hemisfärens bas och centrum på tvärsnittscirkeln, är radien på tvärsnittsscirkeln, och är sfärens radie.
Hemisfär och dess horisontella tvärsnitt
Med hjälp av Pythagoras sats kan ett uttryck för hittas.
Lös ut
Eftersom är ett avstånd beaktas endast den positiva roten. Nästa, arean av det cirkulära tvärsnittet kan hittas med formeln för arean av en cirkel. För att vara konsekvent kommer att användas istället för i standardformeln.
Denna ekvation ger arean av tvärsnittet av hemisfären vid höjd

Att hitta cylinderns tvärsnittsarea

Arean av cylinderns tvärsnitt kan hittas på liknande sätt. Tvärsnittsarean är lika med arean mellan två cirklar. Eftersom höjden och radien på cylindern är lika kan en likbent rätvinklig triangel bildas inuti cylindern. Därför är radien på den mindre cirkeln också
Tvärsnitt av en cylinder skuren av en kon
Nu när radierna av cirklarna är kända kan arean av tvärsnittet beräknas som skillnaden mellan arean av den större cirkeln och arean av den mindre cirkeln.
Arean av cylinderns tvärsnitt på höjden ges av det föregående uttrycket. Observera att detta uttryck är lika med arean av hemisfärens tvärsnitt på höjden

Slutsats

Det kan konstateras att båda figurerna har samma tvärsnittsarea vid varje höjd.
Dessutom har de samma höjd. Enligt Cavalieris princip har hemisfären och cylindern med en kon borttagen från dess inre samma volym.
Då är volymen av hemisfären lika med skillnaden mellan volymen av cylindern och volymen av konen.
Förenkla högerled
Eftersom en hemisfär är hälften av en sfär, multiplicera hemisfärens volym med för att få sfärens volym.

Bevis

Informell Motivering
För att hitta volymen av ett klot kommer denna informella motivering att använda faktumet att volymen av en pyramid är en tredjedel av basens area multiplicerat med höjden och att begränsningsarean av ett klot är fyra gånger produkten av och dess upphöjda radie i kvadrat.
Först, anta att ett klot är fyllt med många pyramider av samma dimensioner. Låt vara arean av basen av varje pyramid.
Pyramid inuti klotet
Nu är volymen av klotet lika med summan av volymerna av alla pyramider.
Eftersom basen av varje pyramid ligger på ytan av klotet är höjden av varje pyramid lika med radien av klotet. Så, ersätt med i summan på höger sida.
Nästa steg är att faktorisera ut från summan inom parenteserna.
Observera att alla baser av pyramiderna tillsammans utgör ytan av klotet. Detta innebär att summan inom parenteserna är lika med begränsningsarean av ett klot med radie Ersätt sedan summan inom parenteserna med

Kommutativa lagen för multiplikation

Formeln för volymen av ett klot har erhållits.
Laddar innehåll