kommer att användas för att visa att formeln för en sfärs volym stämmer. För detta ändamål, betrakta hälften av en sfär — en hemisfär — med radie
r och en rät med en borttagen från dess inre, där radien och höjden är lika med
r.
Nu, betrakta ett plan som skär på en höjd
x och är parallellt med baserna av figurerna.
Fel uppstod: bilden kunde ej laddas.
av varje tvärsnitt kommer att beräknas en i taget.
Att hitta hemisfärens tvärsnittsarea
Rita en med höjden
x, basen
y, och hypotenusan
r. Här är
x avståndet mellan centrum på hemisfärens bas och centrum på tvärsnitts,
y är radien på tvärsnittsscirkeln, och
r är sfärens radie.
Med hjälp av kan ett uttryck för
y hittas.
Eftersom
y är ett avstånd beaktas endast den positiva roten. Nästa, arean
AH av det cirkulära tvärsnittet kan hittas med formeln för . För att vara konsekvent kommer
y att användas istället för
r i standardformeln.
Denna ekvation ger arean av tvärsnittet av hemisfären vid höjd
x. Att hitta cylinderns tvärsnittsarea
Arean av cylinderns tvärsnitt kan hittas på liknande sätt. Tvärsnittsarean är lika med arean mellan två cirklar. Eftersom höjden och radien på cylindern är lika kan en rätvinklig triangel bildas inuti cylindern. Därför är radien på den mindre cirkeln också
x.
Nu när radierna av cirklarna är kända kan arean
AC av tvärsnittet beräknas som skillnaden mellan arean
AG av den större cirkeln och arean
AS av den mindre cirkeln.
AC=AG−AS
AC=πr2−πx2
AC=π(r2−x2)
Arean av cylinderns tvärsnitt på höjden
x ges av det föregående uttrycket. Observera att detta uttryck är lika med arean av hemisfärens tvärsnitt på höjden
x. Slutsats
Det kan konstateras att båda figurerna har samma tvärsnittsarea vid varje höjd.
AH=π(r2−x2)=AC
Dessutom har de samma höjd. Enligt Cavalieris princip har hemisfären och cylindern med en kon borttagen från dess inre samma volym.
VHemisfa¨r=VCylinder med kon borttagen
Då är volymen av hemisfären lika med skillnaden mellan och .
VHemisfa¨r=Vcylinder−Vkon
VHemisfa¨r=πr3−31πr3
VHemisfa¨r=33πr3−31πr3
VHemisfa¨r=33πr3−3πr3
VHemisfa¨r=32πr3
Eftersom en hemisfär är hälften av en sfär, multiplicera hemisfärens volym med
2 för att få sfärens volym.
Vklot=2⋅VHemisfa¨r⇓Vklot=2⋅32πr3⇓Vklot=34πr3✓