Volym och begränsningsarea

För att beräkna en cylinders volym använder man formeln V = π r^2 h, där r är cylinderns radie och h är höjden. Vi vet att höjden är 10cm eftersom det är sidan på pappret och att diametern, alltså dubbla radien, är 3,2cm. Vi sätter in h = 10 och r = 3,22 = 1,6 i formeln och beräknar volymen.

Rörets volym är alltså ca 80 cm^2.

Beroende på om man rullar ihop pappret på ena eller andra ledden får man antingen en hög eller en låg cylinder. Vi vill bestämma volymen för båda dessa.

Hög cylinder

Om vi rullar pappret längs med kortsidan får vi en hög cylinder där kortsidan 10cm utgör cylinderns omkrets och långsidan 20cm blir cylinderns höjd. Från tidigare uträkningar vet vi att en omkrets på 10cm ger en diameter som är 3.2cm, alltså en radie som är r = 3.22 = 1.6cm. Vi sätter in det i formeln för en cylinders volym tillsammans med höjden h = 20cm.

Den höga cylindern har en volym på ungefär 161 cm^3. I det här fallet har vi använt ett avrundat värde på radien men om vi istället använder ett oavrundat värde får man ungefär 159 cm^3.

Låg cylinder

Om vi istället rullar pappret längs med långsidan får vi en låg cylinder där långsidan nu utgör cylinderns omkrets och kortsidan blir dess höjd. Innan vi kan bestämma volymen måste vi först räkna ut radien genom att likställa formeln för cylinderns omkrets med långsidan längd, 20cm, på samma sätt som vi gjorde tidigare. Den här gången använder vi O = 2π r för att direkt lösa ut radien.

Den låga cylinderns radie är alltså ca 3,2cm. Vi sätter in den tillsammans med höjden h = 10cm i formeln för en cylinders volym.

Den låga cylindern har alltså ungefär en volym på 322 cm^3. Även här får man en lite annorlunda volym om man använder ett oavrundat värde för radien. Då får man ungefär 318 cm^3. Vi bestämmer förhållandet mellan dessa genom att dividera den stora volymen med den lilla. 322/161 = 2 Den låga cylindern har alltså dubbelt så stor volym som den höga. Även om man beräknar volymerna med exakta värden för radierna få man samma förhållande: 318159 = 2.

För att kunna avgöra hur många procent av askens volym som golfbollarna tar upp så måste vi första hitta den totala volymen av de 4 golfbollarna, samt askens volym.

Golfbollarnas volym

Golfbollar är klotformade så deras volym beräknas med formeln V = 4 π r^3/3. Radien är den enda obekanta i formeln, så vi bestämmer den för att kunna beräkna volymen. Vi vet att golfbollarnas diameter är 41.2 mm, vilket innebär att deras radie är 41.2/2=20.6mm=2.06cm. Vi kan nu beräkna volymen hos en av golfbollarna.

Vi bestämmer den totala volymen för de 4 bollarna genom att multiplicera volymen för 1 boll med 4. \begin{aligned} 4V_\text{boll} = 4\cdot 36.61763\ldots = 146.47053\ldots \text{ cm}^3 \end{aligned} Vi går nu vidare till att hitta volymen för asken.

Askens volym

Asken är ett rätblock så dess volym beräknas med formeln V = b * l * h. För att kunna beräkna volymen hos asken behöver vi nu hitta dess mått. Eftersom golfbollarna precis får plats i asken måste höjden och bredden hos asken vara samma som golfbollarnas diameter, 4.12 cm. Längden hos asken måste vara 4 gånger större än golfbollarnas diameter, eftersom det får plats precis 4 golfbollar på rad i asken. Längden är alltså 4 * 4.12 = 16.48cm. Vi kan nu rita upp en figur över måtten hos en ask.

Asken ser ut på det här sättet både från sidan och uppifrån. Nu har vi all information vi behöver för att kunna beräkna askens volym.

Nu känner vi till båda volymerna och kan därmed beräkna hur många procent av askens volym som bollarna upptar. Detta gör vi genom att dividera bollarnas volym med askens volym.

Golfbollarna tar alltså upp cirka 52 % av askens volym.

Den här deluppgiften kan vi lösa på liknande sätt som deluppgiften ovan. Istället för att beräkna volymerna behöver vi jämföra uttrycken för volymerna. Volymuttrycket för 4 tennisbollar bestämmer vi på samma som för golfbollarna i förra deluppgiften: \begin{aligned} 4V_\text{boll}=4\cdot \dfrac{4\pi r^3}{3}=\dfrac{16\pi r^3}{3}. \end{aligned} Formeln för en cylinders volym är \begin{aligned} V_\text{rör} = \pi r^2 h \end{aligned} Cylindern har samma radie som en av tennisbollarna, och cylinderns höjd motsvarar summan av diametrarna, D, hos de 4 tennisbollarna. h = 4D = 8r. Vi kan nu ersätta h med 8r i uttrycket för cylinderns volym.

Till sist bestämmer vi förhållandet mellan rörets volym och bollarnas volym genom att dividera rörets volym med bollarnas volym.

Förhållandet mellan rörets volym och bollarnas volym är alltså 32.

Vi får två koner. Den ena har en radie på 5 centimeter och en lutande höjd på 13 centimeter. Den andra har en höjd på 5 centimeter och en lutande höjd på 13 centimeter. Vi vill hitta konen med den större volymen.

Genom att titta på diagrammet kan vi misstänka att den första konen har en större volym. Det finns bara ett sätt att ta reda på det. Vi ska beräkna volymen på varje kon. Låt oss börja med den vänstra.

Volym av kon 1

För att hitta volymen av en kon behöver vi veta två saker — basens radie och konens höjd. Lägg märke till att vi inte får höjden på vår kon, så vi måste hitta den först. För det, låt oss ta en titt på diagrammet igen.

Lägg märke till att vi kan rita en rätvinklig triangel med r och h som dess ben och den lutande höjden som dess hypotenusa. Enligt Pythagoras sats är följande förhållande sant. (5)^2+h^2=(13)^2 Låt oss lösa den resulterande ekvationen för h.

Konens höjd är 12 centimeter. Vi kan nu använda denna information för att hitta konens volym. Låt oss komma ihåg att volymen av en kon V är en tredjedel av basens area B gånger höjden h. V = 1/3Bh Eftersom basen är en cirkel kan vi använda arean av en cirkel med radie r för att hitta dess area B. B = π r^2 Låt oss sätta in detta uttryck i formeln för volymen. V = 1/3Bh ⇒ V = 1/3(π r^2)h Vi kan nu använda den sista formeln för att beräkna volymen av vår kon. Vi kommer att sätta in 12 för h och 5 för r i uttrycket och sedan utvärdera det. Nu kör vi!

Volymen av den första konen är 100π kubikcentimeter. Låt oss nu hitta volymen av den andra konen.

Volym av kon 2

Låt oss rita den andra konen.

Lägg märke till att basens radie saknas. Vi behöver detta för att hitta konens volym. Vi kan hitta den på samma sätt som vi gjorde tidigare. Låt oss börja med att skriva en Pythagoras ekvation. r^2+(5)^2=(13)^2 Vi kan nu lösa den resulterande ekvationen för r.

Basens radie är 12 centimeter. Låt oss använda formeln vi skrev tidigare för att beräkna volymen av vår kon. V = 1/3π r^2 h Vi kan sätta in 5 för h och 12 för r i uttrycket och sedan utvärdera det. Nu kör vi!

Volymen av den andra konen är 240π kubikcentimeter. Eftersom 240π > 100π, har den andra konen den större volymen.

Vi blir ombedda att ange volymen av den större konen i termer av π. Detta innebär att ange en volym där vi inte ersatte något numeriskt värde för pi. Lägg märke till att vi redan hittade volymen av båda konerna i termer av pi i Del A. Kom ihåg att vi fann att den andra konen är den större.

Därför är volymen av den större konen 240π kubikcentimeter.

Vi har fått en hemisfär med radie r och en kon med radie r och höjd r. Vi har också fått formlerna för att hitta deras volymer.

För att avgöra vilken kropp som har den största volymen, låt oss ersätta h=r i konens volym. V_2 = 1/3π r^2* r ⇒ V_2 = 1/3π r^3 Därefter kan vi skriva om hemisfärens volym i termer av konens volym. V_1 = 2(1/3π r^3) ⇒ V_1 = 2V_2 Hemisfärens volym är dubbelt så stor som konens volym, vilket innebär att hemisfären har en större volym.

Låt oss börja med att betrakta en sfär med radie r. Vi påminner oss också om att sfärens yta är 4π r^2.

Om vinkeln mellan de två storcirklarna är θ =180^(∘), kommer lunen att vara hälften av sfären. Alltså är dess yta S_1=2π r^2.

När vinkeln mellan de halva storcirklarna är θ = 120^(∘), kommer lunen att uppta en tredjedel av sfären, det vill säga dess yta är S_2 = 13* 4π r^2.

Om θ =90^(∘), upptar lunen en fjärdedel av sfären, vilket innebär att dess yta är S_3 = π r^2.

Låt oss sammanfatta resultaten som erhållits ovan.

Från tabellen ovan kan vi skriva följande relation mellan lunens yta och den centrala vinkeln.

S = θ/360^(∘) * 4π r^2

På så sätt kan vi hitta arean av vilken lune som helst bara genom att känna till vinkeln θ mellan storcirklarna och sfärens radie. Ännu mer, vi kan förenkla formeln ovan genom att konvertera vinkeln från grader till radianer. θ/360^(∘) = θ/360^(∘) * 360^(∘)/2π = θ/2π Låt oss sätta in det senare uttrycket i formeln ovan.

Vi har fått två formler — en när vinkeln anges i grader, och en när vinkeln anges i radianer.