Volym och begränsningsarea

När man börjar hälla i vattnet kommer det att skapa ett rätblock med samma basyta som akvariet och en höjd som beror på hur mycket vatten man har hällt i. Volymen av ett rätblocks beräknas genom att multiplicera bredden, längden och höjden: V=b * l * h. Från uppgiften har vi fått information om akvariets bredd och längd och vi vet även hur mycket vatten som hällts i, alltså volymen. Genom att sätta in dessa värden i formeln ovan kan vi lösa ut h och beräkna hur högt vattnet når. Innan vi kan göra detta måste vi dock omvandla vissa av enheterna.

Enhetsomvandlig

Eftersom 1 liter är lika med 1 dm^3 väljer vi att göra om akvariets mått till dm. Bredden står redan i dm och längden är 10 dm eftersom det går 10 dm på 1.0 m. Vi får alltså: V = 10 dm^3, b = 4,0 dm och l = 10 dm.

Hur högt når vattnet?

Då sätter vi in våra värden i formeln och löser ut höjden h.

Vi får att vattnet når en höjd på 0,25dm, alltså 2,5cm.

Det nya akvariet har hälften så stor längd och bredd, dvs. att längden är 5dm och bredden är 2dm. Man häller dock fortfarande ner 10 liter vatten i det, så volymen som vi räknar på är fortfarande 10 dm^3. Vi sätter in dessa värden i volymformeln för rätblock och löser ut h för att se hur högt upp vattenytan hamnar nu.

Vattnet når alltså 1dm upp, dvs. 10cm. Peter har fel då vattnet i det mindre akvariet har en höjd som är 10/2,5=4 gånger större. Detta är på grund av att både basen och längden har halverats, vilket ger att basytan blir 2* 2 = 4 gånger mindre. Höjden måste då bli 4 gånger så lång för att få plats med samma volym.

För att beräkna en cylinders volym använder man formeln V = π r^2 h, där r är cylinderns radie och h är höjden. Vi vet att höjden är 10cm eftersom det är sidan på pappret och att diametern, alltså dubbla radien, är 3,2cm. Vi sätter in h = 10 och r = 3,22 = 1,6 i formeln och beräknar volymen.

Rörets volym är alltså ca 80 cm^2.

Beroende på om man rullar ihop pappret på ena eller andra ledden får man antingen en hög eller en låg cylinder. Vi vill bestämma volymen för båda dessa.

Hög cylinder

Om vi rullar pappret längs med kortsidan får vi en hög cylinder där kortsidan 10cm utgör cylinderns omkrets och långsidan 20cm blir cylinderns höjd. Från tidigare uträkningar vet vi att en omkrets på 10cm ger en diameter som är 3.2cm, alltså en radie som är r = 3.22 = 1.6cm. Vi sätter in det i formeln för en cylinders volym tillsammans med höjden h = 20cm.

Den höga cylindern har en volym på ungefär 161 cm^3. I det här fallet har vi använt ett avrundat värde på radien men om vi istället använder ett oavrundat värde får man ungefär 159 cm^3.

Låg cylinder

Om vi istället rullar pappret längs med långsidan får vi en låg cylinder där långsidan nu utgör cylinderns omkrets och kortsidan blir dess höjd. Innan vi kan bestämma volymen måste vi först räkna ut radien genom att likställa formeln för cylinderns omkrets med långsidan längd, 20cm, på samma sätt som vi gjorde tidigare. Den här gången använder vi O = 2π r för att direkt lösa ut radien.

Den låga cylinderns radie är alltså ca 3,2cm. Vi sätter in den tillsammans med höjden h = 10cm i formeln för en cylinders volym.

Den låga cylindern har alltså ungefär en volym på 322 cm^3. Även här får man en lite annorlunda volym om man använder ett oavrundat värde för radien. Då får man ungefär 318 cm^3. Vi bestämmer förhållandet mellan dessa genom att dividera den stora volymen med den lilla. 322/161 = 2 Den låga cylindern har alltså dubbelt så stor volym som den höga. Även om man beräknar volymerna med exakta värden för radierna få man samma förhållande: 318159 = 2.