5. Volym och begränsningsarea
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 5
5.
Volym och begränsningsarea
Lektionen fokuserar på begreppen volym och begränsningsyta inom geometri. Den förklarar hur man beräknar volymen av olika tredimensionella former, inklusive cylindrar, koner, sfärer och pyramider. Innehållet ger formler och exempel för att bestämma volymen och begränsningsytan av dessa former. Till exempel illustrerar den hur man beräknar volymen av ett cirkustält genom att summera volymerna av en cylindrisk del och en konisk del. Den förklarar också hur man omvandlar mellan olika volymenheter, såsom kubikcentimeter och liter. Sidan inkluderar praktiska exempel, som att beräkna mängden medicin som behövs under en viss tid eller bestämma volymen på Louvren-pyramiden. Informationen presenteras på ett klart och förståeligt sätt, vilket gör den tillgänglig för studenter som studerar geometri.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 11 sidor teori |
| | 13 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Volym och begränsningsarea
Sida av 11
Storleken på ytan av en tvådimensionell figur kallas för area. Tredimensionella figurer, eller kroppar, består av en eller flera ytor och summan av dessa kallas för figurens begränsningsarea. Ett annat användbart mått för att beskriva tredimensionella figurer är volym, som anger hur mycket en kropp rymmer. Volym beräknas på olika sätt beroende på hur kroppen ser ut.
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Volym och begränsningsarea
- Omvandla volymenheter
Teori
Volym och begränsningsarea av ett rätblock
Ett rätblock är den tredimensionella motsvarigheten till en rektangel.
Dess volym och begränsningsarea bestäms av längden, ℓ, bredden, b, och höjden, h.
VolymV=bhBegra¨nsningsareaA=2bℓ+2bh+2ℓh
Teori
Volym och begränsningsarea av en kub
En kub är ett rätblock där alla kanter är lika långa, dvs. den tredimensionella motsvarigheten till en kvadrat.
Volymen och begränsningsarean bestäms av längden på kanterna, a.
VolymV=a3Begra¨nsningsareaA=6a2
Teori
Volym och begränsningsarea av ett klot
Ett klot är en bollformad kropp.
Man beräknar volymen och begränsningsarean med hjälp av klotets radie, r.
VolymV=34πr3Begra¨nsningsareaA=4πr2
Teori
Volym och begränsningsarea av en cylinder
En cylinder är en tredimensionell kropp där två likadana parallella cirkelskivor binds ihop av en böjd yta som kallas mantel.
Vecklar man ut manteln ser man att den är en rektangel med en längd som är lika med cirkelskivornas omkrets. Volym och begränsningsarea bestäms med hjälp av cirkelskivans radie, r, och cylinderns höjd, h.
VolymV=πr2hMantelareaA=2πrh
Teori
Volym och begränsningsarea av en kon
En kon är en tredimensionell kropp som består av en cirkelformad basyta och en böjd mantelyta som skapar en spets.
Volymen beräknas med basytans radie, r, och höjden, h, som är det vinkelräta avståndet från basytan till spetsen. Begränsningsarean beräknas istället med radien, r, och avståndet från basytans kant till spetsen, s.
VolymV=3πr2hMantelareaA=πrs
Teori
Volym och begränsningsarea av en pyramid
En pyramid är en tredimensionell kropp med basyta i form av en månghörning och tre eller fler triangelformade sidor.
Volymen bestäms av basytan B, och pyramidens höjd, h, som är det vinkelräta avståndet från basytan till spetsen. Begränsningsarean beräknas som summan av basytans och sidytornas areor.
VolymV=3Bh
Teori
Volym och begränsningsarea av ett rakt prisma
Ett rakt prisma är en tredimensionell kropp med två identiska polygonala baser som förbinds av rektangulära sidoytor.
Volymen bestäms av basytans area B och prismats höjd, h, som är det vinkelräta avståndet mellan baserna. Begränsningsarean beräknas som summan av areorna för de två baserna och sidoytorna.
VolymV=Bh
Exempel
Beräkna volymen och begränsningsarean
Benno är en djupt olycklig clown och försöker muntra upp sig själv med ett nytt cirkustält.
a Beräkna tältets volym.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.83333em;vertical-align:-0.15em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.22222em;\">V<\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t vlist-t2\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.2805559999999999em;\"><span style=\"top:-2.5500000000000003em;margin-left:-0.22222em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mathdefault mtight\">t<\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"vlist-s\">\u200b<\/span><\/span><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"><span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.8141079999999999em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.03588em;\">\u03c0<\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord text\"><span class=\"mord\">\u00a0<\/span><span class=\"mord Roboto-Regular\">m<\/span><\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.8141079999999999em;\"><span style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\">2<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>","answer":{"text":["\\dfrac{5}{3}","1\\dfrac{2}{3}"]}}
b Beräkna tältets begränsningsarea.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.83333em;vertical-align:-0.15em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord mathdefault\">A<\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t vlist-t2\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.2805559999999999em;\"><span style=\"top:-2.5500000000000003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mathdefault mtight\">t<\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"vlist-s\">\u200b<\/span><\/span><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"><span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.8141079999999999em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.03588em;\">\u03c0<\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord text\"><span class=\"mord\">\u00a0<\/span><span class=\"mord Roboto-Regular\">m<\/span><\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.8141079999999999em;\"><span style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\">2<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>","answer":{"text":["4,1"]}}
Lösning
a Tältet har en cylindrisk bas och en konformad topp. För att bestämma dess volym måste volymerna av dessa två delar beräknas separat.
Cylinderns volym
En cylinders volym beräknas med formelnV=πr2h.
I figuren ser vi att cylinderns radie, r, är 1 m och att höjden, h, är 1,5 m. Vi sätter in detta i formeln.
Volymen av cylindern är 1.5π m3. Konens volym
Konens volym beräknas med formelnV=3πr2h.
Eftersom konens radie, r, är samma som cylinderns vet vi att den är 1 m. Konens höjd, h, är 0,5 m.
V=3πr2h
SubstituteII
r=1 och h=0.5
V=3π⋅12⋅0,5
SimpPowProd
Förenkla potens & produkt
V=3π⋅0,5
RearrangeFac
Omarrangera faktorer
V=30,5π
Tältets volym
Nu beräknar vi tältets volym, Vt, genom att summera volymen av cylinderns och konens volym.Vt=1,5π+30,5π
NumberToFrac
a=33⋅a
Vt=33⋅1,5π+30,5π
Multiply
Multiplicera faktorer
Vt=34,5π+30,5π
AddFrac
Addera bråk
Vt=35π
b Tältets area kan bestämmas med en liknande metod som för volymen. Detta innebär att ytorna för botten och toppen bestäms separat.
Cylinderns begränsningsarea
När vi beräknar cylinderns begränsningsarea måste vi tänka på att den inte har något lock eller botten. Det innebär att vi endast behöver beräkna mantelarean. Det gör vi med formelnA=2πrh.
Vi känner till cylinderns radie och höjd så vi sätter in dem i formeln.
Mantelarean är 3π m2. Nu bestämmer vi begränsningsarean för den konformade delen av tältet. Konens begränsningsarea
Eftersom vi inte har någon basyta att ta hänsyn till behöver vi bara bestämma konens mantelarea. Det gör vi med formelnA=πrs.
Sedan tidigare vet vi att radien är 1 m och avståndet s, från basytans kant till spetsen, kan vi läsa av från figuren till 1,1 m. Vi sätter in detta i formeln.
A=π⋅1⋅1,1=1,1π
Begränsningsarean är alltså 1,1π m2 för den konformade delen. Tältets begränsningsarea
Till sist summerar vi begränsningsareorna för cylindern och konen för att bestämma tältets totala begränsningsarea, At.At=3π+1,1π=4,1π m2
Teori
Omvandla volymenheter
Ibland kan man vilja byta enhet när man ska ange en volym. Genom att multiplicera eller dividera med 1000 ett visst antal gånger kan man växla mellan de vanligaste volymenheterna. För vätskor brukar man använda enheten liter, som motsvarar dm3, eller varianter av den, t.ex. milliliter.
Vill man omvandla från exempelvis kubikdecimeter till kubikcentimeter måste man dividera med 1000, eftersom det går 1000 cm3 på 1 dm3. På motsvarande sätt multiplicerar man med 1000 för att omvandla från kubikdecimeter till kubikcentimeter. Volymen 2500 cm3 kan alltså skrivas om som
10002500=2,5 dm3.
Övning
Beräkning av volym eller begränsningsarea för en geometrisk kropp
Använd informationen i diagrammet för att beräkna volymen eller begränsningsarean av den geometriska kroppen, enligt frågan. Om tillämpligt är basen en regelbunden polygon.
Volym och begränsningsarea
Övningar
Ett rektangulärt papper kan rullas ihop till ett rör (en cylinder) som figuren visar.
Om längd och bredd är olika långa kan man tillverka två olika rör (cylindrar) beroende på hur pappret rullas.
Ett rör tillverkas av ett kvadratiskt papper med sidan 10 cm.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"ca","formTextAfter":"cm<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.8141079999999999em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span><\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.8141079999999999em;\"><span style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\">3<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>","answer":{"text":["80"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2"]}}
security
report
code
security
report
code
För att beräkna en cylinders volym använder man formeln V = π r^2 h, där r är cylinderns radie och h är höjden. Vi vet att höjden är 10cm eftersom det är sidan på pappret och att diametern, alltså dubbla radien, är 3,2cm. Vi sätter in h = 10 och r = 3,22 = 1,6 i formeln och beräknar volymen.
Rörets volym är alltså ca 80 cm^2.
Beroende på om man rullar ihop pappret på ena eller andra ledden får man antingen en hög eller en låg cylinder. Vi vill bestämma volymen för båda dessa.
Hög cylinder
Om vi rullar pappret längs med kortsidan får vi en hög cylinder där kortsidan 10cm utgör cylinderns omkrets och långsidan 20cm blir cylinderns höjd. Från tidigare uträkningar vet vi att en omkrets på 10cm ger en diameter som är 3.2cm, alltså en radie som är r = 3.22 = 1.6cm. Vi sätter in det i formeln för en cylinders volym tillsammans med höjden h = 20cm.
Den höga cylindern har en volym på ungefär 161 cm^3. I det här fallet har vi använt ett avrundat värde på radien men om vi istället använder ett oavrundat värde får man ungefär 159 cm^3.
Låg cylinder
Om vi istället rullar pappret längs med långsidan får vi en låg cylinder där långsidan nu utgör cylinderns omkrets och kortsidan blir dess höjd. Innan vi kan bestämma volymen måste vi först räkna ut radien genom att likställa formeln för cylinderns omkrets med långsidan längd, 20cm, på samma sätt som vi gjorde tidigare. Den här gången använder vi O = 2π r för att direkt lösa ut radien.
Den låga cylinderns radie är alltså ca 3,2cm. Vi sätter in den tillsammans med höjden h = 10cm i formeln för en cylinders volym.
Den låga cylindern har alltså ungefär en volym på 322 cm^3. Även här får man en lite annorlunda volym om man använder ett oavrundat värde för radien. Då får man ungefär 318 cm^3. Vi bestämmer förhållandet mellan dessa genom att dividera den stora volymen med den lilla. 322/161 = 2 Den låga cylindern har alltså dubbelt så stor volym som den höga. Även om man beräknar volymerna med exakta värden för radierna få man samma förhållande: 318159 = 2.
security
report
code
Volym och begränsningsarea
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll