body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

2c

Kurs 2c Visa detaljer

2. Samband mellan graf och funktionsuttryck

Klar med uppgifterna

Fortsätt till nästa lektion

( Ma 2b , Ma 2c ) /

Kapitel 3

2.

Samband mellan graf och funktionsuttryck

Lektionen fokuserar på sambandet mellan grafer och funktionsuttryck, särskilt inom andragradsfunktioner. Den förklarar hur man kan bestämma en funktion utifrån dess graf och vice versa. Det finns exempel på hur man kan använda olika metoder för att bestämma okända konstanter i funktioner och hur man kan skissa grafer för hand. Sidan innehåller också interaktiva övningar där man kan para ihop grafer med rätt funktionsuttryck. Detta material kan vara användbart för studenter som studerar analytisk geometri och vill förstå hur man arbetar med andragradsfunktioner och grafer.

Inställningar & verktyg för lektion

	10 sidor teori
	21 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Samband mellan graf och funktionsuttryck

Sida av 10

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Andragradsfunktioner och deras grafer
Skissa en andragradskurva
Bestäm funktion utifrån graf

Förkunskaper

Andragradsuttryck
Andragradsfunktion
Kurva
Extrempunkt
Symmetrilinjen
Exponentialfunktion
pq-formeln

Utforska

Maximi- och minimipunkter på grafer

I koordinatplanet visas graferna för tre funktioner och deras motsvarande ekvationer.

three graphs

Titta noga på varje grafs maximi- eller minimipunkt. Kan deras koordinater identifieras enbart genom att titta på den motsvarande ekvationen?

Koncept

Andragradsfunktioner och deras grafer

Om en andragradsfunktion står på formen y=ax^2+bx+c avgör a både åt vilket håll kurvan är krökt (⌣ eller ) och dess bredd. Stora värden, antingen positiva eller negativa (t.ex. 100 eller - 100), ger smala kurvor, medan små positiva eller negativa värden (t.ex. 0,5 eller - 0,5) ger bredare kurvor. Konstanten c avgör grafens skärningspunkt med y-axeln.

Metod

Skissa en andragradskurva

För att skissa grafen till en andragradsfunktion, t.ex. y=x^2-2x+1, behöver man veta tre punkter på kurvan. Dessa kan vara extrempunkten och två punkter på varsin sida om symmetrilinjen.

1

Bestäm symmetrilinjen

Man börjar med att hitta symmetrilinjen, vilket kan göras med pq-formeln. Ställer man upp ekvationen x^2-2x+1=0 får man x=--2/2±sqrt((-2/2)^2-1). Symmetrilinjen x_s är termen framför rottecknet.

x_s=-- 2/2

Beräkna kvot

x_s=-(- 1)

- (- a)=a

x_s=1

Kurvan är alltså symmetrisk runt x_s=1.

2

Bestäm extrempunkten

Extrempunktens x-koordinat vet man redan eftersom den ligger på symmetrilinjen. y-koordinaten bestäms genom att sätta in detta x i funktionen.

y=x^2-2x+1

x= 1

y= 1^2-2* 1+1

Beräkna potens & produkt

y=1-2+1

Addera och subtrahera termerna

y=0

Extrempunkten är (1,0), vilket ger den första punkten på grafen.

3

Bestäm två punkter till

För att kunna skissa grafen krävs ytterligare två punkter. Ena punkten bestämmer man genom att sätta in valfritt x-värde i funktionen och beräkna motsvarande y-värde.

y=x^2-2x+1

x= 2

y= 2^2-2* 2+1

Förenkla potens & produkt

y=4-4+1

Addera och subtrahera termerna

y=1

Punkten (2,1) ligger alltså på kurvan. Andragradskurvans symmetri ger att grafen har ytterligare en punkt med samma y-värde, men på andra sidan symmetrilinjen. Det ger punkten (0,1).

4

Sammanbind punkterna

Nu kan man sammanbinda punkterna för att bilda sig en uppfattning om andragradskurvans utseende. Kurvan ska ha formen av en parabel som vänder i extrempunkten.

Exempel

Använda standardformen för att rita en parabel

Linnea älskar att spela golf och försöker förbättra sin sving genom att rita parabeln som bollen kommer att skapa.

Med hjälp av sina matematikkunskaper har hon beräknat andragradsfunktionen som motsvarar denna parabel. y=- 2x^2+6x Rita parabeln för att hjälpa Linnea att förbättra sin sving!

Svar

Graf:

Ledtråd

Identifiera parabelns vertex. Gör grafen endast för första kvadranten.

Lösning

Börja med att hitta symmetrilinjen, vilket kan göras med pq-formeln. Förenkla först ekvationen 2x^2+6x=0. - 2x^2+6x=0 ⇓ x^2-3x=0 Nu är pq-formeln som följer. x=--3/2±sqrt((-3/2)^2-0). Symmetrilinjen x_s är termen framför radikaltecknet.

x_s=-- 3/2

Beräkna kvot

x_s=-(- 1,5)

- (- a)=a

x_s=1,5

Kurvan är därför symmetrisk kring x_s=1,5.

x-koordinaten för extrempunkten är känd eftersom den ligger på symmetrilinjen. y-koordinaten kan hittas genom att sätta in detta värde i funktionen.

y=- 2x^2+6x

x= 1,5

y=- 2( 1,5)^2+6( 1,5)

Beräkna potens

y=- 2(2,25)+6(1,5)

Multiplicera faktorer

y=- 4,5+9

Addera och subtrahera termerna

y=4,5

Extrempunkten är (1,5;4,5), vilket ger den första punkten på grafen.

För att kunna skissa grafen behövs två ytterligare punkter. En punkt bestäms genom att sätta in ett valfritt x-värde i funktionen och beräkna det motsvarande y-värdet.

y=- 2x^2+6x

x= 2

y=- 2( 2)^2+6( 2)

Beräkna potens

y=- 2(4)+6(2)

Multiplicera faktorer

y=- 8+12

Addera termerna

y=4

Punkten (1,4) ligger därför på kurvan. Andragradssymmetri ger att grafen har en annan punkt med samma y-värde men på andra sidan av symmetrilinjen. Detta ger punkten (2,4).

Nu anslut punkterna för att få en parabel.

Illustration

Skissa en andragradskurva

Prova att flytta de tre punkterna och se hur en andragradskurva genom dem ser ut.

Koncept

Andragradsfunktion i faktorform

En andragradsfunktion med nollställen vid x=a och x=b kan skrivas som y=k(x-a)(x-b), där k är en konstant. På detta sätt skrivs en andragradsfunktion i faktoriserad form. Till exempel, betrakta en andragradsfunktion med nollställen vid x= 3 och x= - 1, som går genom punkten (0,- 6). Börja med att sätta in värdena för a och b. y=k(x- 3)(x-( - 1)) ⇓ y=k(x-3)(x+1) Nästa steg, för att hitta värdet av k, sätt in punkten (0,- 6) i funktionen och lös för k.

y=k(x-3)(x+1)

x= 0 och y= - 6

- 6=k(0-3)(0+1)

▼

Lös ut k

Addera och subtrahera termerna

- 6=k(- 3)(1)

Multiplicera faktorer

- 6=- 3k

Omarrangera ekvation

- 3k=- 6

.VL /(- 3).=.HL /(- 3).

k=2

Därmed hittas ekvationen i faktoriserad form.

y=2(x-3)(x+1)

Metod

Bestäm funktion utifrån graf

För att bestämma en funktion utifrån en graf måste man först veta vilken typ av funktion det är. I koordinatsystemet har grafen till en exponentialfunktion ritats.

För att bestämma funktionsuttrycket behöver man minst lika många punkter som antalet konstanter i funktionens allmänna form.

1

Bestäm antalet okända konstanter

Grafen beskriver en exponentialfunktion, vilket betyder att den allmänna formen är y=C* a^x. Antalet okända konstanter är två stycken: startvärdet C och förändringsfaktorn a.

2

Läs av lika många punkter på grafen

Det finns två okända konstanter och därför behövs två olika punkter för att bestämma dessa värden.

Grafen går exempelvis igenom (1,1), och (2,3).

3

Sätt in punkterna i funktionen

Punkterna sätts in i funktionen och man får då två ekvationer: 1=C* a^1 och 3=C* a^2.

4

Ställ upp ett ekvationssystem och lös det

Eftersom det finns två okända variabler och två ekvationer kan man ställa upp ett ekvationssystem. 1=C* a^1 3=C* a^2 Nu kan man använda substitutionsmetoden för att bestämma de okända konstanterna.

1=C* a^1 & (I) 3=C* a^2 & (II)

(I): Förenkla potens

1=C* a 3=C* a^2

(I): .VL /a.=.HL /a.

1a=C 3=C* a^2

(I): Omarrangera ekvation

C= 1a 3=C* a^2

(II): C= 1/a

C= 1a 3= 1a* a^2

(II): Multiplicera faktorer

C= 1a 3= a^2a

(II): Förenkla kvot

C= 1a 3=a

(II): Omarrangera ekvation

C= 1a a=3

(I): a= 3

C= 1 3 a=3

5

Sätt in konstanterna

Till sist sätts värdena för konstanterna in i funktionsuttrycket. y=C* a^x ⇒ y=1/3* 3^x

Exempel

Bestäm funktionen med hjälp av grafen

Vilken andragradsfunktion beskriver grafen?

Ledtråd

Använd den allmänna formeln för en andragradsekvation. Analysera den givna grafen och hitta y-skärningspunkten och koordinaterna för vertexen.

Lösning

Den allmänna formen för en andragradsfunktion är y=ax^2+bx+c, där a, b, och c är reella konstanter. Konstanten c kan vi bestämma direkt eftersom det är y-värdet där grafen skär y-axeln.

Vi ser att y-värdet är 4 så c=4, vilket ger y=ax^2+bx+4. Det finns nu två okända konstanter kvar, så vi behöver ytterligare två punkter för att bestämma dem. Vi väljer två där x- och y-koordinaterna är lätta att läsa av.

Två punkter på kurvan är (2,8) och (6,4), och sätter vi in dessa i funktionsuttrycket bildas två ekvationer. Punkten (2,8) betyder att när man sätter in x=2 är y=8. Det ger ekvationen a* 2^2+b*2+4=8. På samma sätt får man ekvationen a* 6^2+b*6+4=4 genom att sätta in den andra punktens koordinater. Dessa två ekvationer bildar ett ekvationssystem som man kan lösa med exempelvis additionsmetoden.

a* 2^2+b*2+4=8 & (I) a* 6^2+b*6+4=4 & (II)

Beräkna potens & produkt

4a+2b+4=8 36a+6b+4=4

(I): VL * (-3)=HL* (-3)

-12 a-6b-12=-24 36a+6b+4=4

(I): Addera (II)

-12 a-6b-12+ 36a+6b+4=-24+ 4 36a+6b+4=4

(I): Förenkla termerna

24a-8= -20 36a+6b+4=4

(I): VL+8=HL+8

24a= -12 36a+6b+4=4

(I): .VL /24.=.HL /24.

a= -0,5 36a+6b+4=4

Nu sätter vi in värdet på a i den andra ekvationen.

a= -0,5 36a+6b+4=4

(II): a= -0,5

a= -0,5 36( -0,5)+6b+4=4

(II):a(- b)=- a * b

a= -0,5 -18+6b+4=4

(II): Förenkla termerna

a= -0,5 -14+6b=4

(II):VL+14=HL+14

a= -0,5 6b=18

(II): .VL /6.=.HL /6.

a= -0,5 b=3

a är -0,5 och b är 3. Sedan tidigare vet vi också att c=4. Detta ger funktionen y=-0,5 x^2+3x+4.

Exempel

Skriva en andragradsfunktion givet dess graf

Linnea vill skriva den faktoriserade formen av andragradsfunktionen som motsvarar den givna parabeln.

Hjälp Linnea att hitta den önskade ekvationen!

Ledtråd

Börja med att identifiera x-skärningarna för parabeln.

Lösning

Kom ihåg formatet för den faktoriserade formen av en parabel. y= a(x- p)(x- q) I det här formatet är funktionens nollställen p och q. Därför, för att ange värdena för p och q, börja med att identifiera x-skärningarna för grafen.

Parabeln skär x-axeln vid ( -5,0) och ( 1,0). Detta innebär att p och q är -5 och 1. Det spelar ingen roll vilket värde som tillskrivs vilken variabel, så det anses godtyckligt att p= -5 och q= 1. Med denna information kan följande ekvation skrivas. y= a(x-( - 5))(x- 1) ⇕ y= a(x+5)(x-1) Slutligen, för att hitta värdet av a kan vilken som helst punkt på parabeln användas. För enkelhetens skull kommer vertexen att användas.

Parabelns vertex ligger vid (- 2,- 3). Därför kan - 2 och - 3 sättas in för x och y, respektive, i den partiella ekvationen. Ekvationen kan sedan lösas för a.

y=a(x+5)(x-1)

x= - 2 och y= - 3

- 3=a( - 2+5)( - 2-1)

▼

Lös ut a

Addera och subtrahera termerna

- 3=a(3)(- 3)

a(- b)=- a * b

- 3=a(- 9)

.VL /(- 9).=.HL /(- 9).

- 3/- 9=a

- a/- b=a/b

3/9=a

Förkorta med 3

1/3=a

Omarrangera ekvation

a=1/3

Det har funnits att värdet av a är 13. Med denna information kan ekvationen för den givna parabeln skrivas i faktoriserad form. y= 1/3(x-( -5))(x- 1) ⇕ y=1/3(x+5)(x-1)

Samband mellan graf och funktionsuttryck

Uppgifter

Du har graferna f, g, h och k.

Para ihop dessa med rätt funktionsuttryck utan att använda räknare. &A y=6 * 1,01^x &B y=3 * 1,1^x &C y=3 * 0,95^x &D y=6 * 1,4^x

Uppgiften handlar om den typ av funktioner som kallas exponentialfunktioner, som skrivs på formen y=C * a^x. Exponentialfunktioner beskriver procentuella förändringar utifrån ett startvärde C. Konstanten C anger rent grafiskt skärningspunkten med y-axeln, och a är förändringsfaktorn. Vi börjar med de två funktioner som skär y-axeln där y=3.

Startvärdet C = 3

Funktionerna B och C har startvärdet 3. Vi ska alltså para ihop g(x) och k(x) med två av funktionsuttrycken &B y=3 * 1,1^x &C y=3 * 0,95^x. Det som skiljer funktionsuttrycken åt är a. B har a=1,1, tolkar vi denna förändringsfaktor inser vi att det är en ökning med 10 %. C:s förändringsfaktor däremot är 0,95 vilket motsvarar en minskning med 5 %. I och med att g(x) växer, medan k(x) avtar, kan vi då para ihop graf och funktionsuttryck på följande vis. &g(x) - B y=3 * 1,1^x &k(x) - C y=3 * 0,95^x.

Startvärdet C = 6

Funktionerna f(x) och h(x) skär y-axeln där y=6, så de måste vara &A y=6 * 1,01^x &D y=6 * 1,4^x Här ser vi att båda funktionerna är växande. Men de växer olika snabbt. Tittar vi på förändringsfaktorerna ser vi att A bara växer med 1 % för varje steg i x-led, medan D växer med hela 40 %. Den graf som är brantast är den som växer fortast, vilket är den svarta grafen f(x). Den långsammare h(x) hör därför ihop med A.

Sammanfattning

Då har vi parat ihop grafer och funktionsuttryck. &h(x) - A y=6 * 1,01^x &g(x) - B y=3 * 1,1^x &k(x) - C y=3 * 0,95^x &f(x) - D y=6 * 1,4^x.

Figuren visar graferna till fyra funktioner.

Funktionen f(x) är en exponentialfunktion på formen y=Ca^x. Bestäm C.

Funktionen g(x) är också en exponentialfunktion på formen y=Ca^x. Bestäm C.

Funktionen h(x) är en andragradsfunktion på formen y=ax^2+bx+c. Bestäm c.

Funktionen k(x) är också en andragradsfunktion på formen y=ax^2+bx+c. Bestäm c.

I en exponentialfunktion anger startvärdet C var grafen skär y-axeln. Genom avläsningar från figuren ser vi att det är 4 för f(x).

Med samma resonemang som i föregående deluppgift avläser vi C ur figuren och får att det är ca. 1,5 för g(x).

Även i andragradsfunktioner anger lilla c var grafen skär y-axeln. Vi avläser värdet c=-3 för h(x).

Vi repeterar att lilla c anger var grafen skär y-axeln i andragradsfunktioner. Vi avläser värdet c=5 för h(x).

Vilka av andragradsfunktionerna har en positiv koefficient framför x^2-termen.

Avgör utan räknare vilken eller vilka av följande funktioner som har en maximipunkt. &f(x)=x^2+5x &g(x)=4x^2-3x-2 &h(x)=9x-6x^2+0,3 Kontrollera sedan ditt svar med räknare.

För en andragradsfunktion på formen y=ax^2+bx+c gäller att om a är positiv får vi en glad mun, och om a är negativ får vi en sur mun.

Vi ser i figuren att de kurvor som har positiva koefficienter framför x^2 är A och D, medan B och C har negativa koefficienter.

Enligt samma minnesregel kan vi utläsa att en kurva med maximipunkt ska ha en negativ koefficient framför x^2-termen. Den funktion som detta gäller för är h(x)=9x-6x^2+0,3, där a=-6, som då måste vara den enda funktionen med en maximipunkt.

Kontroll med räknare

Vi kontrollerar våra slutsatser genom att låta räknaren rita graferna. Då kan vi se vilka som ser ut som en glad mun (har minimipunkt) respektive ledsen mun (har maximipunkt). Vi börjar med att skriva in funktionerna i räknaren genom att trycka på Y=.

Vi trycker på GRAPH för att rita graferna. De ritas ut i den ordning vi skrivit in dem ovan, men vi kan även växla graf genom att trycka på TRACE och sedan uppåt- eller nedåtpil. Vi ser då att det endast är den tredje grafen h(x)=9x-6x^2+0,3 som ser ut som en ledsen mun och därför har en maximipunkt. Precis som vi resonerade oss fram till.

En andragradsfunktion har nollställena x=-1 och x=2. Minimipunkten är (0,5;-2). Skissa kurvan för hand. En andragradskurva skär y-axeln i (0,2). Dess nollställen är x=-4 och x=2. Skissa kurvan för hand.

Minimipunkten har koordinaterna (0,5;-2). Vi markerar den, och eftersom det är en minimipunkt kommer den att gå uppåt på båda sidor.

Nollställena är x=-1 och x=2 vilket betyder att grafen skär x-axeln där. Vi förlänger den blå grafen så att den skär x-axeln på rätt ställen.

Vi börjar med att markera nollställena i ett koordinatsystem.

Skärningspunkten med y-axeln är (0,2) så vi markerar den också och ritar en parabel genom punkterna.

Bestäm skärningspunkten med y-axeln för följande funktioner utan att använda räknare.

y=2x^2-5x-7

y=ax^2+bx+c

På y-axeln är x-värdet alltid 0. Vi sätter därför in x=0 i funktionsuttrycket och beräknar y.

När x är lika med 0 är y lika med -7. Det betyder att skärningspunkten med y-axeln är (0,-7).

Vi gör på samma sätt och sätter in x=0.

y är lika med c när x är 0. Det betyder att skärningspunkten är (0,c). Detta är generellt och man kan alltid läsa av en funktions skärning med y-axeln som konstanttermen i funktionsuttrycket.

Du har graferna f, g, h och k.

Para ihop dessa med rätt funktionsuttryck utan att använda räknare. &A y=- x^2+7x-10 &B y=0,6x^2+3x+3 &C y=1,1x^2-2,5x+3 &D y=-4 x^2-12x-11.

Andragradsfunktioner skrivs på formen y=ax^2+bx+c. Vi vet att a bestämmer bredd och om grafen är glad eller sur, samt att c anger skärningen med y-axeln. Vi kan börja med graferna f(x) och h(x), som har positivt värde på koefficienten a.

Positivt a

Funktionerna B och C har positiva koefficienter framför x^2. Vi ska alltså para ihop f(x) och h(x) med &B y=0,6x^2+3x+3 &C y=1,1x^2-2,5x+3. Vi ser att f(x) är något bredare än h(x), vilket i det här fallet innebär att den har ett mindre värde på a. Eftersom 0,6 är mindre än 1,1 kan vi avgöra hur funktionsuttrycken passar med graferna: &f(x) - B y=0,6x^2+3x+3 &h(x) - C y=1,1x^2-2,5x+3.

Negativt a

Funktionerna A och D har negativa koefficienter framför x^2. Vi ska alltså para ihop g(x) och k(x) med två av &A y=- x^2+7x-10 &D y=-4 x^2-12x-11. Här ser vi att k(x) är betydligt bredare än g(x), vilket innebär att den bör ha ett mindre negativt a-värde än g(x). Då kan vi se att k(x) måste höra ihop med A och g(x) med D.

Sammanfattning

Då har vi parat ihop grafer och funktionsuttryck på följande sätt. &f(x) → B y=0,6x^2+3x+3 &g(x) → D y=-4 x^2-12x-11 &h(x) → C y=1,1x^2-2,5x+3 &k(x) → A y=- x^2+7x-10.

Figuren visar graferna till två olika andragradsfunktioner på formen y=ax^2+c.

Bestäm funktionsuttrycket för f(x).

Bestäm funktionsuttrycket för g(x).

En andragradsfunktion skrivs generellt på formen y=ax^2+bx+c, men vi får veta att våra funktioner är på formen y=ax^2+c. Värdet på konstanttermen c innebär dock fortfarande samma sak, dvs. där grafen skär y-axeln. För den blå grafen f(x) är därför c=2 och för g(x) är c=- 1.

Eftersom c=2 vet vi redan att funktionsuttrycket kommer se ut så här: f(x)=ax^2+2. Vi kan även avgöra att a ska vara positivt eftersom vi har en "glad" graf. Men för att bestämma det exakta värde på a använder vi metoden för att hitta funktionsuttrycket utifrån graf. Vi har alltså en okänd konstant, a, så vi behöver avläsa en punkt på grafen, t.ex. punkten (1,4).

Punkten (1,4) innebär att då x=1 är y=4. Vi sätter in detta i funktionsuttrycket.

Nu vet vi även att a=2. Det ger oss funktionsuttrycket f(x)=2x^2+2.

Tidigare kom vi fram till att c=-1 för g(x). Den röda grafen skrivs på formen: g(x)=ax^2-1. För att bestämma a läser vi av en punkt på samma sätt som i förra deluppgiften.

Vi sätter in punkten (2,-3) i funktionsuttrycket.

Nu vet vi även att a=- 0,5. Funktionsuttrycket är alltså g(x)=-0,5x^2-1.

Figuren visar graferna till två olika exponentialfunktioner, C* a^x.

Bestäm funktionsuttrycket för f(x).

Bestäm funktionsuttrycket för g(x)

En exponentialfunktion skrivs på formen y=C * a^x, där C är startvärdet, dvs. där grafen skär y-axeln. För den blå grafen f(x) är därför C=4 och för g(x) är C=16.

Vi använder metoden för att bestämma en funktion utifrån dess graf. Eftersom startvärdet är C=4 måste uttrycket vara på formen f(x)=4 * a^x, där vi saknar förändringsfaktorn a. Vi har alltså en okänd konstant, och enligt metoden behöver vi då en punkt. Vi läser av t.ex. punkten (1,6).

Punkten (1,6) innebär att då x=1 är y=6. Vi sätter in detta i funktionsuttrycket.

Nu vet vi även att a=1,5. Det ger oss funktionsuttrycket f(x)=4 * 1,5^x.

Vi använder metoden för att bestämma en funktion utifrån dess graf igen. I föregående deluppgift kom vi fram till att C=16 för g(x), vilket betyder att den röda grafen skrivs på formen: g(x)=16 * a^x. För att bestämma a läser vi av en punkt på samma sätt som i förra deluppgiften.

Vi sätter Punkten (1,12) i funktionsuttrycket.

Nu vet vi även att a=0,75. Funktionsuttrycket är alltså g(x)=16 * 0,75^x.

Samband mellan graf och funktionsuttryck

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Redigera lektion

≥

>

■2

■▢

e▢

7

8

9

×

÷■1

=

=

√▢

▢√

∫▢▢

4

5

6

+

−

≤

<

log

ln

log▢

1

2

3

()

∣

sin

cos

tan

0

.

π

x

y