Rotuttryck: Kvadratrot och kubikrot med räkneregler.

Om vi vet att

a \geq 0,

vad är då villkoret för

b

för att likheten

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}

ska gälla? Använd dig av olikhetstecken.

Först och främst får b inte vara negativt, för då blir det roten ur ett negativt tal, vilket saknar reella lösningar. b≥0 ? Men, sedan är det ju så att man inte får dela med 0, så sqrt(b) får heller inte vara 0. Villkoret för b kan vi därför skriva som b>0. b> 0 ✓

Förenkla produkten

2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 3

så långt det går. Svara exakt och med minsta möjliga tal under rottecknet.

Utan räknare kan vi inte räkna ut de individuella rötterna. Men om vi använder sqrt(a)* sqrt(b)=sqrt(a* b) kan vi sätta talen under ett och samma rottecken.

Svaret sqrt(180) är exakt men enligt uppgiften ska vi svara med så litet rotuttryck som möjligt. Delar vi upp faktorerna under rottecknet ytterligare kan vi kanske bilda perfekta kvadrater och därefter använda regeln baklänges: sqrt(a* b)=sqrt(a)* sqrt(b), och därmed minimera vårt rotuttryck.

Vi kan alltså skriva om sqrt(2)* sqrt(6)* sqrt(5) * sqrt(3) som 6sqrt(5).

Sortera följande tal från minst till störst utan att använda räknare.

A : C : 8, 5 \frac{6 5}{3 , 9} B : D : 0, 24 1 + 80

Vi uppskattar talens storlek genom lämpliga resonemang.

Tal A

Vi söker det tal som gånger sig självt blir 8,5. Eftersom 3*3=9 innebär det att sqrt(8,5) borde vara något mindre än 3.

Tal B

0,24 är ungefär lika 0,25. Det betyder att sqrt(0,24) är ungefär sqrt(0,25) som är 0,5.

Tal C

Här kan vi uppskatta sqrt(65) och sqrt(3,9) var för sig. sqrt(64) är lika med 8 så sqrt(65) ≈ 8. Med samma resonemang kan vi uppskatta sqrt(3,9) till ungefär 2. Tal C är alltså: sqrt(65)/sqrt(3.9)≈8/2=4.

Tal D

Även här behandlar vi sqrt(1) och sqrt(80) var för sig. Kvadratroten ur 1 är lika med 1. sqrt(80) är ungefär 9 eftersom 9 * 9 är 81. Tal D är alltså ungefär 1 + 9 =10. Nu kan vi placera talen i storleksordning.

Alternativ	Uttryck	Uppskattat värde
A	sqrt(8,5)	3
B	sqrt(0,24)	0,5
C	sqrt(65)/sqrt(3,9)	4
D	sqrt(1)+sqrt(80)	10
Från minst till störst: B, A, C, D

Figuren visar tre kohagar, $A,$ $B$ och $C .$ Hagarna har tillsammans $23$ bruna och $45$ svartvita kor. Två bönder ska mötas vid mjölkningsplatsen M och mjölka.

Bonden Petter startar vid punkten $P$ och bonden Qristoffer startar vid punkten $Q .$ Båda går precis längs med kanten på hagarna. Hage $A$ har arean $a$ ae. och hage $B$ har arean $b$ ae. Hage $C$ har en area som är lika stor som de båda mindre hagarnas area tillsammans. Bestäm skillnaden mellan hur långt Petter och Qristoffer går.

Vi ska alltså ställa upp ett uttryck för längden av den blå respektive röda pilen. Eftersom de går precis längs med hagarnas kant kan vi räkna med att sträckan de går är lika lång som hagarnas sidor.

Petters sträcka

Petter måste gå längs med den vågräta och lodräta sidan av både hage A och B. Båda hagarna är kvadratiska och en kvadrats area beräknas genom att multiplicera dess sidor. Den första kvadraten har arean a vilket ger oss ett uttryck för dess sida.

Eftersom hagens sida inte kan vara negativ valde vi bort den negativa lösningen. Med samma resonomang blir sidan sqrt(b) för hagen med area b. Som tidigare nämnts går Petter längs med den vågräta och lodräta sidan av både hage A och B så sammanlagt går Petter sträckan 2sqrt(a)+2sqrt(b) le.

Qristoffers sträcka

Arean för hage C var lika stor som summan av de mindre hagarna, dvs. (a+b) ae. Vi inser då att sidan på hage C kan skrivas som sqrt(a+b) enligt samma resonemang som förts tidigare. Qristoffer gick alltså sträckan 2sqrt(a+b) le.

Skillnaden mellan dessa blir då 2sqrt(a)+2sqrt(b)-2sqrt(a+b)le., vilket även kan skrivas 2(sqrt(a)+sqrt(b)-sqrt(a+b)).

Beräkna värdet av uttrycket utan att använda din räknare.

3 + 2 \cdot 9 + 9

\frac{4}{8 1} + \frac{1}{2 5 - 1 6} + \frac{1 1}{2 7 \cdot 3}

Vi börjar med att förenkla uttrycket 9 + 9 och skriver sedan om de två inre rotuttrycken som ett.

Uttryckets värde är alltså 3.

Det yttersta rottecknet sparas till sist. Vi börjar med att förenkla varje bråk för sig så långt som möjligt tills alla rotuttryck utom det yttersta är borta.

Nu vill vi addera dessa bråk till ett enda. Det gör vi genom att först förlänga 13 med 3 så att alla bråk får samma nämnare. Slutligen kan vi dra roten ur täljare och nämnare var för sig.

Uttryckets värde är 43.

Hur många

5^{2}

ska finnas under rottecknet för att ekvationen ska stämma?

5^{2} + 5^{2} + \dots + 5^{2} = 5^{2} + 5^{2} + 5^{2}

En upprepad addition kan vi skriva som en multiplikation, tex är 2+2+2=3 * 2. Låt oss kalla antalet gånger som 5^2 ska adderas under rottecknet för n. Vi får då ekvationen sqrt(n* 5^2)=5^2+5^2+5^2. Genom att lösa ut n kan vi bestämma antalet gånger som 5^2 ska adderas för att ekvationen ska stämma.

Man ska alltså addera 5^2 med sig själv 225 gånger.

Skriv

a^{6} \cdot a^{6}

som en potens med basen

a .

Här har vi två likadana kvadratrotsuttryck som multipliceras med varandra. Vad betyder kvadratroten ur ett tal, t.ex. sqrt(9)? Det är det tal som multiplicerat med sig själv blir det som står under rottecknet, dvs. sqrt(9)=3 eftersom 3*3=9. Detta betyder ju också att sqrt(9)*sqrt(9)=9. En produkt av två kvadratrötter med samma tal under rottecknet blir alltså det talet. Det är ju precis ett sådant uttryck vi har här, men istället för ett tal står det a^6. Det gör ingenting att det är ett algebraiskt uttryck istället, vilket betyder att sqrt(a^6)* sqrt(a^6)=a^6. Uttrycket kan alltså förenklas till a^6.

Kvadratroten ur ett tal kan skrivas som upphöjt till en halv, 0.5. Detta kan vi använda och sedan utnyttja potenslagarna för att förenkla uttrycket.

Uttrycket kan alltså förenklas till a^6.

Rotuttryck

Förkunskaper

Kvadratrot

Rotuttryck

Rotuttryck på räknare

Extra

Beräkna uttryck med rotuttryck

Ledtråd

Lösning

Multiplikation och division med rotuttryck

Förenkla rotuttrycket

Ledtråd

Lösning

Utvärdera rötter

Tal A

Tal B

Tal C

Tal D

Petters sträcka

Qristoffers sträcka

Rotuttryck

Rekommenderade uppgifter

	8 sidor teori
	20 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.