body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Rekommenderade

Tester

Ett fel uppstod, försök igen senare!

eKurser /

( Ma 1a , Ma 1b ) /

Kapitel {{ article.chapter.number }}

{{ article.number }}.

Visa mindre Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

Kreditlista Bilder

{{ item.file.title }}
{{ presentation }}

Inga inlägg om filrättigheter hittades

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Kvadratrot
Rotuttryck
Multiplikation och division med rotuttryck

Förkunskaper

Rationella tal
Reella tal
Potens
Exponent

Teori

Kvadratrot

En kvadratrot av ett tal

a

är det icke-negativa talet som, när det multipliceras med sig självt, är lika med

a .

Till exempel är

4

kvadratroten ur

16 .

4 \cdot 4 = 16

Observera att för varje positivt tal

a

finns det två tal som blir

a

när de multipliceras med sig själva. Till exempel, både

3 \cdot 3

och

(- 3) \cdot (- 3)

blir

9 .

Dock definieras kvadratroten som ett positivt tal för att undvika tvetydighet om vilket värde som avses. Kvadratroten av

a

betecknas med

a .

Som exempel skrivs kvadratroten av

16

som

16 .

16 = 4

Att ta kvadratroten är den inversa operationen till att kvadrera ett tal. Att ta kvadratroten ur kvadraten av ett positivt tal

a

resulterar i

a .

a^{2} = a

När ett tal är en perfekt kvadrat är dess kvadratrötter heltal. Kvadratrötterna av positiva heltal som inte är perfekta kvadrater är irrationella tal.

Kvadratrot av Perfekta Kvadrater		Kvadratrot av Icke-Perfekta Kvadrater
Perfekt Kvadrat	Kvadratrot (Heltal)	Icke-Perfekt Kvadrat	Kvadratrot (Irrationellt Tal)
$1$	$1 = 1$	$2$	$2 \approx 1, 414213 \dots$
$4$	$4 = 2$	$3$	$3 \approx 1, 732050 \dots$
$9$	$9 = 3$	$5$	$5 \approx 2, 236067 \dots$
$16$	$16 = 4$	$10$	$10 \approx 3, 162277 \dots$
$25$	$25 = 5$	$20$	$20 \approx 4, 472135 \dots$

Kvadratroten av ett negativt tal är inte ett reellt tal. Detta beror på att det inte finns något reellt tal som, när det multipliceras med sig självt, resulterar i ett negativt tal.

a \cdot a \geq 0, f \ddot{o} r varje reellt tal a

Extra

Kvadratrötter av bråk och decimaltal

Separat från naturliga tal, kan kvadratrötter ur bråk beräknas genom att ta kvadratroten ur täljaren och nämnaren separat. Betrakta följande exempel.

\frac{9}{1 6} = \frac{3 ^{2}}{4 ^{2}} \Rightarrow \frac{9}{1 6} = \frac{3}{4}

Kvadratrötterna av decimaltal kan beräknas genom att skriva dem i bråkform. Sedan beräknas kvadratroten av täljaren och nämnaren. Tänk på följande exempel.

0, 36 = \frac{3 6}{1 0 0} = \frac{6 ^{2}}{1 0 ^{2}} ⇓ 0, 36 = \frac{6}{1 0} = 0, 6

Teori

Rotuttryck

Ett rotuttryck måste inte vara en kvadratrot utan roten kan även vara högre. I rotuttrycket $327,$ vilket utläses kubikroten ur $27$ eller tredje roten ur $27,$ så anger $3 : an$ typen av rot. Det är alltså det tal som multiplicerat med sig självt $3$ gånger blir $27,$ alltså $3 .$ Om typen av rot inte anges i ett rotuttryck är det underförstått att man menar kvadratroten.

Generellt är $n a$ det tal som multiplicerat med sig själv $n$ gånger är lika med $a .$

$n st . n a \cdot n a \cdot \dots \cdot n a = a$

På räknaren finns det också inbyggd funktionalitet för att skriva rotuttryck.

Teori

Rotuttryck på räknare

För att beräkna kvadratroten ur ett tal på räknaren skriver man först symbolen $,$ vilken kan skrivas genom att trycka på $2 ND$ och sedan $x^{2} .$ Då skrivs startparentesen ut automatiskt. Därefter skriver man det tal man vill dra roten ur följt av slutparentes.

TI-beräkning som visar kvadratroten ur 36

På motsvarande sätt kan man beräkna tredje roten ur ett tal genom att trycka på knappen MATH och välja $3 ($ följt av talet och slutparentes.

TI-meny som visar MATH, med tredje roten ur valt

Extra

Andra typer av rotuttryck

För att skriva andra typer av rötter börjar man med att skriva in vilken typ av rot man vill beräkna. Om man vill beräkna fjärde roten ur skriver man alltså en fyra.

Därefter trycker man på MATH och väljer $x,$ där $x : et$ står för en godtycklig rot.

Slutligen skriver man talet man vill dra den önskade roten ur inom parenteser och trycker $ENTER .$

Exempel

Beräkna uttryck med rotuttryck

Beräkna uttrycket.

36 \cdot 36 \cdot 36 + 9 - 4 2^{4}

Ledtråd

Kom ihåg hur man hittar värdena på rotuttryck.

Lösning

För att lösa uttrycket börjar vi med

36 \cdot 36 \cdot 36,

vilket förenklas till

6

eftersom tre lika faktorer i en kubrot eliminerar roten.

3 st . 36 \cdot 36 \cdot 36 = 6

Därefter beräknar vi

9 .

9

WriteProd

Skriv som produkt

3 \cdot 3

WritePow

Skriv som potens

3^{2}

SqrtPowToNumber

$a^{2} = a$

3

Slutligen förenklar vi

4 2^{4}

till

2 .

4 2^{4} = 2

När vi adderar och subtraherar dessa värden blir det totala resultatet

36 \cdot 36 \cdot 36 6 + 9 ↓ + 3 - 4 2^{4} - 2 = 7 .

Teori

Multiplikation och division med rotuttryck

Om rotuttryck innehåller produkter eller kvoter finns det räkneregler för att skriva om dem, vilket kan göra dem lättare att beräkna eller förenkla. Det blir till exempel enklare att beräkna

900

genom att skriva om

900

som

9 \cdot 100 .

9 \cdot 100 = 9 \cdot 100 = 3 \cdot 10 = 30

Generellt gäller följande likheter för multiplikation och division av rotuttryck.

$n a \cdot b = n a \cdot n b$

$n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b}$

Exempel

Förenkla rotuttrycket

Beräkna utan räknare:

\frac{6 \cdot 3}{2} .

Ledtråd

Kom ihåg hur man multiplicerar och dividerar med rotuttryck.

Lösning

Vi kan inte beräkna någon av rötterna utan räknare, men genom att använda räknereglerna för multiplikation och division av rotuttryck kan vi skriva om uttrycket och bestämma dess värde.

\frac{6 \cdot 3}{2}

MultRoot

$a \cdot b = a \cdot b$

\frac{6 \cdot 3}{2}

Multiply

Multiplicera faktorer

\frac{1 8}{2}

DivSqrt

$\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$

\frac{1 8}{2}

CalcQuot

Beräkna kvot

9

CalcRoot

Beräkna rot

3

Uttrycket kan alltså förenklas till

3 .

Man kan också beräkna det genom att skriva

6

som

2 \cdot 3 .

\frac{6 \cdot 3}{2}

Rewrite

Skriv $6$ som $2 \cdot 3$

\frac{2 \cdot 3 \cdot 3}{2}

SqrtProd

$a \cdot b = a \cdot b$

\frac{2 \cdot 3 \cdot 3}{2}

CrossCommonFac

Stryk faktorer

\frac{2 \cdot 3 \cdot 3}{2}

SimpQuot

Förenkla kvot

3 \cdot 3

MultSqrt

$a \cdot a = a$

3

Övning

Utvärdera rötter

I följande applet är radikanderna perfekta kvadrater eller perfekta kuber. Med detta i åtanke, beräkna de exakta kvadratrötterna och kubrötterna.

Slumpmässiga kvadratrötter och kubrötter.

Avslut

Sammanfattning

Vi lär oss rotuttryck i den här lektionen. Kvadratrötter och kubrötter är speciella rotuttryck.

Rotuttryck	Typ
$3$	Kvadratrot
$34$	Kubikroten

Att ta kvadratroten är den inversa operationen till att kvadrera ett tal. Att ta kvadratroten ur kvadraten av ett positivt tal

a

resulterar i

a .

a^{2} = a

Generellt är

n a

det tal som multiplicerat med sig själv

n

gånger är lika med

a .

n st . n a \cdot n a \cdot \dots \cdot n a = a

Dessutom gäller följande likheter för multiplikation och division av rotuttryck.

n a \cdot b n \frac{a}{b} = n a \cdot n b = \frac{n a}{n b}

Laddar innehåll

{{ article.displayTitle }}

Förkunskaper

Extra

Extra

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning