10. Rotuttryck
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 1
12.
Rotuttryck
Innehållet handlar om rotuttryck och olika sätt att beräkna och förstå dem. Den förklarar begrepp som kvadratrot och kubikrot, och visar hur man kan använda dessa i matematiska beräkningar. Sidan innehåller också exempel på hur man kan förenkla och beräkna rotuttryck utan en miniräknare, samt hur man kan använda en räknare för att utföra dessa beräkningar. Det finns även en sektion som förklarar hur man kan multiplicera och dividera med rotuttryck, och hur man kan använda dessa regler för att förenkla beräkningar.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 8 sidor teori |
| | 20 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Rotuttryck
Sida av 8
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Kvadratrot
- Rotuttryck
- Multiplikation och division med rotuttryck
Förkunskaper
Teori
Kvadratrot
Kvadratroten ur ett tal a, vilket skrivs a, är det positiva tal som när det multipliceras med sig självt blir a. Exempelvis är 16 lika med 4 eftersom 4⋅4=16 och på samma sätt är 25 lika med 5 eftersom 5⋅5=25. Man kan också se kvadratroten som motsatsen till att kvadrera ett tal.
a⋅a=aeller(a)2=a
Drar man kvadratroten ur ett positivt tal a som har kvadrerats tar de två operationerna ut varandra och man får alltså tillbaka a.
- Om man beräknar kvadratroten ur 9 kommer detta värde alltid att vara det positiva värdet 3, trots att även (−3)2 är lika med 9. Kvadratroten är definierad på det viset så att det inte finns någon tvetydighet kring vilket värde man menar.
- Det finns inget reellt tal som när det kvadreras ger ett negativt tal eftersom (−)⋅(−)=(+). Detta innebär att det inte heller kan finns något reellt värde som är kvadratroten ur ett negativt tal. Exempelvis är −16 odefinierat.
Teori
Rotuttryck
Ett rotuttryck måste inte vara en kvadratrot utan roten kan även vara högre. I rotuttrycket 327, vilket utläses kubikroten ur 27 eller tredje roten ur 27,
så anger 3:an typen av rot. Det är alltså det tal som multiplicerat med sig självt 3 gånger blir 27, alltså 3. Om typen av rot inte anges i ett rotuttryck är det underförstått att man menar kvadratroten.
Generellt är na det tal som multiplicerat med sig själv n gånger är lika med a.
n st.na⋅na⋅⋯⋅na=a
Teori
Rotuttryck på räknare
För att beräkna kvadratroten ur ett tal på räknaren skriver man först symbolen , vilken kan skrivas genom att trycka på 2ND och sedan x2. Då skrivs startparentesen ut automatiskt. Därefter skriver man det tal man vill dra roten ur följt av slutparentes.
På motsvarande sätt kan man beräkna tredje roten ur ett tal genom att trycka på knappen MATH
och välja 3 (
följt av talet och slutparentes.
Extra
Andra typer av rotuttryckFör att skriva andra typer av rötter börjar man med att skriva in vilken typ av rot man vill beräkna. Om man vill beräkna fjärde roten ur skriver man alltså en fyra.
Därefter trycker man på MATH
och väljer x ,
där x:et står för en godtycklig rot.
Slutligen skriver man talet man vill dra den önskade roten ur inom parenteser och trycker ENTER.
Exempel
Beräkna uttryck med rotuttryck
Beräkna uttrycket.
36⋅36⋅36+9−424
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["7"]}}
Ledtråd
Kom ihåg hur man hittar värdena på rotuttryck.
Lösning
För att lösa uttrycket börjar vi med 36⋅36⋅36, vilket förenklas till 6 eftersom tre lika faktorer i en kubrot eliminerar roten.
3 st.36⋅36⋅36=6
Därefter beräknar vi 9.
Slutligen förenklar vi 424 till 2. 424=2
När vi adderar och subtraherar dessa värden blir det totala resultatet 36⋅36⋅366+9↓+3−424−2=7.
Teori
Multiplikation och division med rotuttryck
Om rotuttryck innehåller produkter eller kvoter finns det räkneregler för att skriva om dem, vilket kan göra dem lättare att beräkna eller förenkla. Det blir till exempel enklare att beräkna 900 genom att skriva om 900 som 9⋅100.
9⋅100=9⋅100=3⋅10=30
Generellt gäller följande likheter för multiplikation och division av rotuttryck. na⋅b=na⋅nb
nba=nbna
Exempel
Förenkla rotuttrycket
Beräkna utan räknare:
26⋅3.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["3"]}}
Ledtråd
Kom ihåg hur man multiplicerar och dividerar med rotuttryck.
Lösning
Vi kan inte beräkna någon av rötterna utan räknare, men genom att använda räknereglerna för multiplikation och division av rotuttryck kan vi skriva om uttrycket och bestämma dess värde.
Uttrycket kan alltså förenklas till 3. Man kan också beräkna det genom att skriva 6 som 2⋅3.
26⋅3
MultRoot
a⋅b=a⋅b
26⋅3
Multiply
Multiplicera faktorer
218
DivSqrt
ba=ba
218
CalcQuot
Beräkna kvot
9
CalcRoot
Beräkna rot
3
26⋅3
Rewrite
Skriv 6 som 2⋅3
22⋅3⋅3
SqrtProd
a⋅b=a⋅b
22⋅3⋅3
CrossCommonFac
Stryk faktorer
22⋅3⋅3
SimpQuot
Förenkla kvot
3⋅3
MultSqrt
a⋅a=a
3
Övning
Utvärdera rötter
I följande applet är radikanderna perfekta kvadrater eller perfekta kuber. Med detta i åtanke, beräkna de exakta kvadratrötterna och kubrötterna.
Beräkna värdet av uttrycket med räknare. Svara med två decimaler.
34
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["5.83"]}}
5+2
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2.65"]}}
5+2
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["3.65"]}}
2⋅17+2
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["10.25"]}}
security
report
code
security
report
code
Roten sqrt(34) går inte att räkna ut exakt i decimalform, så vi måste slå in den på en räknare. För att slå in ett rotentecken trycker vi på 2ND och x^2 och därefter talet vi ska dra roten ur. Kom ihåg högerparentesen.
Roten ur 34 är alltså ungefär 5,83.
Vi adderar först talen innanför roten så vi får uttrycket sqrt(7) och beräknar sedan detta med hjälp av räknare.
Vi vet nu att sqrt(7) är ca 2,65.
Det går inte att förenkla uttrycket, så vi blir tvungna att slå in båda rötterna på miniräknare.
På displayen ser vi att svaret är ca 3,65.
Vi slår in uttrycket på miniräknaren och avrundar sedan till två värdesiffror.
Uttrycket vi beräknat är alltså lika med ca 10,25.
security
report
code
Beräkna utan räknare.
3⋅3
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["3"]}}
(53)2
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["53"]}}
security
report
code
security
report
code
Roten ur 3 anger det tal som multiplicerat med sig själv ger 3.
Roten ur 53 anger det tal som multiplicerat med sig själv ger 53. Vi skriver potensen som en produkt enligt a^2=a* a och kan därefter använda samma metod som tidigare.
(sqrt(53))^2 är alltså lika med 53. Man kan säga att roten ur
och upphöjt till 2
tar ut varandra. De är vad man kallar inverser.
security
report
code
Beräkna värdet av uttrycket utan räknare.
7⋅4−3
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["5"]}}
7+258
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["6"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att beräkna det som står under rottecknet.
Uttryckets värde är 5.
Som tidigare förenklar vi uttrycket under rottecknet först.
Uttryckets värde är 6.
security
report
code
Hur lång är sidan av en kvadrat med arean 64 cm2?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"cm","answer":{"text":["8"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi kallar kvadratens sidlängd för s.
Det betyder att arean kan beskrivas av uttrycket s^2 Då får vi en ekvation som vi kan lösa genom att dra kvadratroten ur båda led.
Eftersom längder alltid är positiva är vi inte intresserade av den negativa lösningen. Kvadratens sidlängd är alltså 8 cm.
security
report
code
Bestäm utan räknare och kontrollera svaret med räknare.
144
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["12"]}}
0,25
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["0,5"]}}
94
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{2}{3}"]}}
security
report
code
security
report
code
Eftersom 12*12 är lika med 144 är sqrt(144)=12. Vi kontrollerar svaret med räknaren genom att trycka på Sqrt (2nd+x^2) och sedan det tal vi vill dra roten ur.
Eftersom 0,5*0,5 är lika med 0,25 är sqrt(0,25)=0,5. Vi kontrollerar med hjälp av räknaren på samma sätt som i föregående deluppgift.
Att beräkna roten ur ett bråk är samma sak som att dra roten ur täljare och nämnare var för sig.
Svaret blir alltså 23. När vi nu kontrollerar svaret med räknaren måste vi sätta parenteser runt bråket.
Notera att 23 är detsamma som 0,66666..., så de två svaren är lika.
security
report
code
Beräkna värdet av uttrycket med räknare. Svara med två decimaler.
39
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2.08","2,08"]}}
4215
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["3.83","3,83"]}}
7⋅513⋅8
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["17.72","17,72"]}}
610000+710000
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["8.37","8,37"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi använder verktygen för rotuttryck på räknaren. Genom att trycka på MATH hittar vi tredje roten ur och väljer det alternativet.
Därefter skriver vi in 9 och avslutar med parentes.
Vi avrundar till två decimaler och får då ~2,08.
Vi använder räknarens verktyg för rötter. Vi måste skriva typ av rot, 4, innan vi går in i MATH-menyn och väljer sqrt().
Avrundning till två decimaler ger ~ 3,83.
Vi skriver in uttrycket i räknaren. Kom ihåg att sätta parenteser runt produkten.
Nu avrundar vi till två decimaler och får ~17,72.
Vi kan skriva in uttrycket direkt på räknaren på liknande sätt som innan.
Avrundning ger ~8,37.
security
report
code
En kubs volym är 216 cm3. Hur lång är kubens sida?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"cm","answer":{"text":["6"]}}
security
report
code
security
report
code
En kubs volym beräknas genom att multiplicerar sidan tre gånger. Om kubens sida är s är volymen V=s^3. Vi sätter in den kända volymen 216 cm^3 och löser sedan ut sidan s genom att dra kubikroten ur båda led.
Kubens sida är 6cm.
security
report
code
Rotuttryck
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll