10. Rotuttryck
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 1
10.
Rotuttryck
Innehållet handlar om rotuttryck och olika sätt att beräkna och förstå dem. Den förklarar begrepp som kvadratrot och kubikrot, och visar hur man kan använda dessa i matematiska beräkningar. Sidan innehåller också exempel på hur man kan förenkla och beräkna rotuttryck utan en miniräknare, samt hur man kan använda en räknare för att utföra dessa beräkningar. Det finns även en sektion som förklarar hur man kan multiplicera och dividera med rotuttryck, och hur man kan använda dessa regler för att förenkla beräkningar.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 8 sidor teori |
| | 24 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Rotuttryck
Sida av 8
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Kvadratrot
- Rotuttryck
- Multiplikation och division med rotuttryck
Förkunskaper
Teori
Kvadratrot
Kvadratroten ur ett tal a, vilket skrivs a, är det positiva tal som när det multipliceras med sig självt blir a. Exempelvis är 16 lika med 4 eftersom 4⋅4=16 och på samma sätt är 25 lika med 5 eftersom 5⋅5=25. Man kan också se kvadratroten som motsatsen till att kvadrera ett tal.
a⋅a=aeller(a)2=a
Drar man kvadratroten ur ett positivt tal a som har kvadrerats tar de två operationerna ut varandra och man får alltså tillbaka a.
- Om man beräknar kvadratroten ur 9 kommer detta värde alltid att vara det positiva värdet 3, trots att även (−3)2 är lika med 9. Kvadratroten är definierad på det viset så att det inte finns någon tvetydighet kring vilket värde man menar.
- Det finns inget reellt tal som när det kvadreras ger ett negativt tal eftersom (−)⋅(−)=(+). Detta innebär att det inte heller kan finns något reellt värde som är kvadratroten ur ett negativt tal. Exempelvis är −16 odefinierat.
Teori
Rotuttryck
Ett rotuttryck måste inte vara en kvadratrot utan roten kan även vara högre. I rotuttrycket 327, vilket utläses kubikroten ur 27 eller tredje roten ur 27,
så anger 3:an typen av rot. Det är alltså det tal som multiplicerat med sig självt 3 gånger blir 27, alltså 3. Om typen av rot inte anges i ett rotuttryck är det underförstått att man menar kvadratroten.
Generellt är na det tal som multiplicerat med sig själv n gånger är lika med a.
n st.na⋅na⋅⋯⋅na=a
Teori
Rotuttryck på räknare
För att beräkna kvadratroten ur ett tal på räknaren skriver man först symbolen , vilken kan skrivas genom att trycka på 2ND och sedan x2. Då skrivs startparentesen ut automatiskt. Därefter skriver man det tal man vill dra roten ur följt av slutparentes.
På motsvarande sätt kan man beräkna tredje roten ur ett tal genom att trycka på knappen MATH
och välja 3 (
följt av talet och slutparentes.
Extra
Andra typer av rotuttryckFör att skriva andra typer av rötter börjar man med att skriva in vilken typ av rot man vill beräkna. Om man vill beräkna fjärde roten ur skriver man alltså en fyra.
Därefter trycker man på MATH
och väljer x ,
där x:et står för en godtycklig rot.
Slutligen skriver man talet man vill dra den önskade roten ur inom parenteser och trycker ENTER.
Exempel
Beräkna uttryck med rotuttryck
Beräkna uttrycket.
36⋅36⋅36+9−424
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["7"]}}
Ledtråd
Kom ihåg hur man hittar värdena på rotuttryck.
Lösning
För att lösa uttrycket börjar vi med 36⋅36⋅36, vilket förenklas till 6 eftersom tre lika faktorer i en kubrot eliminerar roten.
3 st.36⋅36⋅36=6
Därefter beräknar vi 9.
Slutligen förenklar vi 424 till 2. 424=2
När vi adderar och subtraherar dessa värden blir det totala resultatet 36⋅36⋅366+9↓+3−424−2=7.
Teori
Multiplikation och division med rotuttryck
Om rotuttryck innehåller produkter eller kvoter finns det räkneregler för att skriva om dem, vilket kan göra dem lättare att beräkna eller förenkla. Det blir till exempel enklare att beräkna 900 genom att skriva om 900 som 9⋅100.
9⋅100=9⋅100=3⋅10=30
Generellt gäller följande likheter för multiplikation och division av rotuttryck. na⋅b=na⋅nb
nba=nbna
Exempel
Förenkla rotuttrycket
Beräkna utan räknare:
26⋅3.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["3"]}}
Ledtråd
Kom ihåg hur man multiplicerar och dividerar med rotuttryck.
Lösning
Vi kan inte beräkna någon av rötterna utan räknare, men genom att använda räknereglerna för multiplikation och division av rotuttryck kan vi skriva om uttrycket och bestämma dess värde.
Uttrycket kan alltså förenklas till 3. Man kan också beräkna det genom att skriva 6 som 2⋅3.
26⋅3
MultRoot
a⋅b=a⋅b
26⋅3
Multiply
Multiplicera faktorer
218
DivSqrt
ba=ba
218
CalcQuot
Beräkna kvot
9
CalcRoot
Beräkna rot
3
26⋅3
Rewrite
Skriv 6 som 2⋅3
22⋅3⋅3
SqrtProd
a⋅b=a⋅b
22⋅3⋅3
CrossCommonFac
Stryk faktorer
22⋅3⋅3
SimpQuot
Förenkla kvot
3⋅3
MultSqrt
a⋅a=a
3
Övning
Utvärdera rötter
I följande applet är radikanderna perfekta kvadrater eller perfekta kuber. Med detta i åtanke, beräkna de exakta kvadratrötterna och kubrötterna.
Rotuttryck
Beräkna uttryckets värde utan räknare.
1064−5(12)2
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["20"]}}
315+10−312−8
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["9"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi beräknar värdet av termerna 10sqrt(64) och 5(sqrt(12))^2 var för sig innan vi subtraherar. Kom ihåg att (sqrt(a))^2=a.
Uttrycket är lika med 20.
Först förenklar vi termerna under rottecknen och sedan kvadratrötterna.
Uttrycket förenklades till 9.
security
report
code
Beräkna uttryckets värde utan räknare.
7+7⋅7−298
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["7"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi beräknar hela uttryckets värde genom att förenkla det steg för steg. Först förenklar vi termerna sqrt(7) * sqrt(7) och sqrt(982).
Uttryckets värde är 7.
security
report
code
Nedanstående kvadrat har sidan 3s.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["s"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["6s"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2"]}}
security
report
code
security
report
code
Kvadratens area beräknar vi genom kvadrera sidan. Det betyder att arean av kvadraten blir (3s)^2 = 9s^2. En kvadrat med fyra gånger större area har arean 4*9s^2=36s^2. Vi kallar denna sida för u.
Om vi kvadrerar sidan får vi arean. Det betyder att u^2=36s^2, och vi får ett uttryck för u genom att dra kvadratroten ur detta.
Den större kvadratens sida är 6s.
6s är dubbelt så stort som 3s, så den stora kvadratens sida är dubbelt så lång som till den lillas.
security
report
code
Ungefär hur många procent längre blir sidan på en kvadrat om vi fördubblar arean? Avrunda till närmaste tiotals procent.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"ca","formTextAfter":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.80556em;vertical-align:-0.05556em;\"><\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.16666666666666666em;\"><\/span><span class=\"mord\">%<\/span><\/span><\/span><\/span>","answer":{"text":["40"]}}
security
report
code
security
report
code
I figuren visas den mindre kvadraten med sidan s_1 och arean A samt den större kvadraten med sidan s_2 och arean 2A.
Vi börjar med ett uttryck för sidan på den första kvadraten. Arean för en kvadrat är sida gånger sida, och vi får ut sidan genom att dra kvadratroten ur båda sidor ur ekvationen.
Eftersom en sträcka inte kan vara negativ är endast den positiva lösningen giltig. Sidan i den mindre kvadraten är alltså sqrt(A) le. lång. Nu ställer vi upp ett uttryck för den större kvadratens sida då arean fördubblas.
Även här väljs den positiva lösningen. Så sidan ökar från längden sqrt(A) le. till ungefär 1,4sqrt(A) le. En förändringsfaktor på 1,4 innebär en ökning på 40 %.
security
report
code
Hastigheten s (i meter per sekund) av en tsunami kan modelleras av funktionen s=9,8d, där d är vattendjupet (i meter).
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"meter per sekund","answer":{"text":["700"]}}
{"type":"choice","form":{"alts":["Minskar","\u00d6kar","F\u00f6rblir detsamma"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
security
report
code
security
report
code
Vi vill hitta hastigheten på en tsunami när vattendjupet är 500 meter med hjälp av den givna ekvationen. s=sqrt(9,8d) I denna formel är s tsunamins hastighet i meter per sekund och d är vattendjupet i meter. Från uppgiften vet vi att vattendjupet är 500 meter. För att hitta tsunamins hastighet kommer vi att ersätta 500 med d i den givna formeln och lösa för s. Låt oss göra det!
Vi fann att tsunamins hastighet är 70 meter per sekund. Lägg märke till att vi inte behöver beakta den negativa roten eftersom hastigheten inte kan vara negativ.
Vi vill veta vad som händer med tsunamins hastighet när vattendjupet minskar. Låt oss göra en värdetabell för att hitta hastigheten s på tsunamin vid olika djup d. Sedan kommer vi att leta efter ett samband mellan tsunamins hastighet och vattendjupet. Låt oss göra det!
| Vattendjup, d | Substitution i formeln | Tsunamins hastighet, s |
|---|---|---|
| 500 | s=sqrt(9,8( 500)) | 70 |
| 400 | s=sqrt(9,8( 400)) | ≈ 63 |
| 300 | s=sqrt(9,8( 300)) | ≈ 54 |
| 200 | s=sqrt(9,8( 200)) | ≈ 44 |
| 100 | s=sqrt(9,8( 100)) | ≈ 31 |
När vi tittar på tabellen kan vi se att när vattendjupet minskar, minskar även tsunamins hastighet.
security
report
code
Kopiera och komplettera uttalandet med <, >, eller =.
0,5 ??? 0,25
{"type":"choice","form":{"alts":["<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.5782em;vertical-align:-0.0391em;\"><\/span><span class=\"mrel\">><\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.5782em;vertical-align:-0.0391em;\"><\/span><span class=\"mrel\"><<\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.36687em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>"],"noSort":false},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":2}
security
report
code
security
report
code
Vi vill komplettera det givna påståendet med <, >, eller =. Låt oss ta en titt på det givna uttrycket. 0,5 sqrt(0,25) För att slutföra detta påstående måste vi utvärdera uttrycket på höger sida. Lägg märke till att det är en positiv kvadratrot, vilket betyder att vi inte behöver hitta den negativa roten. sqrt(0,25) ⇒ 0,5 Vi fann att uttrycket på höger sida är lika med 0,5. Detta betyder att båda sidor är lika. Låt oss slutföra påståendet. 0,5 = sqrt(0,25)
Låt oss komma ihåg vad vi vet om olika representationer av kvadratrötterna.
| Representation | Kvadratrot | Exempel |
|---|---|---|
| sqrt() | Positiv | sqrt(4)=2 |
| - sqrt() | Negativ | -sqrt(4)=-2 |
| ± sqrt() | Båda | ± sqrt(4)=2 och -2 |
Det finns ett specialfall vid beräkning av kvadratrötter, talet 0. Den enda kvadratroten av 0 är 0. Låt oss nu betrakta en något modifierad version av övningen. 0,5 - sqrt(0,25) Vi har redan funnit att kvadratroten av 0,25 är 0,5. Men den här gången representerar uttrycket den negativa kvadratroten, så den negativa kvadratroten av 0,25 är lika med -0,5. Låt oss slutföra den modifierade versionen av uttrycket. 0,5 > - sqrt(0,25)
security
report
code
Kopiera och komplettera uttalandet med <, >, eller =.
0,5 ??? 0,25
{"type":"choice","form":{"alts":["<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.5782em;vertical-align:-0.0391em;\"><\/span><span class=\"mrel\">><\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.5782em;vertical-align:-0.0391em;\"><\/span><span class=\"mrel\"><<\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.36687em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>"],"noSort":false},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":2}
security
report
code
security
report
code
Vi vill komplettera det givna påståendet med <, >, eller =. Låt oss ta en titt på det givna uttrycket. 0,5 sqrt(0,25) För att slutföra detta påstående måste vi utvärdera uttrycket på höger sida. Lägg märke till att det är en positiv kvadratrot, vilket betyder att vi inte behöver hitta den negativa roten. sqrt(0,25) ⇒ 0,5 Vi fann att uttrycket på höger sida är lika med 0,5. Detta betyder att båda sidor är lika. Låt oss slutföra påståendet. 0,5 = sqrt(0,25)
Låt oss komma ihåg vad vi vet om olika representationer av kvadratrötterna.
| Representation | Kvadratrot | Exempel |
|---|---|---|
| sqrt() | Positiv | sqrt(4)=2 |
| - sqrt() | Negativ | -sqrt(4)=-2 |
| ± sqrt() | Båda | ± sqrt(4)=2 och -2 |
Det finns ett specialfall vid beräkning av kvadratrötter, talet 0. Den enda kvadratroten av 0 är 0. Låt oss nu betrakta en något modifierad version av övningen. 0,5 - sqrt(0,25) Vi har redan funnit att kvadratroten av 0,25 är 0,5. Men den här gången representerar uttrycket den negativa kvadratroten, så den negativa kvadratroten av 0,25 är lika med -0,5. Låt oss slutföra den modifierade versionen av uttrycket. 0,5 > - sqrt(0,25)
security
report
code
Hastigheten s (i meter per sekund) av en tsunami kan modelleras av funktionen s=9,8d, där d är vattendjupet (i meter).
Vad är hastigheten av tsunamin när vattendjupet är 500 meter?
Vad händer med hastigheten av tsunamin när djupet minskar? Förklara.
security
report
code
security
report
code
Vi vill hitta hastigheten på en tsunami när vattendjupet är 500 meter med hjälp av den givna ekvationen. s=sqrt(9,8d) I den här formeln är s tsunamins hastighet i meter per sekund och d är vattendjupet i meter. Från övningen vet vi att vattendjupet är 500 meter. För att hitta tsunamins hastighet kommer vi att ersätta 500 för d i den givna formeln och lösa för s. Låt oss göra det!
Vi fann att tsunamins hastighet är 70 meter per sekund. Lägg märke till att vi inte behöver beakta den negativa roten eftersom hastigheten inte kan vara negativ.
Vi vill veta vad som händer med tsunamins hastighet när vattendjupet minskar. Låt oss göra en värdetabell för att hitta hastigheten s på tsunamin vid olika djup d. Sedan kommer vi att leta efter ett samband mellan tsunamins hastighet och vattendjupet. Låt oss göra det!
| Vattendjup, d | Substitution i formeln | Tsunamins hastighet, s |
|---|---|---|
| 500 | s=sqrt(9,8( 500)) | 70 |
| 400 | s=sqrt(9,8( 400)) | ≈ 63 |
| 300 | s=sqrt(9,8( 300)) | ≈ 54 |
| 200 | s=sqrt(9,8( 200)) | ≈ 44 |
| 100 | s=sqrt(9,8( 100)) | ≈ 31 |
När vi tittar på tabellen kan vi se att när vattendjupet minskar, minskar även tsunamins hastighet.
security
report
code
Rotuttryck
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll