3. Räkna med rationella uttryck
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 1
3.
Räkna med rationella uttryck
Genomgången handlar om att arbeta med rationella uttryck, vilket inkluderar addition, subtraktion, multiplikation och division av dessa uttryck. Det förklaras att samma regler som för bråkräkning gäller här. Om uttrycken har samma nämnare kan täljarna adderas eller subtraheras direkt. Om nämnarna är olika, måste man förlänga minst ett uttryck för att skapa en gemensam nämnare. Vid multiplikation och division multipliceras täljare med täljare och nämnare med nämnare. Det finns också en diskussion om villkor och definitionsmängd för rationella uttryck, samt vikten av att förstå hur digitala verktyg som räknare hanterar funktioner, särskilt när det finns värden som funktionen inte är definierad för.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 8 sidor teori |
| | 21 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Räkna med rationella uttryck
Sida av 8
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Addera och subtrahera rationellauttryck
- Multiplicera och dividera rationella uttryck
Regel
Addera och subtrahera rationella uttryck
När man adderar och subtraherar rationella uttryck gäller samma regler som när man adderar och subtraherar bråk. Om de har samma nämnare kan täljarna adderas eller subtraheras direkt.
q(x)p(x)+q(x)h(x)=q(x)p(x)+h(x)
q(x)p(x)−q(x)h(x)=q(x)p(x)−h(x)
Exempel
Subtrahera de rationella uttrycken
Förenkla uttrycken.
x1−2xx+2
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["-\\dfrac{1}{2}","-0.5"]}}
Ledtråd
Förlänga valfri term så att nämnarna matchar.
Lösning
De rationella uttrycken har olika nämnare, så vi måste först förlänga det första med 2.
Uttrycket blir alltså −21.
x1−2xx+2
ExpandFrac
Förläng med 2
2x2−2xx+2
SubFrac
Subtrahera bråk
2x2−(x+2)
RemoveParSigns
Ta bort parentes & byt tecken
2x2−x−2
SimpTerms
Förenkla termer
2x−x
ReduceFrac
Förkorta med x
2−1
MoveNegNumToFrac
Skriv minustecken framför bråk
−21
Exempel
Lös ekvationen genom att subtrahera rationella uttryck
Solve the equation.
xx+1−x−1x=2x1
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-1"]}}
Ledtråd
Subtract the expressions in the left-hand side of the equation.
Lösning
Consider the given equation.
Before subtracting the expressions, note that the conjugate binomials can be expanded into a difference of squares.
The solution to the equation is x=−1.
xx+1−x−1x=2x1
In order to subract the expressions in the left-hand side of the equation, they first need to have matching denominators. xx+1−x−1x=2x1
ExpandFrac
Förläng med (x−1)
x(x−1)(x+1)(x−1)−x−1x=2x1
ExpandFrac
Förläng med x
x(x−1)(x+1)(x−1)−x(x−1)x2=2x1
x(x−1)(x+1)(x−1)−x(x−1)x2=2x1
ExpandDiffSquares
Utveckla med konjugatregeln
x(x−1)x2−1−x(x−1)x2=2x1
SubFrac
Subtrahera bråk
x(x−1)x2−1−x2=2x1
SubTerm
Subtrahera term
x(x−1)−1=2x1
MultEqn
VL⋅x=HL⋅x
x−1−1=21
MultEqn
VL⋅(x−1)=HL⋅(x−1)
−1=2x−1
MultEqn
VL⋅2=HL⋅2
−2=x−1
AddEqn
VL+1=HL+1
−1=x
RearrangeEqn
Omarrangera ekvation
x=−1
Regel
Multiplicera och dividera rationella uttryck
Även vid multiplikation och division gäller samma räkneregler som vid bråkräkning. Täljare multipliceras därför med täljare och nämnare med nämnare.
q(x)p(x)⋅g(x)h(x)=q(x)⋅g(x)p(x)⋅h(x)
De rationella uttrycken behöver inte ha gemensam nämnare för att kunna multipliceras ihop. Vill man dividera två rationella uttryck måste man först invertera kvoten i nämnaren och därefter multiplicera.
q(x)p(x)/g(x)h(x)=q(x)p(x)⋅h(x)g(x)
Villkor
Odefinierade värdenNär man skriver om en division av rationella uttryck som en multiplikation kan det se ut som att uttryckets definitionsmängd förändras. Exempelvis är
r(x)=x−3x+1/x+7x−9
odefinierat för x-värdena 3, −7 och 9, eftersom de tre nämnarna i uttrycket är lika med 0 för respektive x-värden. Det omskrivna uttrycket
q(x)=(x−3)(x−9)(x+1)(x+7)
är däremot odefinierat endast för x-värdena 3 och 9. Men för att man ska kunna sätta en likhet mellan uttrycken måste de ha samma definitionsmängd. Däremot kan man säga att r(x) och q(x) är utbytbara för alla x utom x=−7.
Exempel
Dividera de rationella uttrycken
Förenkla uttrycken.
xx2+4/3xx+1
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{3x^2+12}{x+1}"]}}
Ledtråd
Skriv om uttrycket som ett enda rationellt uttryck. Förkorta bort gemensamma faktorer.
Lösning
Vi börjar med att invertera det rationella uttrycket i nämnaren och samtidigt skriva om uttrycket som en multiplikation:
Uttrycket förenklas alltså till x+13x2+12.
xx2+4⋅x+13x.
Vi utför nu multiplikationen och förenklar.
xx2+4⋅x+13x
MultFrac
Multiplicera bråk
x(x+1)3x(x2+4)
ReduceFrac
Förkorta med x
x+13(x2+4)
Distr
Multiplicera in 3
x+13x2+12
Exempel
Lös ekvationen genom att multiplicera rationella uttryck
Solve the equation.
x+1x2+x⋅x3x+2=x+10
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["4"]}}
Ledtråd
Simplify the left-hand side of the equation. Solve the resulting equation for x.
Lösning
Consider the given equation.
The solution to the equation is x=4.
x+1x2+x⋅x3x+2=x+10
In order to solve the above equation the left-hand side of it needs to be simplified first.
x+1x2+x⋅x3x+2=x+10
MultFrac
Multiplicera bråk
(x+1)x(x2+x)(3x+2)=x+10
Distr
Multiplicera in x
x2+x(x2+x)(3x+2)=x+10
ReduceFrac
Förkorta med x2+x
3x+2=x+10
SubEqn
VL−x=HL−x
2x+2=10
SubEqn
VL−2=HL−2
2x=8
DivEqn
VL/2=HL/2
x=4
Digitala verktyg
Osammanhängande graf på räknare
På grund av hur räknaren hanterar funktioner är det inte säkert att en funktion med osammanhängande graf verkligen kommer att se osammanhängande ut när grafen ritas. Man kan t.ex. rita den rationella funktionen y=x−21, som inte är definierad för x=2.
På räknaren ser det ut som att grafen hänger ihop i x=2. Jämför man med en korrekt utritad graf är skillnaden tydlig.
Räkna med rationella uttryck
Övningar
Skriv på samma bråkstreck och förenkla så långt som möjligt:
x1−x25+x31−x4x+5−x5x2.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{x^3-5x^2-x-5}{x^4}","\\dfrac{x(x^2-5x-1)-5}{x^4}"]}}
security
report
code
security
report
code
Om vi studerar uttrycket ser vi att sista termen kan förkortas med x^2 och uttrycket förenklas innan vi förlänger till gemensam nämnare.
Uttrycket förenklas till x^3-5x^2-x-5x^4.
security
report
code
x−62x+8+x+9x+3.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{(2x+8)(x+9)+(x+3)(x-6)}{(x-6)(x+9)}","\\dfrac{3x^2+23x+18}{x^2+3x-54}"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["6","-9"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi förlänger respektive uttryck med nämnaren från det andra. Då kommer vi att få en gemensam nämnare.
Nu ska vi avgöra för vilka x-värden uttrycket (2x+8)(x+9)+(x+3)(x+6)(x-6)(x+9) är odefinierat. Vi ska därför lösa ekvationen (x-6)(x+9)=0.
Uttrycket är alltså odefinierat för x=6 och x=-9.
security
report
code
Förenkla så långt det går.
x3x4+x3⋅x23x+4x
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{7x+7}{x}"]}}
x18−x20x20−x18/x1
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["-x"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att förenkla det högra uttrycket, summera täljaren och förkorta.
Nu kan vi utföra multiplikationen.
Vi börjar med att skriva om divisionen av de rationella uttrycken som en multiplikation.
Vi bryter sedan ut x^(18) ur både parentesen i täljaren och ur nämnaren så att det kan förkortas.
Om vi nu bryter ut ett minustecken ur parentesen i täljaren får vi samma uttryck där som i nämnaren.
security
report
code
Två trianglar har en gemensam bas. Höjden i trianglarna är 4 le. respektive 12 le. längre än den gemensamma sidan. Om x är den gemensamma sidan, bestäm och förenkla ett uttryck som beskriver förhållandet mellan den första och andra triangelns area.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{x+4}{x+12}"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi ställer först upp separata uttryck för trianglarnas areor. Deras höjder är 4 respektive 12 le. längre än basen.
Eftersom en triangels area beräknas genom att multiplicera basen med höjden och sedan dividera detta med två får vi arean x(x+4)/2 för den mindre triangeln. För den större får vi x(x+12)/2. Att bestämma förhållandet mellan areorna handlar om att avgöra hur mycket större eller mindre den ena arean är jämfört med den andra. Eftersom förhållanden ofta beskrivs som kvoter kan vi dividera det ena uttrycket med det andra: .x(x+4)/2 /x(x+12)/2.. Nu ska vi också förenkla detta förhållande och börjar med att invertera kvoten i nämnaren och multiplicerar.
Förhållandet mellan areorna förenklas alltså till x+4x+12.
security
report
code
Förenkla det rationella uttrycket.
h5(x+h)−5x/h3(x+h)−3x
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["h"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{5}{3}"]}}
h10(x+h)2−10x2/h6(x+h)2−6x2
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["h"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{5}{3}"]}}
security
report
code
security
report
code
security
report
code
Runt en rektangulär pool med sidorna x och y finns ett 2 meter brett soldäck. Bestäm kvoten mellan soldäckets area och poolens area.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["y"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{4x+4y+16}{xy}"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att ta fram uttryck för areorna var för sig. Poolen har måtten x och y så dess area blir A_(pool)=xy.
Vi bestämmer arean på soldäcket genom att först bestämma totala arean av poolen och soldäcket, och sedan subtrahera poolens area. Sidorna på soldäcket är 2+x+2 respektive 2+y+2.
Dessa sidlängder multipliceras för att ta fram den totala arean.
Nu subtraherar vi poolens area, xy, och delar sedan med den.
Kvoten mellan planket och poolens area är alltså 4x+4y+16xy.
security
report
code
Sätt uttrycket på gemensam nämnare och förenkla. Svara exakt.
5−xx+5+x2
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{x^2+(\\sqrt{5}-2)x+2\\sqrt{5}}{5-x^2}","\\dfrac{x^2+(\\sqrt{5}-2)x+2\\sqrt{5}}{(5-x)(5+x)}","\\dfrac{x^2+(\\sqrt{5}-2)x+2\\sqrt{5}}{(5+x)(5-x)}","\\dfrac{x^2+\\sqrt{5}x-2x+2\\sqrt{5}}{5-x^2}"]}}
security
report
code
security
report
code
För att addera två rationella uttryck måste de ha gemensam nämnare. Vi förlänger därför det första bråket med nämnaren från det andra och vice versa innan vi adderar dem.
Nu när vi har ett enda rationellt uttryck kan vi förenkla det. Vi börjar med nämnaren, där vi multiplicerar in x och 2 i respektive parentes och förenklar termerna vi får.
Nämnaren kan också förenklas genom att använda konjugatregeln
Uttrycket förenklas alltså till x^2+(sqrt(5)-2)x+2sqrt(5)/5-x^2.
security
report
code
Räkna med rationella uttryck
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll