3. Räkna med rationella uttryck
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 1
3.
Räkna med rationella uttryck
Genomgången handlar om att arbeta med rationella uttryck, vilket inkluderar addition, subtraktion, multiplikation och division av dessa uttryck. Det förklaras att samma regler som för bråkräkning gäller här. Om uttrycken har samma nämnare kan täljarna adderas eller subtraheras direkt. Om nämnarna är olika, måste man förlänga minst ett uttryck för att skapa en gemensam nämnare. Vid multiplikation och division multipliceras täljare med täljare och nämnare med nämnare. Det finns också en diskussion om villkor och definitionsmängd för rationella uttryck, samt vikten av att förstå hur digitala verktyg som räknare hanterar funktioner, särskilt när det finns värden som funktionen inte är definierad för.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 5 sidor teori |
| | 21 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Räkna med rationella uttryck
Sida av 5
Regel
Addera och subtrahera rationella uttryck
När man adderar och subtraherar rationella uttryck gäller samma regler som när man adderar och subtraherar bråk. Om de har samma nämnare kan täljarna adderas eller subtraheras direkt.
q(x)p(x)+q(x)h(x)=q(x)p(x)+h(x)
q(x)p(x)−q(x)h(x)=q(x)p(x)−h(x)
Exempel
Subtrahera de rationella uttrycken
Förenkla x1−2xx+2.
Visa Lösning expand_more
De rationella uttrycken har olika nämnare, så vi måste först förlänga det första med 2.
x1−2xx+2
ExpandFracII
Förläng x1 med 2
2x2−2xx+2
SubFrac
Subtrahera bråk
2x2−(x+2)
RemoveParSigns
Ta bort parentes & byt tecken
2x2−x−2
SimpTerms
Förenkla termer
2x−x
ReduceFrac
Förkorta med x
2−1
MoveNegNumToFrac
Skriv minustecken framför bråk
−21
Uttrycket blir alltså −21.
Regel
Multiplicera och dividera rationella uttryck
Även vid multiplikation och division gäller samma räkneregler som vid bråkräkning. Täljare multipliceras därför med täljare och nämnare med nämnare.
q(x)p(x)⋅g(x)h(x)=q(x)⋅g(x)p(x)⋅h(x)
De rationella uttrycken behöver inte ha gemensam nämnare för att kunna multipliceras ihop. Vill man dividera två rationella uttryck måste man först invertera kvoten i nämnaren och därefter multiplicera.
q(x)p(x)/g(x)h(x)=q(x)p(x)⋅h(x)g(x)
Villkor
Odefinierade värdenNär man skriver om en division av rationella uttryck som en multiplikation kan det se ut som att uttryckets definitionsmängd förändras. Exempelvis är
r(x)=x−3x+1/x+7x−9
odefinierat för x-värdena 3, −7 och 9, eftersom de tre nämnarna i uttrycket är lika med 0 för respektive x-värden. Det omskrivna uttrycket
q(x)=(x−3)(x−9)(x+1)(x+7)
är däremot odefinierat endast för x-värdena 3 och 9. Men för att man ska kunna sätta en likhet mellan uttrycken måste de ha samma definitionsmängd. Däremot kan man säga att r(x) och q(x) är utbytbara för alla x utom x=−7.
Exempel
Dividera de rationella uttrycken
Förenkla xx2+4/3xx+1.
Visa Lösning expand_more
Vi börjar med att invertera det rationella uttrycket i nämnaren och samtidigt skriva om uttrycket som en multiplikation:
Uttrycket förenklas alltså till x+13x2+12.
xx2+4⋅x+13x.
Vi utför nu multiplikationen och förenklar.
xx2+4⋅x+13x
MultFrac
Multiplicera bråk
x(x+1)3x(x2+4)
ReduceFrac
Förkorta med x
x+13(x2+4)
Distr
Multiplicera in 3
x+13x2+12
Digitala verktyg
Osammanhängande graf på räknare
På grund av hur räknaren hanterar funktioner är det inte säkert att en funktion med osammanhängande graf verkligen kommer att se osammanhängande ut när grafen ritas. Man kan t.ex. rita den rationella funktionen y=x−21, som inte är definierad för x=2.
På räknaren ser det ut som att grafen hänger ihop i x=2. Jämför man med en korrekt utritad graf är skillnaden tydlig.
Räkna med rationella uttryck
Uppgift 1.1
Skriv på samma bråkstreck.
7x3−78x
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{3-8x^2}{7x}"]}}
x2+4y
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["y"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{8+xy}{4x}"]}}
37y+7y3
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["y"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{49y^2+9}{21y}"]}}
security
report
code
security
report
code
Det ena uttrycket har nämnaren 7x och den andra 7. Om man förlänger det andra uttrycket med x får de samma nämnare, 7x. Sedan kan de läggas ihop.
Även här vill vi hitta en gemensam nämnare, men nu måste vi förlänga båda uttrycken. Vi ser att om vi förlänger dem med varandras nämnare får båda den gemensamma nämnaren 4x. Sedan kan vi addera dem.
Även här förlänger vi uttrycken med varandras nämnare för att hitta den gemensamma. Det betyder att vi förlänger det första med 7y och det andra med 3.
security
report
code
Förenkla.
11x8+11xx+3
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{x+11}{11x}"]}}
5y6−72y2
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["y"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{42-10y^3}{35y}"]}}
z4z−1−139z
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["z"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{52z-13-9z^2}{13z}"]}}
security
report
code
security
report
code
För att rationella uttryck ska kunna adderas måste de ha samma nämnare. Och eftersom uttrycken i denna deluppgift har det så kan vi addera täljarna på en gång.
Här är nämnarna olika så vi måste förlänga uttrycken innan vi kan subtrahera dem. Vi multiplicerar därför nämnaren från ena uttrycket med både täljare och nämnare i andra uttrycket och tvärtom.
Precis som i föregående deluppgift måste vi förlänga uttrycken så de får samma nämnare innan vi kan subtrahera dem. Vi gör på samma sätt som tidigare, dvs. multiplicerar respektive nämnare med täljare och nämnare i det andra uttrycket.
security
report
code
Förenkla så långt som möjligt.
y2x⋅xy
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["y"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2"]}}
y3x/2x3y
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["y"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{2x^2}{y^2}"]}}
security
report
code
security
report
code
När man multiplicerar rationella uttryck multipliceras täljare och nämnare för sig.
När man dividerar ett rationellt uttryck med ett annat inverteras bråket i nämnaren och sedan multipliceras uttrycken.
security
report
code
Multiplicera och förenkla så långt det går.
3+yx⋅5y+3
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["y"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{x}{5}"]}}
a+2a⋅a−1a3+2
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["a"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{a^4+2a}{a^2+a-2}"]}}
7−qq⋅q−1q+1
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["q"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{q^2+q}{8q-7-q^2}"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi multiplicerar täljare och nämnare för sig och förkortar sedan.
Vi fortsätter på samma sätt och multiplicerar täljare och nämnare för sig.
Inga nyheter. Vi gör på samma sätt.
security
report
code
Multiplicera och förenkla så långt som möjligt.
x+2x+1⋅x+1x−1
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{x-1}{x+2}"]}}
x−1x(x+5)⋅x(x+1)5x−5
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{5(x+5)}{x+1}"]}}
4b14y⋅78b
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["y"],"constants":["b"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["4y"]}}
security
report
code
security
report
code
När man multiplicerar rationella uttryck multipliceras täljare och nämnare för sig.
Vi gör på samma sätt och multiplicerar täljare och nämnare för sig.
Inget nytt. Vi gör på samma sätt.
security
report
code
Förenkla 2yy−4/x1 så långt som möjligt.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["y"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{yx-4x}{2y}"]}}
security
report
code
security
report
code
För att dividera rationella uttryck måste vi invertera kvoten i nämnaren och multiplicera. Sedan förenklar vi.
Uttrycket förenklas till yx-4x2y.
security
report
code
Förenkla 63z2+z/z4+z så långt som möjligt.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["z"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{3z^3+z^2}{24+6z}"]}}
security
report
code
security
report
code
För att dividera rationella uttryck måste vi invertera kvoten i nämnaren och multiplicera. Sedan förenklar vi.
Uttrycket förenklas till 3z^3+z^224+6z.
security
report
code
Förenkla 5+x2−3x/2+3xx så långt som möjligt.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{4-9x^2}{5x+x^2}"]}}
security
report
code
security
report
code
För att dividera rationella uttryck måste vi invertera kvoten i nämnaren och multiplicera. Sedan förenklar vi.
Uttrycket förenklas till 4-9x^25x+x^2.
security
report
code
Förenkla så långt som möjligt.
3x3+4y/9x3+4y
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["y"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["3"]}}
baab
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["a"],"constants":["b"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["1"]}}
3x+2x+67x
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2x"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi inverterar det högra bråket och multiplicerar.
Vi har samma faktorer i både nämnare och täljare. Det spelar ingen roll vilken ordningen de står i så man kan byta plats på a och b i t.ex. nämnaren: ab/ba=ab/ab=1. Man kan alltså förenkla uttrycket till 1.
Vi skriver om uttrycken så att de står på samma nämnare. Det betyder att vi förlänger den första termen med 2 och den andra med 3.
security
report
code
Josh och Amita har adderat de två rationella uttrycken x−y2 och x+yx men fått olika svar.
{"type":"choice","form":{"alts":["Josh","Amita"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
security
report
code
security
report
code
Vi utför additionen av de rationella uttrycken för att se vad som gått fel för Josh eller Amita. För att kunna addera två rationella uttryck måste de ha gemensam nämnare. Vi förlänger därför ena uttrycket med nämnaren i det andra uttrycket och vice versa.
Redan här kan vi se att Josh inte har fått rätt svar eftersom han har ett plustecken i nämnaren. Han har sannolikt använt konjugatregeln,
(a+b)(a-b)=a^2-b^2,
felaktigt när han förenklat. Enligt uppgiftsformuleringen måste det innebära att Amita är den som har räknat rätt. Vi är alltså egentligen klara, men för säkerhets skull förenklar vi även täljaren.
Vi ser att resultat överensstämmer med Amitas svar, så hon har rätt.
security
report
code
Förenkla 16−x2x2−16⋅8−xx−8.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["1"]}}
security
report
code
security
report
code
Innan vi multiplicerar ihop de två rationella uttrycken kan vi försöka förenkla dem var för sig. Om vi tittar på uttrycken ser vi att termerna i täljare och nämnare är lika, fast termerna har bytt tecken. Genom att bryta ut ett minustecken ur täljarna eller nämnarna eftersom vi då kommer kunna förkorta bort stora delar av uttrycken.
Produkten av de rationella uttrycken blev 1.
Vi hade också kunnat börja med att multiplicera de rationella uttrycken och förkorta sedan. Det blir lite fler multiplikationer att utföra, men det är ett lika korrekt sätt att lösa uppgiften på.
security
report
code
Räkna med rationella uttryck
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll