4. Räkna med rationella uttryck
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 1
5.
Räkna med rationella uttryck
Genomgången handlar om att arbeta med rationella uttryck, vilket inkluderar addition, subtraktion, multiplikation och division av dessa uttryck. Det förklaras att samma regler som för bråkräkning gäller här. Om uttrycken har samma nämnare kan täljarna adderas eller subtraheras direkt. Om nämnarna är olika, måste man förlänga minst ett uttryck för att skapa en gemensam nämnare. Vid multiplikation och division multipliceras täljare med täljare och nämnare med nämnare. Det finns också en diskussion om villkor och definitionsmängd för rationella uttryck, samt vikten av att förstå hur digitala verktyg som räknare hanterar funktioner, särskilt när det finns värden som funktionen inte är definierad för.
Inställningar & verktyg för lektion
| | 8 sidor teori |
| | 21 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Räkna med rationella uttryck
Sida av 8
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Addera och subtrahera rationellauttryck
- Multiplicera och dividera rationella uttryck
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Addera och subtrahera rationella uttryck
När man adderar och subtraherar rationella uttryck gäller samma regler som när man adderar och subtraherar bråk. Om de har samma nämnare kan täljarna adderas eller subtraheras direkt.
p(x)/q(x) + h(x)/q(x)=p(x)+h(x)/q(x)
p(x)/q(x) - h(x)/q(x)=p(x)-h(x)/q(x)
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Subtrahera de rationella uttrycken
Förenkla uttrycken. 1/x-x+2/2x
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":[]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["-\\dfrac{1}{2}","-0.5"]}}
Ledtråd
Förlänga valfri term så att nämnarna matchar.
Lösning
De rationella uttrycken har olika nämnare, så vi måste först förlänga det första med 2.
1/x-x+2/2x
ExpandFrac
Förläng med 2
2/2x-x+2/2x
SubFrac
Subtrahera bråk
2-(x+2)/2x
RemoveParSigns
Ta bort parentes & byt tecken
2-x-2/2x
SimpTerms
Förenkla termerna
- x/2x
ReduceFrac
Förkorta med x
- 1/2
MoveNegNumToFrac
Skriv minustecken framför bråk
- 1/2
Uttrycket blir alltså - 12.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Lös ekvationen genom att subtrahera rationella uttryck
Solve the equation. x+1/x - x/x-1 = 1/2x
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-1"]}}
Ledtråd
Subtract the expressions in the left-hand side of the equation.
Lösning
Consider the given equation.
x+1/x - x/x-1 = 1/2x
In order to subract the expressions in the left-hand side of the equation, they first need to have matching denominators.
x+1/x - x/x-1 = 1/2x
ExpandFrac
Förläng med (x-1)
(x+1)(x-1)/x(x-1) - x/x-1 = 1/2x
ExpandFrac
Förläng med x
(x+1)(x-1)/x(x-1) - x^2/x(x-1) = 1/2x
Before subtracting the expressions, note that the conjugate binomials can be expanded into a difference of squares.
(x+1)(x-1)/x(x-1) - x^2/x(x-1) = 1/2x
ExpandDiffSquares
Utveckla med konjugatregeln
x^2-1/x(x-1) - x^2/x(x-1) = 1/2x
SubFrac
Subtrahera bråk
x^2-1-x^2/x(x-1) = 1/2x
SubTerm
Subtrahera term
-1/x(x-1)=1/2x
MultEqn
VL * x=HL* x
-1/x-1 = 1/2
MultEqn
VL * (x-1)=HL* (x-1)
-1 = x-1/2
MultEqn
VL * 2=HL* 2
-2 = x-1
AddEqn
VL+1=HL+1
-1 = x
RearrangeEqn
Omarrangera ekvation
x = -1
The solution to the equation is x=-1.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Multiplicera och dividera rationella uttryck
Även vid multiplikation och division gäller samma räkneregler som vid bråkräkning. Täljare multipliceras därför med täljare och nämnare med nämnare.
p(x)/q(x) * h(x)/g(x)=p(x)* h(x)/q(x)* g(x)
De rationella uttrycken behöver inte ha gemensam nämnare för att kunna multipliceras ihop. Vill man dividera två rationella uttryck måste man först invertera kvoten i nämnaren och därefter multiplicera.
.p(x)/q(x) /h(x)/g(x). = p(x)/q(x) * g(x)/h(x)
Villkor
Odefinierade värdenNär man skriver om en division av rationella uttryck som en multiplikation kan det se ut som att uttryckets definitionsmängd förändras. Exempelvis är
r(x)=.x+1/x-3 /x-9/x+7.
odefinierat för x-värdena 3, -7 och 9, eftersom de tre nämnarna i uttrycket är lika med 0 för respektive x-värden. Det omskrivna uttrycket
q(x)=(x+1)(x+7)/(x-3)(x-9)
är däremot odefinierat endast för x-värdena 3 och 9. Men för att man ska kunna sätta en likhet mellan uttrycken måste de ha samma definitionsmängd. Däremot kan man säga att r(x) och q(x) är utbytbara för alla x utom x=-7.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Dividera de rationella uttrycken
Förenkla uttrycken. .x^2+4/x /x+1/3x.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":[]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{3x^2+12}{x+1}"]}}
Ledtråd
Skriv om uttrycket som ett enda rationellt uttryck. Förkorta bort gemensamma faktorer.
Lösning
Vi börjar med att invertera det rationella uttrycket i nämnaren och samtidigt skriva om uttrycket som en multiplikation:
x^2+4/x * 3x/x+1.
Vi utför nu multiplikationen och förenklar.
x^2+4/x* 3x/x+1
MultFrac
Multiplicera bråk
3x(x^2+4)/x(x+1)
ReduceFrac
Förkorta med x
3(x^2+4)/x+1
Distr
Multiplicera in 3
3x^2+12/x+1
Uttrycket förenklas alltså till 3x^2+12x+1.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Lös ekvationen genom att multiplicera rationella uttryck
Solve the equation. x^2+x/x+1 * 3x+2/x = x+10
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["4"]}}
Ledtråd
Simplify the left-hand side of the equation. Solve the resulting equation for x.
Lösning
Consider the given equation.
x^2+x/x+1 * 3x+2/x = x+10
In order to solve the above equation the left-hand side of it needs to be simplified first.
x^2+x/x+1 * 3x+2/x = x+10
MultFrac
Multiplicera bråk
(x^2+x)(3x+2)/(x+1)x = x+10
Distr
Multiplicera in x
(x^2+x)(3x+2)/x^2+x = x+10
ReduceFrac
Förkorta med x^2+x
3x+2 = x+10
SubEqn
VL-x=HL-x
2x+2 = 10
SubEqn
VL-2=HL-2
2x = 8
DivEqn
.VL /2.=.HL /2.
x = 4
The solution to the equation is x=4.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Digitala verktyg
Osammanhängande graf på räknare
På grund av hur räknaren hanterar funktioner är det inte säkert att en funktion med osammanhängande graf verkligen kommer att se osammanhängande ut när grafen ritas. Man kan t.ex. rita den rationella funktionen y = 1x-2, som inte är definierad för x = 2.
På räknaren ser det ut som att grafen hänger ihop i x=2. Jämför man med en korrekt utritad graf är skillnaden tydlig.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Räkna med rationella uttryck
Uppgift 3.1
Förenkla .(2x^2-6x+8) /3x-x^2-4/x^4. så långt som möjligt.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["-2x^4"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att utföra divisionen av de rationella uttrycken och inverterar då kvoten i nämnaren.
Här är det lätt att tro att man ska multiplicera in x^4 för att förenkla uttrycket. Det kommer dock inte hjälpa oss. Istället bryter vi ut -2 ur täljaren för att få en gemensam faktor i täljare och nämnare.
Uttrycket förenklas alltså till -2x^4.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Förenkla det rationella uttrycket så långt som möjligt. 1/(x+h)^2+1 - 1/x^2+1/h
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["h"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{-2x-h}{x^4+2x^2+2x^3h+2xh+h^2x^2+h^2+1}"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att titta på täljaren och förenklar den så långt som möjligt innan vi delar på h. Vi skriver om det så att det står på samma nämnare.
Nu utvecklar vi nämnaren. Alla termer i den första parentesen multipliceras med alla termer i den andra.
Nu kommer vi inte längre med det här uttrycket, men vi får inte glömma att vi ska dela med h också.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["h"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{2x+h}{x^2}"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["h"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{3x^2+3xh+h^2+4}{x^3+4x}"]}}
security
report
code
security
report
code
Funktionen f(x) är given, och är lika med 10x^2. Men vad betyder f(x+h)? Jo, att man sätter in (x+h) på x plats i den givna funktionen f(x). Vi börjar med att ta fram det uttrycket: f(x+h)=10(x+h)^2. Vi väntar med att utveckla eftersom vi inte vet om vi kommer behöva den faktoriserade formen senare. Nu kan vi sätta in uttrycken för f(x) och f(x+h) i uttrycket i uppgiften.
Vi gör på samma sätt som i föregående deluppgift och tar fram ett uttryck för f(x+h) då vi vet att f(x)=x^3+4x. Vi måste tänka på att sätta in (x+h) på båda ställena där det står x: f(x+h)=(x+h)^3+4(x+h). Nu sätter vi in uttrycken för f(x) och f(x+h). För
För att kunna förenkla vidare delar vi upp termen (x+h)^3 i (x+h)*(x+h)^2 eftersom vi då kan använda första kvadreringsregeln. Därefter utvecklar vi och hoppas att några av termerna i täljaren tar ut varandra.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll