body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

3b

Kurs 3b Visa detaljer

3. Räkna med rationella uttryck

Fortsätt till nästa lektion

( Ma 3b , Ma 3c ) /

Kapitel 1

3.

Räkna med rationella uttryck

Genomgången handlar om att arbeta med rationella uttryck, vilket inkluderar addition, subtraktion, multiplikation och division av dessa uttryck. Det förklaras att samma regler som för bråkräkning gäller här. Om uttrycken har samma nämnare kan täljarna adderas eller subtraheras direkt. Om nämnarna är olika, måste man förlänga minst ett uttryck för att skapa en gemensam nämnare. Vid multiplikation och division multipliceras täljare med täljare och nämnare med nämnare. Det finns också en diskussion om villkor och definitionsmängd för rationella uttryck, samt vikten av att förstå hur digitala verktyg som räknare hanterar funktioner, särskilt när det finns värden som funktionen inte är definierad för.

Inställningar & verktyg för lektion

	5 sidor teori
	21 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Räkna med rationella uttryck

Sida av 5

Regel

Addera och subtrahera rationella uttryck

När man adderar och subtraherar rationella uttryck gäller samma regler som när man adderar och subtraherar bråk. Om de har samma nämnare kan täljarna adderas eller subtraheras direkt.

$\frac{p ( x )}{q ( x )} + \frac{h ( x )}{q ( x )} = \frac{p ( x ) + h ( x )}{q ( x )}$

$\frac{p ( x )}{q ( x )} - \frac{h ( x )}{q ( x )} = \frac{p ( x ) - h ( x )}{q ( x )}$

Om de rationella uttryckens nämnare är olika måste man förlänga minst ett uttryck för att skapa en gemensam nämnare. Ofta innebär det att man förlänger ett av de rationella uttrycken med nämnaren från det andra uttrycket och tvärtom.

Subtrahera de rationella uttrycken

fullscreen

Förenkla $\frac{1}{x} - \frac{x + 2}{2 x} .$

Visa Lösning

De rationella uttrycken har olika nämnare, så vi måste först förlänga det första med $2 .$

\frac{1}{x} - \frac{x + 2}{2 x}

Förläng $\frac{1}{x}$ med $2$

\frac{2}{2 x} - \frac{x + 2}{2 x}

Subtrahera bråk

\frac{2 - ( x + 2 )}{2 x}

Ta bort parentes & byt tecken

\frac{2 - x - 2}{2 x}

Förenkla termer

\frac{- x}{2 x}

Förkorta med $x$

\frac{- 1}{2}

MoveNegNumToFrac

Skriv minustecken framför bråk

- \frac{1}{2}

Uttrycket blir alltså $- \frac{1}{2} .$

Regel

Multiplicera och dividera rationella uttryck

Även vid multiplikation och division gäller samma räkneregler som vid bråkräkning. Täljare multipliceras därför med täljare och nämnare med nämnare.

$\frac{p ( x )}{q ( x )} \cdot \frac{h ( x )}{g ( x )} = \frac{p ( x ) \cdot h ( x )}{q ( x ) \cdot g ( x )}$

De rationella uttrycken behöver inte ha gemensam nämnare för att kunna multipliceras ihop. Vill man dividera två rationella uttryck måste man först invertera kvoten i nämnaren och därefter multiplicera.

$\frac{p ( x )}{q ( x )} / \frac{h ( x )}{g ( x )} = \frac{p ( x )}{q ( x )} \cdot \frac{g ( x )}{h ( x )}$

Villkor

Odefinierade värden

När man skriver om en division av rationella uttryck som en multiplikation kan det se ut som att uttryckets definitionsmängd förändras. Exempelvis är

r (x) = \frac{x + 1}{x - 3} / \frac{x - 9}{x + 7}

odefinierat för

x

-värdena

3,

- 7

och

9,

eftersom de tre nämnarna i uttrycket är lika med

0

för respektive

x

-värden. Det omskrivna uttrycket

q (x) = \frac{( x + 1 ) ( x + 7 )}{( x - 3 ) ( x - 9 )}

är däremot odefinierat endast för

x

-värdena

3

och

9 .

Men för att man ska kunna sätta en likhet mellan uttrycken måste de ha samma definitionsmängd. Däremot kan man säga att

r (x)

och

q (x)

är utbytbara för alla

x

utom

x = - 7 .

Dividera de rationella uttrycken

fullscreen

Förenkla $\frac{x ^{2} + 4}{x} / \frac{x + 1}{3 x} .$

Visa Lösning

Vi börjar med att invertera det rationella uttrycket i nämnaren och samtidigt skriva om uttrycket som en multiplikation:

\frac{x ^{2} + 4}{x} \cdot \frac{3 x}{x + 1} .

Vi utför nu multiplikationen och förenklar.

\frac{x ^{2} + 4}{x} \cdot \frac{3 x}{x + 1}

Multiplicera bråk

\frac{3 x ( x ^{2} + 4 )}{x ( x + 1 )}

Förkorta med $x$

\frac{3 ( x ^{2} + 4 )}{x + 1}

Multiplicera in $3$

\frac{3 x ^{2} + 1 2}{x + 1}

Uttrycket förenklas alltså till

\frac{3 x ^{2} + 1 2}{x + 1} .

Digitala verktyg

Osammanhängande graf på räknare

På grund av hur räknaren hanterar funktioner är det inte säkert att en funktion med osammanhängande graf verkligen kommer att se osammanhängande ut när grafen ritas. Man kan t.ex. rita den rationella funktionen $y = \frac{1}{x - 2},$ som inte är definierad för $x = 2 .$

Diskontinuerlig funktion på TI-räknare

På räknaren ser det ut som att grafen hänger ihop i $x = 2 .$ Jämför man med en korrekt utritad graf är skillnaden tydlig.

Det är alltså viktigt att undersöka hur rimliga räknarens grafer är, framförallt om det finns

x

-värden som funktionen inte är definierad för.

Räkna med rationella uttryck

Uppgift 3.1

Förenkla

(2 x^{2} - 6 x + 8) / \frac{3 x - x ^{2} - 4}{x ^{4}}

så långt som möjligt.

Vi börjar med att utföra divisionen av de rationella uttrycken och inverterar då kvoten i nämnaren.

Här är det lätt att tro att man ska multiplicera in x^4 för att förenkla uttrycket. Det kommer dock inte hjälpa oss. Istället bryter vi ut -2 ur täljaren för att få en gemensam faktor i täljare och nämnare.

Uttrycket förenklas alltså till -2x^4.

Förenkla det rationella uttrycket så långt som möjligt.

\frac{\frac{1}{( x + h ) ^{2} + 1} - \frac{1}{x ^{2} + 1}}{h}

Vi börjar med att titta på täljaren och förenklar den så långt som möjligt innan vi delar på h. Vi skriver om det så att det står på samma nämnare.

Nu utvecklar vi nämnaren. Alla termer i den första parentesen multipliceras med alla termer i den andra.

Nu kommer vi inte längre med det här uttrycket, men vi får inte glömma att vi ska dela med h också.

Förenkla uttrycket

\frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} / f (x)

givet följande.

f (x) = 10 x^{2} .

f (x) = x^{3} + 4 x .

Funktionen f(x) är given, och är lika med 10x^2. Men vad betyder f(x+h)? Jo, att man sätter in (x+h) på x plats i den givna funktionen f(x). Vi börjar med att ta fram det uttrycket: f(x+h)=10(x+h)^2. Vi väntar med att utveckla eftersom vi inte vet om vi kommer behöva den faktoriserade formen senare. Nu kan vi sätta in uttrycken för f(x) och f(x+h) i uttrycket i uppgiften.

Vi gör på samma sätt som i föregående deluppgift och tar fram ett uttryck för f(x+h) då vi vet att f(x)=x^3+4x. Vi måste tänka på att sätta in (x+h) på båda ställena där det står x: f(x+h)=(x+h)^3+4(x+h). Nu sätter vi in uttrycken för f(x) och f(x+h). För

För att kunna förenkla vidare delar vi upp termen (x+h)^3 i (x+h)*(x+h)^2 eftersom vi då kan använda första kvadreringsregeln. Därefter utvecklar vi och hoppas att några av termerna i täljaren tar ut varandra.

Räkna med rationella uttryck

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.