En potensekvation är en ekvation där ena ledet är en potens med variabel i basen och andra ledet är en konstant, t.ex. x4=9. Exponenten anger ekvationens grad, så x4=9 är en fjärdegradsekvation.
En potensekvations grad avgör antalet lösningar den maximalt kan ha. Det innebär exempelvis att en fjärdegradsekvation som mest kan ha fyra lösningar.
Metod
Lösa enkla andragradsekvationer
När en andragradsekvation endast innehåller x2-termer och konstanttermer, t.ex.
När x2 står ensamt drar man kvadratroten ur båda led. Eftersom kvadraten av ett negativt tal blir positivt kan andragradsekvationer ha två lösningar. Om man slår in en kvadratrot på räknare kommer man bara att få ett positivt tal eftersom kvadratroten ur ett tal, per definition, är positiv. Den negativa lösningen måste man därför komma ihåg att lägga till själv:
x2=100⇔x=±100.
Kvadratroten ur 100 är 10, så ekvationens lösningar är x=−10 och x=10.
Om x2 är lika med ett negativt tal, t.ex. x2=−7, har ekvationen icke-reella rötter.
Exempel
Lös en enkel andragradsekvation
fullscreen
Lös andragradsekvationen 3x2=12.
Visa Lösningexpand_more
För att lösa ut x måste vi först dividera bort 3:an så att x2 står ensamt i vänsterledet.
Både x=−2 och x=2 löser alltså ekvationen. Vi får även en negativ lösning eftersom produkten av två negativa tal är positiv: (−2)⋅(−2)=4. Utöver den positiva lösningen måste vi alltså lägga till en negativ. Detta är något man alltid måste tänka på när man löser potensekvationer med ett jämnt gradtal.
Metod
Lösa potensekvationer
Hur man löser en enkel potensekvation, dvs. en ekvation på formen xn=a där a är en konstant, beror på dess grad. Andragradsekvationer löser man genom att dra kvadratroten ur båda led. Potensekvationer av högre grad löser man på motsvarande sätt. T.ex. drar man tredje roten ur båda led i en tredjegradsekvation eftersom "tredje roten ur" och "upphöjt till 3" tar ut varandra:
3x3=x.
För ännu högre gradtal gör man på samma sätt – man drar den rot som motsvarar gradtalet.
Antal lösningar beror på om ekvationens grad är jämn eller udda.
När man löser ekvationer på formen xn=a och n är udda har ekvationen alltid en lösning. Exempelvis har ekvationen x3=27 lösningen
x=3,
eftersom 33 är 27. Om potensen är lika med ett negativt tal, t.ex. y3=−27, har även denna ekvation en lösning:
y=−3,
eftersom (−3)3 är lika med −27. Till skillnad från jämna exponenter kan man alltså dra en udda rot ur negativa tal. När man löser ekvationer på formen xn=a och n är jämnt, finns det två villkor som är viktiga att ta hänsyn till.
En enkel potensekvation med jämn exponent har oftast två lösningar. Exempelvis har ekvationen x2=4 de två lösningarna
x=2ochx=−2
eftersom både 22 och (−2)2 är lika med 4. Men om man slår in en jämn rot på räknaren kommer den bara att svara med ett positivt tal, eftersom en jämn rot ur ett tal per definition är positiv. Den negativa lösningen måste man därför komma ihåg att lägga till själv.
Man kan inte dra en jämn rot ur ett negativt tal, så ekvationer som x2=−4 ger inga reella lösningar.
Det brukar finnas inbyggda funktioner på räknaren för att dra tredje, fjärde osv. roten ur ett tal. na kan också skrivas som a1/n.
Exempel
Lös potensekvationen med rötter
fullscreen
Lös potensekvationen x3−1=7.
Visa Lösningexpand_more
För att lösa ut x måste vi först addera 1 till båda led så att x3 står ensamt i vänsterledet.
Rotuttryck är i själva verket ett annat sätt att skriva potenser som har exponenten n1.
Exempelvis kan a skrivas som a21 och 3a som a31.
Regel
Lösa potensekvationer
När man löser potensekvationer kan man, om man vill, upphöja båda led med inversen av gradtalet. Enligt potenslagarna får man då
(x3)31=x33=x1=x.
Därför kan man använda detta istället för rotuttryck för att lösa potensekvationer.
Villkoren för udda och jämna exponenter är samma som när man löser potensekvationer genom att använda rotuttryck. När man skriver in denna typ av uttryck på räknaren måste man komma ihåg att sätta parenteser runt bråket i exponenten.
Exempel
Lös potensekvationen med potenser
fullscreen
Lös potensekvationen 9x5=63. Svara exakt och med två decimaler.
Visa Lösningexpand_more
För att lösa ut x måste vi först dividera med 9 i båda led så att x5 står ensamt i vänsterledet.
