Negativa tal

De negativa talen ligger till vänster om $0$ på en tallinje och skrivs med ett minustecken. Ett negativt tal befinner sig på samma avstånd på vänster sida om nollpunkten som motsvarande positiva tal är till höger om den. Ju längre åt vänster man går på tallinjen desto mindre blir talen, så $\text{-} 20$ är ett lägre tal än $\text{-} 3$ . Negativa tal används till exempel på en termometers skala, där det finns både positiva och negativa temperaturer.

Det finns många användbara tolkningar av negativa tal, exempelvis hur mycket pengar man har på ett bankkonto. Om summan är positiv har man pengar över, men om den är negativ är man skyldig pengar. Ju mer negativ summan är, desto mer är man skyldig. Visar summan exempelvis

\text{-} 5\,000

är man skyldig mer än om den visar

\text{-} 100.

Regel

Addition och subtraktion med negativa tal

Regeln när man adderar och subtraherar negativa tal är att om två lika tecken står bredvid varandra, t.ex. $5-(\text{-} 3)$ , ger det plus och när två olika tecken står bredvid varandra, t.ex. $5+(\text{-} 3)$ , ger det minus.

Regel
$a+(\text{-}b)=a-b$

Om ett negativt tal adderas kan man skriva det som en subtraktion. Om man utgår ifrån uttrycket $2-3$ kan man skriva om det så att man får $2+(\text{-}3).$ Vad händer om man lägger till $0?$ Ingenting, då $0$ inte förändrar värdet. Men $0$ kan i sin tur skrivas som ett tal minus ett lika stort tal. Genom att använda detta kan man skriva om uttrycket

2-3

Add 0

2+0-3

Skriv 0 som

(\text{-}3)-(\text{-}3)

2+(\text{-}3)-(\text{-}3)-3

Omarrangera termer

2+(\text{-}3)-3-(\text{-}3)

Differensen av två lika stora tal är $0$ och detta gäller oavsett tal. I uttrycket $-3-(\text{-}3)$ beräknas differensen mellan två lika stora tal, dvs. ${\color{#FF0000}{\text{-} 3}}$ så det måste vara 0:

2+(\text{-}3) \, \underbrace{{\color{#FF0000}{- \, 3}}-({\color{#FF0000}{\text{-}3}})}_{0}=2+(\text{-}3)

Regel
$a-(\text{-}b)=a+b$

Om ett negativt tal subtraheras kan man skriva om det som en addition. Titta på uttrycket $2-(\text{-}3).$ Om man lägger till $0$ ändras inte värdet. Men $0$ kan skrivas som ett tal minus ett lika stort tal. Detta kan användas för att skriva om uttrycket.

2-(\text{-}3)

a = a+{\color{#0000FF}{3}}-{\color{#0000FF}{3}}

2+{\color{#0000FF}{3}}-{\color{#0000FF}{3}}-(\text{-}3)

Differensen av två lika stora tal är $0$ och detta gäller oavsett tal. I uttrycket $-3-(\text{-}3)$ beräknas differensen mellan två lika stora tal, dvs. ${\color{#FF0000}{\text{-}3}}$ så det måste vara 0:

2+3 \, \underbrace{{\color{#FF0000}{- \, 3}}-({\color{#FF0000}{\text{-}3}})}_{0}=2+3

Regel

Multiplikation med negativa tal

Regeln när man multiplicerar med negativa tal är att faktorer med lika tecken ger positiv produkt och faktorer med olika tecken ger negativ produkt.

Regel
$a(\text{-} b)=\text{-} ab$

När en positiv och en negativ faktor multipliceras blir produkten negativ. För att visa varför, kan man fråga sig vad multiplikation faktiskt betyder. Multiplikation visar upprepad addition. En multiplikation som $3(\text{-}2)$ kan alltså tolkas som $(\text{-}2)$ adderat med sig själv 3 gånger: $(\text{-}2)+(\text{-}2)+(\text{-}2).$ Förenklar man uttrycket kan man visa att regeln gäller.

(\text{-}2)+(\text{-}2)+(\text{-}2)

a+(\text{-} b)=a-b

\text{-} 2-2-2

Bryt ut minustecken

\text{-}\left(2+2+2\right)

a+a+a=3a

\text{-}3\cdot 2

Produkten av ett positivt och negativt tal blir alltså negativt. Eftersom det inte spelar någon vilken ordning faktorerna står får man även en negativ produkt om man multiplicerar ett negativt tal med ett positivt dvs.

(\text{-} a)b=\text{-} ab.

Regel
$(\text{-} a)(\text{-} b)=ab$

När två negativa faktorer multipliceras blir produkten positiv. Man kan visa varför om man utgår från att ett tal, t.ex. $(\text{-}5),$ multiplicerat med $0$ blir $0\text{:}$ $(\text{-}5)\cdot 0=0.$ $0$ kan även skrivas som ett tal minus ett lika stort tal, t.ex. $3-3.$ Detta kan i sin tur skrivas som $\text{-}3+3$ genom att ändra ordningen på termerna. $(\text{-}5)\cdot (\text{-}3+3)=0$ För att komma vidare ska $(\text{-}5)$ multipliceras in i parentesen och enligt distributiva lagen multipliceras den med båda termer.

(\text{-}5)\cdot (\text{-}3+3)=0

Multiplicera in

(\text{-}5)

(\text{-}5)(\text{-}3)+(\text{-}5)\cdot3=0

(\text{-} a)b = \text{-} ab

(\text{-}5)(\text{-}3)-5\cdot3=0

\text{VL}+5\cdot3=\text{HL}+5\cdot3

(\text{-}5)(\text{-}3)=5\cdot3

Produkten av två negativa tal är alltså positiv.

Regel

Division med negativa tal

Regeln vid division med negativa tal är att om täljaren och nämnaren har lika tecken ger det en positiv produkt och om de har olika tecken ger det en negativ produkt.

Regel
$\dfrac{\text{-} a}{\text{-} b}=\dfrac{a}{b}$

När två negativa tal divideras blir kvoten positiv. I både täljaren och nämnaren kan

(\text{-} 1)

brytas ut och förkortas bort.

\dfrac{\text{-}5}{\text{-}4}

Dela upp i faktorer

\dfrac{(\text{-}1)\cdot 5}{(\text{-}1)\cdot 4}

Stryk faktorer

\dfrac{\cancel{(\text{-}1)}\cdot 5}{\cancel{(\text{-}1)}\cdot 4}

Förenkla kvot

\dfrac{5}{4}

Kvoten blir alltså positiv.

Regel
$\dfrac{\text{-} a}{b}=\text{-} \dfrac{a}{b}$

Om man delar en negativ täljare med en positiv nämnare kan minustecknet sättas framför bråket. Man kan visa varför det blir så i bråket

\frac{\text{-}3}{2}

genom att bryta ut

\text{-}1

i täljaren och

1

i nämnaren.

\dfrac{\text{-}3}{2}

Dela upp i faktorer

\dfrac{(\text{-}1)\cdot 3}{1\cdot 2}

Dela upp bråk

\dfrac{\text{-}1}{1}\cdot \dfrac{3}{2}

Det första bråket har nämnaren $1$ och delar man ett tal med $1$ blir kvoten alltid täljaren, dvs. $\text{-}1.$

\dfrac{\text{-}1}{1}\cdot \dfrac{3}{2}

\dfrac{a}{1}=a

\text{-}1\cdot \dfrac{3}{2}

1\cdot a=a

\text{-}\dfrac{3}{2}

Regel
$\dfrac{a}{\text{-} b}=\text{-} \dfrac{a}{b}$

Om man delar en positiv täljare med en negativ nämnare kan minustecknet sättas framför bråket. Man kan visa varför det blir så för bråket $\frac{3}{\text{-}2}$ genom att förlänga det med $(\text{-}1).$

\dfrac{3}{\text{-}2}

Förläng med

(\text{-}1)

\dfrac{3(\text{-}1)}{\text{-}2(\text{-}1)}

\text{-} a(\text{-} b)=a\cdot b

\dfrac{3(\text{-}1)}{2}

Omarrangera faktorer

\dfrac{(\text{-}1)\cdot 3}{2}

Bryter man ut $1$ i nämnaren kan man skriva uttrycket som en produkt av två bråk.

\dfrac{(\text{-}1)\cdot 3}{2}

Dela upp i faktorer

\dfrac{(\text{-}1)\cdot 3}{1\cdot 2}

Dela upp bråk

\dfrac{\text{-}1}{1}\cdot \dfrac{3}{2}

\dfrac{a}{1}=a

\text{-}1\cdot \dfrac{3}{2}

1\cdot a=a

\text{-}\dfrac{3}{2}

Minustecken på räknare

Räknaren gör skillnad på negativa tal och tal som subtraheras, och den använder två olika minustecken för att visa detta. För negativa tal används ett kortare minustecken, som man får genom att trycka på knappen ( $\text{-}$ ), medan man använder det längre minustecknet, $-,$ om man ska subtrahera tal.

Det kortare minustecknet används bara för att göra det efterföljande talet eller uttrycket negativt, t.ex. när man ska multiplicera ett negativt tal med något. Det längre minustecknet används bara när man subtraherar något från något annat. Använder man dem fel finns det en risk att man får oväntade resultat eller felmeddelanden.

Negativa tal

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Addition och subtraktion med negativa tal

Regel

Regel

Multiplikation med negativa tal

Regel

Regel

Division med negativa tal

Regel

Regel

Regel

Digitala verktyg

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

Aritmetik

Regel

Regel

Regel

Regel

Regel

Regel

Regel

Digitala verktyg

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}