body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Mitt konto

Kurs 1b Visa detaljer

5. Negativa tal

Fortsätt till nästa lektion

Lektion

Övningar

Tester

eKurser /

( Ma 1b , Ma 1c ) /

Kapitel 1

Negativa tal

Negativa tal är en grundläggande del av matematiken och används för att representera värden som är mindre än noll. De kan representeras på en tallinje, där de ligger till vänster om noll. Negativa tal används i många olika sammanhang, till exempel för att representera skuld eller temperaturer under noll. Det finns specifika regler för att utföra operationer som addition, subtraktion, multiplikation och division med negativa tal. Till exempel, när två negativa tal multipliceras eller delas, blir resultatet positivt. När ett positivt och ett negativt tal multipliceras eller delas, blir resultatet negativt. Dessa regler är viktiga för att korrekt utföra matematiska beräkningar och lösa problem.

Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	8 sidor teori
	23 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Negativa tal

Sida av 8

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Negativa tal
Addition och subtraktion med negativa tal
Multiplikation med negativa tal
Division med negativa tal

Förkunskaper

Tallinjen
Addition
Subtraktion
Multiplikation
Division

Utforska

Mätning av temperaturer

Temperatur mäts med en termometer. På sommaren kan det vara plusgrader och på vintern minusgrader. För att ange minusgrader skriver man ett minustecken

(-)

framför talet. När man anger plusgrader brukar man skriva ett plustecken

(+)

framför. Dra i reglaget så att termometern först visar

+ 1 0^{\circ} C

och sen

- 2 0^{\circ} C .

Den lägsta temperatur som någonsin uppmätts på marken var vid den sovjetiska forskningsstationen Vostok i Antarktis den

21

juli

1983 .

Termometern visade då ofattbara

- 89, 2^{\circ} C .

Teori

Positiva och negativa tal

Positiva tal är större än $0,$ medan negativa tal är mindre än $0 .$ Om man lägger en termometer ned så får man en tallinje. På en tallinje är de negativa talen till vänster om $0,$ och de positiva talen till höger om $0 .$

Ju längre till vänster på tallinjen, desto mindre tal. Ju längre till höger, desto större tal. Detta kan användas för att jämföra tal med varandra. Tecknet $>$ betyder är större än, och tecknet $<$ betyder är mindre än. Tecknen kallas för olikhetstecken.

St \ddot{o} rre \ddot{a} n > Mindre \ddot{a} n <

Till exempel är talet $2$ större än talet $- 6,$ eftersom talet $2$ ligger till höger om $- 6,$ på tallinjen. Detta går att skriva med matematiska tecken som $2 > - 6 .$ Här är några fler exempel.

Med ord	Matematiskt
$2$ är större än $- 6 .$	$2 > - 6$
$- 10$ är mindre än $0 .$	$- 10 < 0$
$- 5$ är större än $- 8 .$	$- 5 > - 8$

Teori

Addition och subtraktion med negativa tal

Regeln när man adderar och subtraherar negativa tal är att om två lika tecken står bredvid varandra, t.ex. $5 - (- 3),$ ger det plus och när två olika tecken står bredvid varandra, t.ex. $5 + (- 3),$ ger det minus.

Regel

a + (- b) = a - b

Om ett negativt tal adderas kan man skriva det som en subtraktion. Om man utgår ifrån uttrycket

2 - 3

kan man skriva om det så att man får

2 + (- 3) .

Vad händer om man lägger till

0 ?

Ingenting, då

0

inte förändrar värdet. Men

0

kan i sin tur skrivas som ett tal minus ett lika stort tal. Genom att använda detta kan man skriva om uttrycket

2 - 3

Add 0

2 + 0 - 3

ZeroToDiff

Skriv 0 som $(- 3) - (- 3)$

2 + (- 3) - (- 3) - 3

RearrangeTerms

Omarrangera termer

2 + (- 3) - 3 - (- 3)

Differensen av två lika stora tal är $0$ och detta gäller oavsett tal. I uttrycket $- 3 - (- 3)$ beräknas differensen mellan två lika stora tal, dvs. $- 3$ så det måste vara $0 :$

2 + (- 3) 0 - 3 - (- 3) = 2 + (- 3)

Regel

a - (- b) = a + b

Om ett negativt tal subtraheras kan man skriva om det som en addition. Titta på uttrycket

2 - (- 3) .

Om man lägger till

0

ändras inte värdet. Men

0

kan skrivas som ett tal minus ett lika stort tal. Detta kan användas för att skriva om uttrycket.

2 - (- 3)

AddDiffZero

$a = a + 3 - 3$

2 - (- 3) + 3 - 3

Kommutativa lagen för addition

2 + 3 - 3 - (- 3)

Differensen av två lika stora tal är $0$ och detta gäller oavsett tal. I uttrycket $- 3 - (- 3)$ beräknas differensen mellan två lika stora tal, dvs. $- 3$ så det måste vara $0 :$

2 + 3 0 - 3 - (- 3) = 2 + 3

Teori

Multiplikation med negativa tal

Regeln när man multiplicerar med negativa tal är att faktorer med lika tecken ger positiv produkt och faktorer med olika tecken ger negativ produkt.

Regel

a (- b) = - a b

När en positiv och en negativ faktor multipliceras blir produkten negativ. För att visa varför, kan man fråga sig vad multiplikation faktiskt betyder. Multiplikation visar upprepad addition. En multiplikation som

3 (- 2)

kan alltså tolkas som

(- 2)

adderat med sig själv

3

gånger:

(- 2) + (- 2) + (- 2) .

Förenklar man uttrycket kan man visa att regeln gäller.

(- 2) + (- 2) + (- 2)

AddNeg

$a + (- b) = a - b$

- 2 - 2 - 2

FactorOutNegSign

Bryt ut minustecken

- (2 + 2 + 2)

SumToProdThreeTerms

$a + a + a = 3 a$

- 3 \cdot 2

Produkten av ett positivt och negativt tal blir alltså negativt. Eftersom det inte spelar någon vilken ordning faktorerna står får man även en negativ produkt om man multiplicerar ett negativt tal med ett positivt dvs.

(- a) b = - a b .

Regel

(- a) (- b) = a b

När två negativa faktorer multipliceras blir produkten positiv. Man kan visa varför om man utgår från att ett tal, t.ex.

(- 5),

multiplicerat med

0

blir

0 :

(- 5) \cdot 0 = 0 .

0

kan även skrivas som ett tal minus ett lika stort tal, t.ex.

3 - 3 .

Detta kan i sin tur skrivas som

- 3 + 3

genom att ändra ordningen på termerna.

(- 5) \cdot (- 3 + 3) = 0

För att komma vidare ska

(- 5)

multipliceras in i parentesen och enligt distributiva lagen multipliceras den med båda termer.

(- 5) \cdot (- 3 + 3) = 0

Distr

Multiplicera in $(- 5)$

(- 5) (- 3) + (- 5) \cdot 3 = 0

MultNegPos

$(- a) b = - a b$

(- 5) (- 3) - 5 \cdot 3 = 0

AddEqn

$VL + 5 \cdot 3 = HL + 5 \cdot 3$

(- 5) (- 3) = 5 \cdot 3

Produkten av två negativa tal är alltså positiv.

Teori

Division med negativa tal

Regeln vid division med negativa tal är att om täljaren och nämnaren har lika tecken ger det en positiv produkt och om de har olika tecken ger det en negativ produkt.

Regel

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

När två negativa tal divideras blir kvoten positiv. I både täljaren och nämnaren kan

(- 1)

brytas ut och förkortas bort.

\frac{- 5}{- 4}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

\frac{( - 1 ) \cdot 5}{( - 1 ) \cdot 4}

CrossCommonFac

Stryk faktorer

\frac{( - 1 ) \cdot 5}{( - 1 ) \cdot 4}

SimpQuot

Förenkla kvot

\frac{5}{4}

Kvoten blir alltså positiv.

Regel

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

Om man delar en negativ täljare med en positiv nämnare kan minustecknet sättas framför bråket. Man kan visa varför det blir så i bråket

\frac{- 3}{2}

genom att bryta ut

- 1

i täljaren och

1

i nämnaren.

\frac{- 3}{2}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

\frac{( - 1 ) \cdot 3}{1 \cdot 2}

WriteSumFrac

Dela upp bråk

\frac{- 1}{1} \cdot \frac{3}{2}

Det första bråket har nämnaren $1$ och delar man ett tal med $1$ blir kvoten alltid täljaren, dvs. $- 1 .$

\frac{- 1}{1} \cdot \frac{3}{2}

DivByOne

$\frac{a}{1} = a$

- 1 \cdot \frac{3}{2}

OneMult

$1 \cdot a = a$

- \frac{3}{2}

Regel

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

Om man delar en positiv täljare med en negativ nämnare kan minustecknet sättas framför bråket. Man kan visa varför det blir så för bråket $\frac{3}{- 2}$ genom att förlänga det med $(- 1) .$

\frac{3}{- 2}

ExpandFrac

Förläng med $(- 1)$

\frac{3 ( - 1 )}{- 2 ( - 1 )}

MultNegNegOnePar

$- a (- b) = a \cdot b$

\frac{3 ( - 1 )}{2}

RearrangeFac

Omarrangera faktorer

\frac{( - 1 ) \cdot 3}{2}

Bryter man ut $1$ i nämnaren kan man skriva uttrycket som en produkt av två bråk.

\frac{( - 1 ) \cdot 3}{2}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

\frac{( - 1 ) \cdot 3}{1 \cdot 2}

WriteSumFrac

Dela upp bråk

\frac{- 1}{1} \cdot \frac{3}{2}

DivByOne

$\frac{a}{1} = a$

- 1 \cdot \frac{3}{2}

OneMult

$1 \cdot a = a$

- \frac{3}{2}

Teori

Minustecken på räknare

Räknaren gör skillnad på negativa tal och tal som subtraheras, och den använder två olika minustecken för att visa detta. För negativa tal används ett kortare minustecken, som man får genom att trycka på knappen $(-),$ medan man använder det längre minustecknet, $-,$ om man ska subtrahera tal.

Det kortare minustecknet används bara för att göra det efterföljande talet eller uttrycket negativt, t.ex. när man ska multiplicera ett negativt tal med något. Det längre minustecknet används bara när man subtraherar något från något annat. Använder man dem fel finns det en risk att man får oväntade resultat eller felmeddelanden.

Exempel

Vilket tal pekar pilarna på?

Beräkna värdet av följande uttryck.

- 5 - \frac{8}{- 2 \cdot 2} + (- 3) \cdot (- 2)

Ledtråd

Kom ihåg reglerna för beräkningar med negativa tal.

Lösning

Börja med att förenkla nämnaren i den andra termen.

- 2 \cdot 2 = - 4

- \frac{8}{- 2 \cdot 2} = - \frac{8}{- 4}

har vi en division av ett positivt tal med ett negativt tal. Täljare och nämnare har olika tecken, så vi kan utnyttja regeln att olika tecken vid division ger en negativ produkt:

- \frac{8}{- 4} = - (- 2) .

Negativen av ett negativt tal är ett positivt tal.

- (- 2) = 2

Den tredje termen i uttrycket är multiplikationen av två negativa tal. Multiplikationen av två negativa tal ger ett positivt tal.

(- 3) (- 2) = 6

Nu kan vi beräkna uttrycket.

- 5 - 5 - \frac{8}{- 2 \cdot 2} ⇓ + 2 + (- 3) \cdot (- 2) + 6 = 3

Värdet av uttrycket är

3 .

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Negativa tal

Övningar

Beräkna utan räknare.

4 - 9 + 3 - 2

- 5 - 10 + 13

12 - 1 - 7 + 3

Kom ihåg att minus- och plustecknen tillhör talet höger om tecknet. Om vi har 4-9 hör minustecknet till 9:an. Vad gäller för 4:an, är den positiv eller negativ? Eftersom det inte står något framför innebär det ett osynligt plustecken. Om det är 20 grader ute så säger man ju oftast inte att det är plus 20 grader. Plustecknet är underförstått.

På samma sätt som tidigare räknar vi från vänster till höger. När vi har -5-10 kan vi tänka att det är -5 grader ute och det blir 10 grader kallare.

Vi resonerar på samma sätt som i tidigare deluppgifter.

Beräkna utan räknare.

374 + 199 - 195

11 - 54 - 10 + 55

45 + 87 + 33 - 45 - 33 - 87

Beräkningen 374+199 kan vara lite jobbig att göra i huvudet. Vi börjar istället räkna bakifrån.

Här vinner vi en del på att arrangera om termerna innan vi beräknar.

Denna uppgift ser jobbig ut, men den är väldigt enkel. Arrangera om termerna så ser du att beräkningarna blir enkla.

Beräkna utan räknare.

14 - (- 5) - 20 + (- 7)

- 3 - (- 4) - 7 - (+ 9)

- 38 - 38 - (- 38)

Börja med att använda teckenreglerna för addition och subtraktion för att förenkla uttrycket. Räkna därefter t.ex. från vänster till höger.

På samma sätt som tidigare börjar vi med att använda teckenreglerna för att förenkla. Därefter utför vi beräkningarna.

Vi resonerar på samma sätt som i tidigare deluppgifter. För enkelhetens skull kan vi börja med de två sista termerna.

Utför beräkningarna med räknare.

21, 89 - 45, 73

- 1, 54 - 5, 75

778 - (- 98, 5)

8^{- 3}

Vi kan slå in uttrycket direkt på räknaren och använder med den vanliga minusknappen (-) för subtraktion. Vi får svaret -23,84.

Här ska vi subtrahera 5,75 från det negativa talet -1,54. Då måste vi använda det lilla minustecknet (-) för att skriva det negativa talet innan vi slår i resten av uttrycket. För räknesättet subtraktion använder vi ännu en gång den vanliga minusknappen (–).

Räknaren ger oss svaret -7,29.

Här är det bra att sätta parenteser runt det negativa talet -98,5.

Svaret är 876,5. Lägg märke till att vi får ett svar som är större än 778. Det vi egentligen gjort är att beräkna 778+98,5.

Vi ska beräkna 8 upphöjt till det negativa talet -3 (vilket är samma sak som att beräkna 18^3). Vi skriver potens med knappen (^(∧)) och använder (-) för att göra 3:an negativ.

Vi får svaret 0,001953125.

Amina mäter temperaturen under dag och natt under en skolvecka. Hon sammanställer resultaten i en tabell.

Veckodag	Temp. dag $(^{\circ} C)$	Temp. natt $(^{\circ} C)$
Mån	$- 2$	$- 8$
Tis	$0$	$- 5$
Ons	$- 1$	$2$
Tors	$6$	$1$
Fre	$3$	$- 5$

Avgör, utan att använda räknare, vilken dag som temperaturskillnaden mellan dag och natt var störst.

Beräkna, utan att använda räknare, hur mycket högre medeltemperaturen var på dagen jämfört med på natten.

Skillnad kan vi tolka som en subtraktion. Vi beräknar alltså skillnaden mellan nattemperaturen och dagstemperaturen för samtliga dagar. Kom ihåg teckenreglerna för addition och subtraktion med negativa tal.

Veckodag	Natt-Dag (^(∘)C)	Skillnad (^(∘) C)
Mån	-8-(-2)	- 6
Tis	- 5-0	- 5
Ons	2-(-1)	3
Tors	1-6	- 5
Fre	-5-3	- 8

Själva siffran i högerspalten anger antal grader som temperaturen ändrades. Tecknet anger åt vilket håll temperaturen gick. Negativ skillnad står för att temperaturen gick ned på natten, positiv skillnad innebär att temperaturen gick upp. Vi ser att temperaturskillnaden var störst på fredagen, eftersom 8 är den största siffran.

Medelvärde beräknas som Summa av värden/Antal värden. Vi gör detta först för dagstemperaturerna. Antal värden är 5 eftersom det är antalet dagar.

Medeltemperaturen på dagen var alltså +1,2 grader. Vi gör på motsvarande sätt för att beräkna nattmedeltemperaturen.

Nattmedeltemperaturen var alltså - 3 grader. Skillnaden mellan medeltemperaturen dag och natt blir därmed 1.2-(-3)=1.2+3=4,2 grader.

Vilka av följande påståenden om negativa tal är sanna och vilka är falska?

För multiplikation och division gäller samma teckenregler.

- 1000

är större än

- 1 .

Att ett tal är mindre än noll betyder att det är negativt.

3 - (- 5)

betyder samma sak som

- 3 - 5 .

Detta är sant. Teckenreglerna följer samma mönster, dvs. för ett positivt och ett negativt tal gäller att (+) * (-) =(-) och (+)/(-)=(-) samt för två negativa tal gäller att (-) * (-) = (+) och att (-)/(-)=(+).

Falskt. Även om själva talet 1 000 är större än talet 1 räknar vi tal som mindre om de ligger längre till vänster på tallinjen. -1 000 ligger betydligt mer vänsterut än -1.

Helt sant. Detta är själva definitionen av negativa tal!

Falskt! När det gäller 3-(-5) är minustecknen intilliggande och vi ersätter då dessa med ett tecken. Enligt teckenreglerna blir de ett plustecken. Vi får då 3-(-5)=3+5=8. Däremot innebär -3-5 att vi startar på -3 på tallinjen och att backar 5 steg. Vi hamnar då på -8. Med en uträkning skriver vi det som -3-5=-8. Slutsatsen vi måste dra här är att vi ska vara försiktiga med ramsan minus minus blir plus. Detta gäller vid multiplikation och division av negativa tal samt då vi har två intilliggande minustecken. Dock gäller det inte då vi har subtraktion och minustecknen inte är intilliggande, som i fallet med -3-5.

Beräkna utan räknare.

4 \cdot (- 5) \cdot (- 2)

(- 1) \cdot (- 3) \cdot (- 6) \cdot 2

\frac{- 4 2}{7}

\frac{( - 9 ) \cdot 5}{- 1 5}

Beräkna multiplikationerna som vanligt, men använd teckenreglerna för multiplikation.

På samma sätt som tidigare börjar vi med att använda teckenreglerna för att förenkla. Därefter utför vi beräkningarna.

Beräkna divisionen som vanligt, men använd teckenreglerna för division.

Beräkna multiplikationen i täljaren först. Kom ihåg teckenreglerna!

Beräkna utan räknare.

3 - (- 5) + \frac{1 2}{- 3}

8 (- 4) + \frac{- 4 \cdot 9}{- 6}

Vi börjar med att beräkna bråket. Om täljare och nämnare har olika tecken blir kvoten negativ.

Vi beräknar uttrycket till 4.

Först beräknar vi täljaren i bråket. Då får vi ett negativt tal delat på ett annat och då kan vi stryka minustecknen.

Uttrycket är lika med -26.

Bestäm utan att använda räknare om kvoten är positiv eller negativ.

\frac{- 3 8 6 7 \cdot ( - 8 4 ) \cdot 7 3 4 \cdot ( - 6 ) \cdot ( - 1 4 )}{- 4 \cdot ( 7 - 4 ) \cdot ( - 7 4 3 2 ) \cdot 6 9}

Vi kan börja med att titta på bråkets täljare: - 3 867 * (- 84) * 734 * (- 6) * (- 14). (- 6)*(- 14) är två negativa tal som multipliceras, vilket betyder att produkten blir positiv. Därför kan vi skriva det som 6* 14. De två första faktorerna - 3 867*(- 84) är också två negativa tal som multipliceras så deras produkt är också positiv. Täljaren kan därför skrivas som 3 867 * 84 * 734 * 6 * 14. Nu tittar vi på nämnaren och använder samma regler. Börja med att beräkna subtraktionen i den ena parentesen.

Både täljare och nämnare består nu av produkter av positiva tal, så de är båda positiva. Det betyder att kvoten också är positiv: Positiv/Positiv= Positiv.

Sätt in ett likhetstecken eller olikhetstecken i boxen som gör att påståendet stämmer.

- 311 - 14

211 - 5

\frac{2 4}{- 3} 11 (- 4) \cdot 2

- 23112 - 3

Det minsta talet är det vi hittar längst till vänster på tallinjen. Som vi ser på tallinjen nedan är - 14 mindre än - 3 och ska därmed skriva - 3 > - 14.

Det minsta talet är det vi hittar längst till vänster på tallinjen. Som vi ser i figuren är - 5 mindre än 2. Alltså ska vi skriva 2 > - 5.

Här måste vi först utföra beräkningarna. Ett negativt tal gånger ett positivt blir negativt. (- 4) * 2 = - 8 Motsvarande gäller för ett positivt tal dividerat med ett negativt. 24- 3= - 8 Uttrycken ligger alltså på samma position på tallinjen och är därmed lika stora: (- 4) * 2= 24- 3

Beräkningen 2-3 ger talet - 1. 2-3=-1 Eftersom - 23 ligger längre till vänster på tallinjen är - 1 det större talet. Vi skriver - 23 < - 1. - 23 < - 1

Beräkna utan räknare.

\frac{6 \cdot ( - 2 )}{( - 3 0 ) \cdot ( - 0 , 1 )}

\frac{2 \cdot ( - 3 ) \cdot 3}{0 , 5 \cdot ( - 4 )}

(- 1) \cdot (- 1) \cdot (- 1) \cdot (- 1) \cdot (- 1) \cdot (- 1)

Vi använder teckenreglerna för multiplikation och division och förenklar uttrycken.

På samma sätt som tidigare börjar vi med att använda teckenreglerna och förenklar nämnare och täljare. Slutligen utför vi divisionen.

I denna uppgift kan vi tänka oss att vi delar in de negativa ettorna i par. Varje par kommer bli en positiv etta. Vi får alltså följande.

Negativa tal

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.