{{ 'ml-label-choose-chapter' | message }} {{ courseTrack.signature }} {{ 'ml-label-choose-course' | message }}

Aritmetik

Välj kurs
( Matte 1c , Matte 1b )
Aritmetik
Negativa tal

Negativa tal

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

De negativa talen ligger till vänster om 00 på en tallinje och skrivs med ett minustecken. Ett negativt tal befinner sig på samma avstånd på vänster sida om nollpunkten som motsvarande positiva tal är till höger om den. Ju längre åt vänster man går på tallinjen desto mindre blir talen, så -20\text{-} 20 är ett lägre tal än -3\text{-} 3. Negativa tal används till exempel på en termometers skala, där det finns både positiva och negativa temperaturer.

Det finns många användbara tolkningar av negativa tal, exempelvis hur mycket pengar man har på ett bankkonto. Om summan är positiv har man pengar över, men om den är negativ är man skyldig pengar. Ju mer negativ summan är, desto mer är man skyldig. Visar summan exempelvis -5000\text{-} 5\,000 är man skyldig mer än om den visar -100.\text{-} 100.
Regel

Addition och subtraktion med negativa tal

Regeln när man adderar och subtraherar negativa tal är att om två lika tecken står bredvid varandra, t.ex. 5−(-3)5-(\text{-} 3), ger det plus och när två olika tecken står bredvid varandra, t.ex. 5+(-3)5+(\text{-} 3), ger det minus.

Regel
a+(-b)=a−ba+(\text{-}b)=a-b

Om ett negativt tal adderas kan man skriva det som en subtraktion. Om man utgår ifrån uttrycket2−3 2-3 kan man skriva om det så att man får 2+(-3).2+(\text{-}3). Vad händer om man lägger till 0?0? Ingenting, då 00 inte förändrar värdet. Men 00 kan i sin tur skrivas som ett tal minus ett lika stort tal. Genom att använda detta kan man skriva om uttrycket

2−32-3
Add 0
2+0−32+0-3
Skriv 0 som (-3)−(-3)(\text{-}3)-(\text{-}3)
2+(-3)−(-3)−32+(\text{-}3)-(\text{-}3)-3
Omarrangera termer
2+(-3)−3−(-3)2+(\text{-}3)-3-(\text{-}3)

Differensen av två lika stora tal är 00 och detta gäller oavsett tal. I uttrycket −3−(-3)-3-(\text{-}3) beräknas differensen mellan två lika stora tal, dvs. -3{\color{#FF0000}{\text{-} 3}} så det måste vara 0:

2+(-3)−3−(-3)⎵0=2+(-3) 2+(\text{-}3) \, \underbrace{{\color{#FF0000}{- \, 3}}-({\color{#FF0000}{\text{-}3}})}_{0}=2+(\text{-}3)

Regel
a−(-b)=a+ba-(\text{-}b)=a+b

Om ett negativt tal subtraheras kan man skriva om det som en addition. Titta på uttrycket 2−(-3). 2-(\text{-}3). Om man lägger till 00 ändras inte värdet. Men 00 kan skrivas som ett tal minus ett lika stort tal. Detta kan användas för att skriva om uttrycket.

2−(-3)2-(\text{-}3)
a=a+3−3a = a+{\color{#0000FF}{3}}-{\color{#0000FF}{3}}
2+3−3−(-3)2+{\color{#0000FF}{3}}-{\color{#0000FF}{3}}-(\text{-}3)

Differensen av två lika stora tal är 00 och detta gäller oavsett tal. I uttrycket −3−(-3)-3-(\text{-}3) beräknas differensen mellan två lika stora tal, dvs. -3{\color{#FF0000}{\text{-}3}} så det måste vara 0:

2+3−3−(-3)⎵0=2+3 2+3 \, \underbrace{{\color{#FF0000}{- \, 3}}-({\color{#FF0000}{\text{-}3}})}_{0}=2+3
Regel

Multiplikation med negativa tal

Regeln när man multiplicerar med negativa tal är att faktorer med lika tecken ger positiv produkt och faktorer med olika tecken ger negativ produkt.

Regel
a(-b)=-aba(\text{-} b)=\text{-} ab

När en positiv och en negativ faktor multipliceras blir produkten negativ. För att visa varför, kan man fråga sig vad multiplikation faktiskt betyder. Multiplikation visar upprepad addition. En multiplikation som 3(-2)3(\text{-}2) kan alltså tolkas som (-2)(\text{-}2) adderat med sig själv 3 gånger:(-2)+(-2)+(-2). (\text{-}2)+(\text{-}2)+(\text{-}2). Förenklar man uttrycket kan man visa att regeln gäller.

(-2)+(-2)+(-2)(\text{-}2)+(\text{-}2)+(\text{-}2)
a+(-b)=a−ba+(\text{-} b)=a-b
-2−2−2\text{-} 2-2-2
Bryt ut minustecken
-(2+2+2)\text{-}\left(2+2+2\right)
a+a+a=3aa+a+a=3a
-3⋅2\text{-}3\cdot 2
Produkten av ett positivt och negativt tal blir alltså negativt. Eftersom det inte spelar någon vilken ordning faktorerna står får man även en negativ produkt om man multiplicerar ett negativt tal med ett positivt dvs. (-a)b=-ab.(\text{-} a)b=\text{-} ab.

Regel
(-a)(-b)=ab(\text{-} a)(\text{-} b)=ab

När två negativa faktorer multipliceras blir produkten positiv. Man kan visa varför om man utgår från att ett tal, t.ex. (-5),(\text{-}5), multiplicerat med 00 blir 0:0\text{:} (-5)⋅0=0. (\text{-}5)\cdot 0=0. 00 kan även skrivas som ett tal minus ett lika stort tal, t.ex. 3−3.3-3. Detta kan i sin tur skrivas som -3+3\text{-}3+3 genom att ändra ordningen på termerna. (-5)⋅(-3+3)=0 (\text{-}5)\cdot (\text{-}3+3)=0 För att komma vidare ska (-5)(\text{-}5) multipliceras in i parentesen och enligt distributiva lagen multipliceras den med båda termer.

(-5)⋅(-3+3)=0(\text{-}5)\cdot (\text{-}3+3)=0
Multiplicera in (-5)(\text{-}5)
(-5)(-3)+(-5)⋅3=0(\text{-}5)(\text{-}3)+(\text{-}5)\cdot3=0
(-a)b=-ab(\text{-} a)b = \text{-} ab
(-5)(-3)−5⋅3=0(\text{-}5)(\text{-}3)-5\cdot3=0
VL+5⋅3=HL+5⋅3\text{VL}+5\cdot3=\text{HL}+5\cdot3
(-5)(-3)=5⋅3(\text{-}5)(\text{-}3)=5\cdot3
Produkten av två negativa tal är alltså positiv.
Regel

Division med negativa tal

Regeln vid division med negativa tal är att om täljaren och nämnaren har lika tecken ger det en positiv produkt och om de har olika tecken ger det en negativ produkt.

Regel
-a-b=ab\dfrac{\text{-} a}{\text{-} b}=\dfrac{a}{b}
När två negativa tal divideras blir kvoten positiv. I både täljaren och nämnaren kan (-1)(\text{-} 1) brytas ut och förkortas bort.
-5-4\dfrac{\text{-}5}{\text{-}4}
Dela upp i faktorer
(-1)⋅5(-1)⋅4\dfrac{(\text{-}1)\cdot 5}{(\text{-}1)\cdot 4}
Stryk faktorer
(-1)⋅5(-1)⋅4\dfrac{\cancel{(\text{-}1)}\cdot 5}{\cancel{(\text{-}1)}\cdot 4}
Förenkla kvot
54\dfrac{5}{4}
Kvoten blir alltså positiv.

Regel
-ab=-ab\dfrac{\text{-} a}{b}=\text{-} \dfrac{a}{b}
Om man delar en negativ täljare med en positiv nämnare kan minustecknet sättas framför bråket. Man kan visa varför det blir så i bråket -32\frac{\text{-}3}{2} genom att bryta ut -1\text{-}1 i täljaren och 11 i nämnaren.
-32\dfrac{\text{-}3}{2}
Dela upp i faktorer
(-1)⋅31⋅2\dfrac{(\text{-}1)\cdot 3}{1\cdot 2}
Dela upp bråk
-11⋅32\dfrac{\text{-}1}{1}\cdot \dfrac{3}{2}

Det första bråket har nämnaren 11 och delar man ett tal med 11 blir kvoten alltid täljaren, dvs. -1.\text{-}1.

-11⋅32\dfrac{\text{-}1}{1}\cdot \dfrac{3}{2}
a1=a\dfrac{a}{1}=a
-1⋅32\text{-}1\cdot \dfrac{3}{2}
1⋅a=a1\cdot a=a
-32\text{-}\dfrac{3}{2}

Regel
a-b=-ab\dfrac{a}{\text{-} b}=\text{-} \dfrac{a}{b}

Om man delar en positiv täljare med en negativ nämnare kan minustecknet sättas framför bråket. Man kan visa varför det blir så för bråket 3-2\frac{3}{\text{-}2} genom att förlänga det med (-1).(\text{-}1).

3-2\dfrac{3}{\text{-}2}
Förläng med (-1)(\text{-}1)
3(-1)-2(-1)\dfrac{3(\text{-}1)}{\text{-}2(\text{-}1)}
-a(-b)=a⋅b\text{-} a(\text{-} b)=a\cdot b
3(-1)2\dfrac{3(\text{-}1)}{2}
Omarrangera faktorer
(-1)⋅32\dfrac{(\text{-}1)\cdot 3}{2}

Bryter man ut 11 i nämnaren kan man skriva uttrycket som en produkt av två bråk.

(-1)⋅32\dfrac{(\text{-}1)\cdot 3}{2}
Dela upp i faktorer
(-1)⋅31⋅2\dfrac{(\text{-}1)\cdot 3}{1\cdot 2}
Dela upp bråk
-11⋅32\dfrac{\text{-}1}{1}\cdot \dfrac{3}{2}
a1=a\dfrac{a}{1}=a
-1⋅32\text{-}1\cdot \dfrac{3}{2}
1⋅a=a1\cdot a=a
-32\text{-}\dfrac{3}{2}

Räknaren gör skillnad på negativa tal och tal som subtraheras, och den använder två olika minustecken för att visa detta. För negativa tal används ett kortare minustecken, som man får genom att trycka på knappen (-\text{-}), medan man använder det längre minustecknet, −,-, om man ska subtrahera tal.

Beräkningar med minustecken på räknare
Det kortare minustecknet används bara för att göra det efterföljande talet eller uttrycket negativt, t.ex. när man ska multiplicera ett negativt tal med något. Det längre minustecknet används bara när man subtraherar något från något annat. Använder man dem fel finns det en risk att man får oväntade resultat eller felmeddelanden.

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna utan räknare.


a

4−9+3−24-9+3-2

b

-5−10+13\text{-}5-10+13

c

12−1−7+312-1-7+3

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna utan räknare.

a

374+199−195374+199-195

b

11−54−10+5511-54-10+55

c

45+87+33−45−33−8745+87+33-45-33-87

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna utan räknare.

a

14−(-5)−20+(-7)14-(\text{-} 5)-20+(\text{-} 7)

a

-3−(-4)−7−(+9)\text{-} 3-(\text{-} 4)-7-(+9)

c

-38−38−(-38)\text{-} 38-38-(\text{-} 38)

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Utför beräkningarna med räknare.

a

21.89−45.7321.89-45.73

b

-1.54−5.75\text{-}1.54-5.75

c

778−(-98.5)778-(\text{-}98.5)

d

8-38^{\text{-}3}

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Amina mäter temperaturen under dag och natt under en skolvecka. Hon sammanställer resultaten i en tabell.

Veckodag Temp. dag (∘^\circC) Temp. natt (∘^\circC)
Mån -2 -8
Tis 0 -5
Ons -1 2
Tors 6 1
Fre 3 -5


a

Avgör, utan att använda räknare, vilken dag som temperaturskillnaden mellan dag och natt var störst.

b

Beräkna, utan att använda räknare, hur mycket högre medeltemperaturen var på dagen jämfört med på natten.

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilka av följande påståenden om negativa tal är sanna och vilka är falska?

a

För multiplikation och division gäller samma teckenregler.

b

-1000\text{-}1000 är större än -1.\text{-}1.

c

Att ett tal är mindre än noll betyder att det är negativt.

d

3−(-5)3-(\text{-}5) betyder samma sak som -3−5.\text{-}3-5.

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna utan räknare.


a

4⋅(-5)⋅(-2)4 \cdot (\text{-} 5) \cdot (\text{-} 2)

b

(-1)⋅(-3)⋅(-6)⋅2(\text{-} 1) \cdot (\text{-} 3) \cdot (\text{-} 6) \cdot 2

c

-427\dfrac{\text{-} 42}{7}

d

(-9)⋅5-15\dfrac{(\text{-} 9) \cdot 5}{\text{-} 15}

1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna utan räknare.

a

3−(-5)+12-33-(\text{-}5)+\dfrac{12}{\text{-}3}

b

8(-4)+-4⋅9-68(\text{-}4)+\dfrac{\text{-}4\cdot 9}{\text{-}6}

1.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Sätt in ett likhetstecken eller olikhetstecken i boxen som gör att påståendet stämmer.


a

-3  11 -14\text{-} 3 \ \ \boxed{\phantom{11}} \ \text{-} 14

b

2  11 -52 \ \ \boxed{\phantom{11}} \ \text{-} 5

c

24-3  11 (-4)⋅2\dfrac{24}{\text{-} 3}\ \ \boxed{\phantom{11}} \ (\text{-} 4) \cdot 2

d

-23  11 2−3\text{-} 23 \ \ \boxed{\phantom{11}} \ 2-3

1.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna utan räknare.


a

6⋅(-2)(-30)⋅(-0.1)\dfrac{6 \cdot (\text{-} 2)}{(\text{-} 30) \cdot (\text{-} 0.1)}

b

2⋅(-3)⋅30.5⋅(-4)\dfrac{2 \cdot (\text{-} 3) \cdot 3}{0.5 \cdot (\text{-} 4)}

c

(-1)⋅(-1)⋅(-1)⋅(-1)⋅(-1)⋅(-1)(\text{-} 1) \cdot (\text{-} 1) \cdot (\text{-} 1) \cdot (\text{-} 1) \cdot (\text{-} 1)\cdot (\text{-} 1)

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Vilket tal ligger mitt emellan -4\text{-} 4 och -10\text{-} 10?

b

Vilket tal ligger mitt emellan -471\text{-} 471 och -922\text{-} 922?

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna utan räknare 3+(-1)(3−(-4))−(-3)(-7)6−(3+(-2)). \dfrac{3+(\text{-}1)(3-(\text{-}4))-(\text{-}3)(\text{-}7)}{6-(3+(\text{-}2))}.

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Linnéa har precis startat ett eget konto att sätta in sitt studiebidrag på. Dock har hon inte haft så bra koll på hur mycket pengar hon har använt, så hennes mamma får ingripa och sätta in 500 kr åt henne efter ett tag. För att inte upprepa samma misstag igen loggar hon in på sin bank och tittar på sitt kontoutdrag.

Insättning/uttag Saldo
+1050 1050
-550\text{-} 550 500
150
-400\text{-} 400
-450\text{-} 450
+500 50

Tyvärr är det en bugg på sidan så att hon inte kan se allt. Hjälp Linnéa att fylla i de tomma cellerna!

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm utan att använda räknare om kvoten är positiv eller negativ. -3867⋅(-84)⋅734⋅(-6)⋅(-14)-4⋅(7−4)⋅(-7432)⋅69 \dfrac{\text{-} 3867\cdot(\text{-} 84)\cdot734\cdot(\text{-} 6)\cdot(\text{-} 14)}{\text{-} 4\cdot(7-4)\cdot(\text{-} 7432)\cdot 69}

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilket tal ligger mittemellan de två talen?


a

-3\text{-}3 och 11

b

-92\text{-}92 och -4\text{-} 4

c

-1\text{-} 1 och 9292

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Bakom bokstäverna a−ha-h gömmer sig de negativa talen -1, -2 , -3, -4, -5, -6, -7 och -8 en gång var. Ersätt bokstäverna med rätt tal så att likheterna stämmer. Om det finns två möjliga alternativ på ordningen, välj det största av de två talen först.
Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

aa och bb är två negativa heltal där aa är mindre än bb. Visa att (-a)(-a)(-a)(-a)a¨r strre no¨a¨(-b)(-b)(-b)(-b). (\text{-} a)(\text{-} a)(\text{-} a)(\text{-} a) \quad \text{är större än} \quad (\text{-} b)(\text{-} b)(\text{-} b)(\text{-} b).

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna kvoten (-(-2))(-3)3(-(3−(-2)))⋅(-1)-(3−1)(-3)3(-3+4)⋅1-2 \dfrac{(\text{-}(\text{-}2))(\text{-}3)^3(\text{-}(3-(\text{-}2)))\cdot(\text{-}1)}{\text{-}(3-1)(\text{-}3)^3(\text{-}3+4)}\cdot\dfrac{1}{\text{-}2} utan att använda räknare.

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Tre fotbollslag möttes i ett gruppspel och alla lag mötte varandra en gång. Man får 3 poäng för vinst, 1 för oavgjort och 0 för förlust. Målskillnad är differensen mellan lagets gjorda mål och insläppta mål.

Lag Gjorda mål Målskillnad Poäng
A 5 +5 6
B -2
C 0 0

Fyll i tabellen korrekt på det sätt som gör att Lag B får bäst resultat mot Lag A.

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Du vet att a,b a, \, b och c c är jämna heltal samt att aa är större än bb som i sin tur är större än cc. Kan du välja talen så att nedanstående bråk ger kvoten 100? 100? (-a)(-b)(-c)-(-(-3b))2c \dfrac{(\text{-} a)(\text{-} b)(\text{-} c)}{\text{-}(\text{-}(\text{-}3b))2c}

3.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För fyra positiva tal XX, YY, ZZ och WW gäller att XX är större än YY.


a

Vad gäller för ZZ och WW om du vet att kvoten nedan är positiv? (X−Y)(Z−W)Y−X \dfrac{(X-Y)(Z-W)}{Y-X}


b

Använd informationen i föregående deluppgift samt att XX är mindre än ZZ för att avgöra om kvoten nedan är positiv eller negativ. (Z+W−X)(Y−Z)(Y−W)(X+W−Y)(X−W) \dfrac{(Z+W-X)(Y-Z)(Y-W)}{(X+W-Y)(X-W)}

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace {{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}