5. Negativa tal
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 1
7.
Negativa tal
Negativa tal är en grundläggande del av matematiken och används för att representera värden som är mindre än noll. De kan representeras på en tallinje, där de ligger till vänster om noll. Negativa tal används i många olika sammanhang, till exempel för att representera skuld eller temperaturer under noll. Det finns specifika regler för att utföra operationer som addition, subtraktion, multiplikation och division med negativa tal. Till exempel, när två negativa tal multipliceras eller delas, blir resultatet positivt. När ett positivt och ett negativt tal multipliceras eller delas, blir resultatet negativt. Dessa regler är viktiga för att korrekt utföra matematiska beräkningar och lösa problem.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 8 sidor teori |
| | 21 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Negativa tal
Sida av 8
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Negativa tal
- Addition och subtraktion med negativa tal
- Multiplikation med negativa tal
- Division med negativa tal
Förkunskaper
Utforska
Mätning av temperaturer
Temperatur mäts med en termometer. På sommaren kan det vara plusgrader och på vintern minusgrader. För att ange minusgrader skriver man ett minustecken (−) framför talet. När man anger plusgrader brukar man skriva ett plustecken (+) framför. Dra i reglaget så att termometern först visar +10∘C och sen −20∘C.
Den lägsta temperatur som någonsin uppmätts på marken var vid den sovjetiska forskningsstationen Vostok i Antarktis den 21 juli 1983. Termometern visade då ofattbara −89,2∘C.
Teori
Positiva och negativa tal
Positiva tal är större än 0, medan negativa tal är mindre än 0. Om man lägger en termometer ned så får man en tallinje. På en tallinje är de negativa talen till vänster om 0, och de positiva talen till höger om 0.
Ju längre till vänster på tallinjen, desto mindre tal. Ju längre till höger, desto större tal. Detta kan användas för att jämföra tal med varandra. Tecknet > betyder är större än, och tecknet < betyder är mindre än. Tecknen kallas för olikhetstecken.
Sto¨rre a¨n>Mindre a¨n <
Till exempel är talet 2 större än talet −6, eftersom talet 2 ligger till höger om −6, på tallinjen. Detta går att skriva med matematiska tecken som 2>−6. Här är några fler exempel.
| Med ord | Matematiskt |
|---|---|
| 2 är större än −6. | 2>−6 |
| −10 är mindre än 0. | −10<0 |
| −5 är större än −8. | −5>−8 |
Teori
Addition och subtraktion med negativa tal
Regeln när man adderar och subtraherar negativa tal är att om två lika tecken står bredvid varandra, t.ex. 5−(−3), ger det plus och när två olika tecken står bredvid varandra, t.ex. 5+(−3), ger det minus.
Regel
a+(-b)=a−b
Om ett negativt tal adderas kan man skriva det som en subtraktion. Om man utgår ifrån uttrycket
2−3
kan man skriva om det så att man får 2+(−3). Vad händer om man lägger till 0? Ingenting, då 0 inte förändrar värdet. Men 0 kan i sin tur skrivas som ett tal minus ett lika stort tal. Genom att använda detta kan man skriva om uttrycket
2−3
Add 0
2+0−3
ZeroToDiff
Skriv 0 som (−3)−(−3)
2+(−3)−(−3)−3
RearrangeTerms
Omarrangera termer
2+(−3)−3−(−3)
Differensen av två lika stora tal är 0 och detta gäller oavsett tal. I uttrycket −3−(−3) beräknas differensen mellan två lika stora tal, dvs. −3 så det måste vara 0:
2+(−3)0−3−(−3)=2+(−3)
Regel
a−(-b)=a+b
Om ett negativt tal subtraheras kan man skriva om det som en addition. Titta på uttrycket
2−(−3).
Om man lägger till 0 ändras inte värdet. Men 0 kan skrivas som ett tal minus ett lika stort tal. Detta kan användas för att skriva om uttrycket.
Differensen av två lika stora tal är 0 och detta gäller oavsett tal. I uttrycket −3−(−3) beräknas differensen mellan två lika stora tal, dvs. −3 så det måste vara 0:
2+30−3−(−3)=2+3
Teori
Multiplikation med negativa tal
Regeln när man multiplicerar med negativa tal är att faktorer med lika tecken ger positiv produkt och faktorer med olika tecken ger negativ produkt.
Regel
a(−b)=−ab
När en positiv och en negativ faktor multipliceras blir produkten negativ. För att visa varför, kan man fråga sig vad multiplikation faktiskt betyder. Multiplikation visar upprepad addition. En multiplikation som 3(−2) kan alltså tolkas som (−2) adderat med sig själv 3 gånger: Produkten av ett positivt och negativt tal blir alltså negativt. Eftersom det inte spelar någon vilken ordning faktorerna står får man även en negativ produkt om man multiplicerar ett negativt tal med ett positivt dvs. (−a)b=−ab.
(−2)+(−2)+(−2).
Förenklar man uttrycket kan man visa att regeln gäller.
(−2)+(−2)+(−2)
AddNeg
a+(−b)=a−b
−2−2−2
FactorOutNegSign
Bryt ut minustecken
−(2+2+2)
SumToProdThreeTerms
a+a+a=3a
−3⋅2
Regel
(−a)(−b)=ab
När två negativa faktorer multipliceras blir produkten positiv. Man kan visa varför om man utgår från att ett tal, t.ex. (−5), multiplicerat med 0 blir 0:
Produkten av två negativa tal är alltså positiv.
(−5)⋅0=0.
0 kan även skrivas som ett tal minus ett lika stort tal, t.ex. 3−3. Detta kan i sin tur skrivas som −3+3 genom att ändra ordningen på termerna.
(−5)⋅(−3+3)=0
För att komma vidare ska (−5) multipliceras in i parentesen och enligt distributiva lagen multipliceras den med båda termer.
(−5)⋅(−3+3)=0
Distr
Multiplicera in (−5)
(−5)(−3)+(−5)⋅3=0
MultNegPos
(−a)b=−ab
(−5)(−3)−5⋅3=0
AddEqn
VL+5⋅3=HL+5⋅3
(−5)(−3)=5⋅3
Teori
Division med negativa tal
Regeln vid division med negativa tal är att om täljaren och nämnaren har lika tecken ger det en positiv produkt och om de har olika tecken ger det en negativ produkt.
Regel
−b−a=ba
När två negativa tal divideras blir kvoten positiv. I både täljaren och nämnaren kan (−1) brytas ut och förkortas bort.
Kvoten blir alltså positiv.
−4−5
SplitIntoFactors
Dela upp i faktorer
(−1)⋅4(−1)⋅5
CrossCommonFac
Stryk faktorer
(−1)⋅4(−1)⋅5
SimpQuot
Förenkla kvot
45
Regel
b−a=−baRegel
−ba=−baOm man delar en positiv täljare med en negativ nämnare kan minustecknet sättas framför bråket. Man kan visa varför det blir så för bråket −23 genom att förlänga det med (−1).
−23
ExpandFrac
Förläng med (−1)
−2(−1)3(−1)
MultNegNegOnePar
−a(−b)=a⋅b
23(−1)
RearrangeFac
Omarrangera faktorer
2(−1)⋅3
Bryter man ut 1 i nämnaren kan man skriva uttrycket som en produkt av två bråk.
2(−1)⋅3
SplitIntoFactors
Dela upp i faktorer
1⋅2(−1)⋅3
WriteSumFrac
Dela upp bråk
1−1⋅23
DivByOne
1a=a
−1⋅23
OneMult
1⋅a=a
−23
Teori
Minustecken på räknare
Räknaren gör skillnad på negativa tal och tal som subtraheras, och den använder två olika minustecken för att visa detta. För negativa tal används ett kortare minustecken, som man får genom att trycka på knappen (-), medan man använder det längre minustecknet, −, om man ska subtrahera tal.
Exempel
Vilket tal pekar pilarna på?
Beräkna värdet av följande uttryck.
−5−−2⋅28+(−3)⋅(−2)
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["3"]}}
Ledtråd
Kom ihåg reglerna för beräkningar med negativa tal.
Lösning
Börja med att förenkla nämnaren i den andra termen.
−2⋅2=−4
I −−2⋅28=−−48 har vi en division av ett positivt tal med ett negativt tal. Täljare och nämnare har olika tecken, så vi kan utnyttja regeln att olika tecken vid division ger en negativ produkt:
−−48=−(−2).
Negativen av ett negativt tal är ett positivt tal.
−(−2)=2
Den tredje termen i uttrycket är multiplikationen av två negativa tal. Multiplikationen av två negativa tal ger ett positivt tal.
(−3)(−2)=6
Nu kan vi beräkna uttrycket.
−5−5−−2⋅28⇓+2+(−3)⋅(−2)+6=3
Värdet av uttrycket är 3.
Negativa tal
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["-7"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["-696.5"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi kan beräkna medelvärdet av talen, genom att addera dem och sedan dividera med 2.
Återigen beräknar vi medelvärdet.
Talet -696,5 ligger precis mitt emellan.
security
report
code
Beräkna utan räknare.
6−(3+(−2))3+(−1)(3−(−4))−(−3)(−7)
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["-5"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att förenkla nämnaren.
Nämnaren kan alltså förenklas till 5. Nu tittar vi på täljaren.
Kvoten är alltså lika med -5.
security
report
code
Linnéa har precis startat ett eget konto att sätta in sitt studiebidrag på. Dock har hon inte haft så bra koll på hur mycket pengar hon har använt, så hennes mamma får ingripa och sätta in 500 kr åt henne efter ett tag. För att inte upprepa samma misstag igen loggar hon in på sin bank och tittar på sitt kontoutdrag.
| Insättning/uttag | Saldo |
|---|---|
| 1050 | 1050 |
| −550 | 500 |
| a | 150 |
| −400 | b |
| c | −450 |
| +500 | 50 |
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">c<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["-200"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi gör en beräkning i taget. Först ser vi att något ska subtraheras från 500 för att få 150. Skillnaden är alltså 150-500=- 350 kr. Därför ska det stå - 350 i den andra tomma cellen.
| Insättning/uttag | Saldo |
|---|---|
| +1 050 | 1 050 |
| - 550 | 500 |
| - 350 | 150 |
| - 400 | |
| - 450 | |
| +500 | 50 |
Vi tar nästa cell. Detta belopp får vi genom att utföra beräkningen 150-400 vilket är lika med - 250. Observera att Linnéa nu har ett negativt saldo på kontot, dvs. hon har en skuld på 250 kr.
| Belopp | Saldo |
|---|---|
| +1 050 | 1 050 |
| - 550 | 500 |
| - 350 | 150 |
| - 400 | - 250 |
| - 450 | |
| +500 | 50 |
Hon ökar nu på sin skuld till 450 kr. Vi beräknar skillnaden mellan - 450 och - 250: - 450-(- 250)=- 450+250=- 200. I sista cellen ska det alltså stå - 200.
| Belopp | Saldo |
|---|---|
| +1 050 | 1 050 |
| - 550 | 500 |
| - 350 | 150 |
| - 400 | - 250 |
| - 200 | - 450 |
| +500 | 50 |
security
report
code
Bestäm utan att använda räknare om kvoten är positiv eller negativ.
−4⋅(7−4)⋅(−7432)⋅69−3867⋅(−84)⋅734⋅(−6)⋅(−14)
{"type":"choice","form":{"alts":["Positiv","Negativ"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
security
report
code
security
report
code
Vi kan börja med att titta på bråkets täljare: - 3 867 * (- 84) * 734 * (- 6) * (- 14). (- 6)*(- 14) är två negativa tal som multipliceras, vilket betyder att produkten blir positiv. Därför kan vi skriva det som 6* 14. De två första faktorerna - 3 867*(- 84) är också två negativa tal som multipliceras så deras produkt är också positiv. Täljaren kan därför skrivas som 3 867 * 84 * 734 * 6 * 14. Nu tittar vi på nämnaren och använder samma regler. Börja med att beräkna subtraktionen i den ena parentesen.
Både täljare och nämnare består nu av produkter av positiva tal, så de är båda positiva. Det betyder att kvoten också är positiv: Positiv/Positiv= Positiv.
security
report
code
Vilket tal ligger mittemellan de två talen?
−3 och 11
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["4"]}}
−92 och −4
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["-48"]}}
−1 och 92
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["45.5"]}}
security
report
code
security
report
code
Ett sätt att hitta mitten är att addera talen och dela på två. Det kommer från formeln för medelvärde.
Talet som finns mittemellan - 3 och 11 är 4.
Vi gör samma sak igen.
Mittentalet är - 48.
Vi gör samma sak för det sista paret tal.
Mittentalet är 45,5.
security
report
code
Bakom bokstäverna a−h gömmer sig de negativa talen −1, −2, −3, −4, −5, −6, −7 och −8 en gång var. Ersätt bokstäverna med rätt tal så att likheterna stämmer. Om det finns två möjliga alternativ på ordningen, välj det största av de två talen först.
a⋅bc−de+fg/h=21=−5=−7=2
{"type":"pair","form":{"alts":[[{"id":0,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">a<\/span><\/span><\/span><\/span>"},{"id":1,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.69444em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">b<\/span><\/span><\/span><\/span>"},{"id":2,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">c<\/span><\/span><\/span><\/span>"},{"id":3,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.69444em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">d<\/span><\/span><\/span><\/span>"},{"id":4,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">e<\/span><\/span><\/span><\/span>"},{"id":5,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.8888799999999999em;vertical-align:-0.19444em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.10764em;\">f<\/span><\/span><\/span><\/span>"},{"id":6,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.19444em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.03588em;\">g<\/span><\/span><\/span><\/span>"},{"id":7,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.69444em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">h<\/span><\/span><\/span><\/span>"}],[{"id":0,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.72777em;vertical-align:-0.08333em;\"><\/span><span class=\"mord\">\u2212<\/span><span class=\"mord\">3<\/span><\/span><\/span><\/span>"},{"id":1,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.72777em;vertical-align:-0.08333em;\"><\/span><span class=\"mord\">\u2212<\/span><span class=\"mord\">7<\/span><\/span><\/span><\/span>"},{"id":2,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.72777em;vertical-align:-0.08333em;\"><\/span><span class=\"mord\">\u2212<\/span><span class=\"mord\">6<\/span><\/span><\/span><\/span>"},{"id":3,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.72777em;vertical-align:-0.08333em;\"><\/span><span class=\"mord\">\u2212<\/span><span class=\"mord\">1<\/span><\/span><\/span><\/span>"},{"id":4,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.72777em;vertical-align:-0.08333em;\"><\/span><span class=\"mord\">\u2212<\/span><span class=\"mord\">2<\/span><\/span><\/span><\/span>"},{"id":5,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.72777em;vertical-align:-0.08333em;\"><\/span><span class=\"mord\">\u2212<\/span><span class=\"mord\">5<\/span><\/span><\/span><\/span>"},{"id":6,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.72777em;vertical-align:-0.08333em;\"><\/span><span class=\"mord\">\u2212<\/span><span class=\"mord\">8<\/span><\/span><\/span><\/span>"},{"id":7,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.72777em;vertical-align:-0.08333em;\"><\/span><span class=\"mord\">\u2212<\/span><span class=\"mord\">4<\/span><\/span><\/span><\/span>"}]],"lockLeft":true,"lockRight":false},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[[0,1,2,3,4,5,6,7],[0,1,2,3,4,5,6,7]]}
security
report
code
security
report
code
Vi går igenom ekvationerna en i taget.
a* b=21
21 är lika med 3 * 7. Multiplicerar vi två negativa tal får vi en positiv produkt så vi kan sätta in faktorerna (-3) och (-7). Eftersom -3 ligger längre till höger på tallinjen är det större än -7 så vi får ekvationen: (-3) * (-7)=21. Därför är a=-3 och b=-7.
c-d=-5
Att differensen mellan två tal är -5 innebär att de ligger 5 steg ifrån varandra på tallinjen. En möjlighet är alltså att använda talen -1 och -6. Vi skulle även kunna använda -2 och -7, men -7 är redan använt. På samma sätt kan vi utesluta -3 och -8 eftersom vi använt -3. Här måste vi sätta det minsta talet först eftersom differensen är negativ: (-6)-(-1)=-6+1=-5. Därför är c=-6 och d=-1.
e+f=-7
Nu har vi talen -2, -4, -5 och -8 kvar. Av dessa är det bara -2 och -5 som kan ge summan -7. Eftersom -2 är störst av dessa skriver vi (-2)+(-5)=-2-5=-7, Därför är e=-2 och f=-5.
g/h=2
Till sist har vi -4 och -8 kvar. Vi vet att .8 /4.=2 och att två negativa tal dividerade ger en positiv kvot. Vi sätter in - 8 och -4 i ekvationen så att vi får -8/-4=2. Därför är g=-8 och h=-4.
security
report
code
Negativa tal
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll