Negativa Tal: Utforska Regler för Multiplikation, Addition och Subtraktion av Negativa Tal

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Negativa tal
Addition och subtraktion med negativa tal
Multiplikation med negativa tal
Division med negativa tal

Förkunskaper

Tallinjen
Addition
Subtraktion
Multiplikation
Division

Utforska

Mätning av temperaturer

Temperatur mäts med en termometer. På sommaren kan det vara plusgrader och på vintern minusgrader. För att ange minusgrader skriver man ett minustecken

(-)

framför talet. När man anger plusgrader brukar man skriva ett plustecken

(+)

framför. Dra i reglaget så att termometern först visar

+ 1 0^{\circ} C

och sen

- 2 0^{\circ} C .

Den lägsta temperatur som någonsin uppmätts på marken var vid den sovjetiska forskningsstationen Vostok i Antarktis den

21

juli

1983 .

Termometern visade då ofattbara

- 89, 2^{\circ} C .

Teori

Positiva och negativa tal

Positiva tal är större än $0,$ medan negativa tal är mindre än $0 .$ Om man lägger en termometer ned så får man en tallinje. På en tallinje är de negativa talen till vänster om $0,$ och de positiva talen till höger om $0 .$

Ju längre till vänster på tallinjen, desto mindre tal. Ju längre till höger, desto större tal. Detta kan användas för att jämföra tal med varandra. Tecknet $>$ betyder är större än, och tecknet $<$ betyder är mindre än. Tecknen kallas för olikhetstecken.

St \ddot{o} rre \ddot{a} n > Mindre \ddot{a} n <

Till exempel är talet $2$ större än talet $- 6,$ eftersom talet $2$ ligger till höger om $- 6,$ på tallinjen. Detta går att skriva med matematiska tecken som $2 > - 6 .$ Här är några fler exempel.

Med ord	Matematiskt
$2$ är större än $- 6 .$	$2 > - 6$
$- 10$ är mindre än $0 .$	$- 10 < 0$
$- 5$ är större än $- 8 .$	$- 5 > - 8$

Teori

Addition och subtraktion med negativa tal

Regeln när man adderar och subtraherar negativa tal är att om två lika tecken står bredvid varandra, t.ex. $5 - (- 3),$ ger det plus och när två olika tecken står bredvid varandra, t.ex. $5 + (- 3),$ ger det minus.

Regel

a + (- b) = a - b

Om ett negativt tal adderas kan man skriva det som en subtraktion. Om man utgår ifrån uttrycket

2 - 3

kan man skriva om det så att man får

2 + (- 3) .

Vad händer om man lägger till

0 ?

Ingenting, då

0

inte förändrar värdet. Men

0

kan i sin tur skrivas som ett tal minus ett lika stort tal. Genom att använda detta kan man skriva om uttrycket

2 - 3

Add 0

2 + 0 - 3

ZeroToDiff

Skriv 0 som $(- 3) - (- 3)$

2 + (- 3) - (- 3) - 3

RearrangeTerms

Omarrangera termer

2 + (- 3) - 3 - (- 3)

Differensen av två lika stora tal är $0$ och detta gäller oavsett tal. I uttrycket $- 3 - (- 3)$ beräknas differensen mellan två lika stora tal, dvs. $- 3$ så det måste vara $0 :$

2 + (- 3) 0 - 3 - (- 3) = 2 + (- 3)

Regel

a - (- b) = a + b

Om ett negativt tal subtraheras kan man skriva om det som en addition. Titta på uttrycket

2 - (- 3) .

Om man lägger till

0

ändras inte värdet. Men

0

kan skrivas som ett tal minus ett lika stort tal. Detta kan användas för att skriva om uttrycket.

2 - (- 3)

AddDiffZero

$a = a + 3 - 3$

2 - (- 3) + 3 - 3

Kommutativa lagen för addition

2 + 3 - 3 - (- 3)

Differensen av två lika stora tal är $0$ och detta gäller oavsett tal. I uttrycket $- 3 - (- 3)$ beräknas differensen mellan två lika stora tal, dvs. $- 3$ så det måste vara $0 :$

2 + 3 0 - 3 - (- 3) = 2 + 3

Teori

Multiplikation med negativa tal

Regeln när man multiplicerar med negativa tal är att faktorer med lika tecken ger positiv produkt och faktorer med olika tecken ger negativ produkt.

Regel

a (- b) = - a b

När en positiv och en negativ faktor multipliceras blir produkten negativ. För att visa varför, kan man fråga sig vad multiplikation faktiskt betyder. Multiplikation visar upprepad addition. En multiplikation som

3 (- 2)

kan alltså tolkas som

(- 2)

adderat med sig själv

3

gånger:

(- 2) + (- 2) + (- 2) .

Förenklar man uttrycket kan man visa att regeln gäller.

(- 2) + (- 2) + (- 2)

AddNeg

$a + (- b) = a - b$

- 2 - 2 - 2

FactorOutNegSign

Bryt ut minustecken

- (2 + 2 + 2)

SumToProdThreeTerms

$a + a + a = 3 a$

- 3 \cdot 2

Produkten av ett positivt och negativt tal blir alltså negativt. Eftersom det inte spelar någon vilken ordning faktorerna står får man även en negativ produkt om man multiplicerar ett negativt tal med ett positivt dvs.

(- a) b = - a b .

Regel

(- a) (- b) = a b

När två negativa faktorer multipliceras blir produkten positiv. Man kan visa varför om man utgår från att ett tal, t.ex.

(- 5),

multiplicerat med

0

blir

0 :

(- 5) \cdot 0 = 0 .

0

kan även skrivas som ett tal minus ett lika stort tal, t.ex.

3 - 3 .

Detta kan i sin tur skrivas som

- 3 + 3

genom att ändra ordningen på termerna.

(- 5) \cdot (- 3 + 3) = 0

För att komma vidare ska

(- 5)

multipliceras in i parentesen och enligt distributiva lagen multipliceras den med båda termer.

(- 5) \cdot (- 3 + 3) = 0

Distr

Multiplicera in $(- 5)$

(- 5) (- 3) + (- 5) \cdot 3 = 0

MultNegPos

$(- a) b = - a b$

(- 5) (- 3) - 5 \cdot 3 = 0

AddEqn

$VL + 5 \cdot 3 = HL + 5 \cdot 3$

(- 5) (- 3) = 5 \cdot 3

Produkten av två negativa tal är alltså positiv.

Teori

Division med negativa tal

Regeln vid division med negativa tal är att om täljaren och nämnaren har lika tecken ger det en positiv produkt och om de har olika tecken ger det en negativ produkt.

Regel

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

När två negativa tal divideras blir kvoten positiv. I både täljaren och nämnaren kan

(- 1)

brytas ut och förkortas bort.

\frac{- 5}{- 4}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

\frac{( - 1 ) \cdot 5}{( - 1 ) \cdot 4}

CrossCommonFac

Stryk faktorer

\frac{( - 1 ) \cdot 5}{( - 1 ) \cdot 4}

SimpQuot

Förenkla kvot

\frac{5}{4}

Kvoten blir alltså positiv.

Regel

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

Om man delar en negativ täljare med en positiv nämnare kan minustecknet sättas framför bråket. Man kan visa varför det blir så i bråket

\frac{- 3}{2}

genom att bryta ut

- 1

i täljaren och

1

i nämnaren.

\frac{- 3}{2}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

\frac{( - 1 ) \cdot 3}{1 \cdot 2}

WriteSumFrac

Dela upp bråk

\frac{- 1}{1} \cdot \frac{3}{2}

Det första bråket har nämnaren $1$ och delar man ett tal med $1$ blir kvoten alltid täljaren, dvs. $- 1 .$

\frac{- 1}{1} \cdot \frac{3}{2}

DivByOne

$\frac{a}{1} = a$

- 1 \cdot \frac{3}{2}

OneMult

$1 \cdot a = a$

- \frac{3}{2}

Regel

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

Om man delar en positiv täljare med en negativ nämnare kan minustecknet sättas framför bråket. Man kan visa varför det blir så för bråket $\frac{3}{- 2}$ genom att förlänga det med $(- 1) .$

\frac{3}{- 2}

ExpandFrac

Förläng med $(- 1)$

\frac{3 ( - 1 )}{- 2 ( - 1 )}

MultNegNegOnePar

$- a (- b) = a \cdot b$

\frac{3 ( - 1 )}{2}

RearrangeFac

Omarrangera faktorer

\frac{( - 1 ) \cdot 3}{2}

Bryter man ut $1$ i nämnaren kan man skriva uttrycket som en produkt av två bråk.

\frac{( - 1 ) \cdot 3}{2}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

\frac{( - 1 ) \cdot 3}{1 \cdot 2}

WriteSumFrac

Dela upp bråk

\frac{- 1}{1} \cdot \frac{3}{2}

DivByOne

$\frac{a}{1} = a$

- 1 \cdot \frac{3}{2}

OneMult

$1 \cdot a = a$

- \frac{3}{2}

Teori

Minustecken på räknare

Räknaren gör skillnad på negativa tal och tal som subtraheras, och den använder två olika minustecken för att visa detta. För negativa tal används ett kortare minustecken, som man får genom att trycka på knappen $(-),$ medan man använder det längre minustecknet, $-,$ om man ska subtrahera tal.

Det kortare minustecknet används bara för att göra det efterföljande talet eller uttrycket negativt, t.ex. när man ska multiplicera ett negativt tal med något. Det längre minustecknet används bara när man subtraherar något från något annat. Använder man dem fel finns det en risk att man får oväntade resultat eller felmeddelanden.

Exempel

Vilket tal pekar pilarna på?

Beräkna värdet av följande uttryck.

- 5 - \frac{8}{- 2 \cdot 2} + (- 3) \cdot (- 2)

Ledtråd

Kom ihåg reglerna för beräkningar med negativa tal.

Lösning

Börja med att förenkla nämnaren i den andra termen.

- 2 \cdot 2 = - 4

- \frac{8}{- 2 \cdot 2} = - \frac{8}{- 4}

har vi en division av ett positivt tal med ett negativt tal. Täljare och nämnare har olika tecken, så vi kan utnyttja regeln att olika tecken vid division ger en negativ produkt:

- \frac{8}{- 4} = - (- 2) .

Negativen av ett negativt tal är ett positivt tal.

- (- 2) = 2

Den tredje termen i uttrycket är multiplikationen av två negativa tal. Multiplikationen av två negativa tal ger ett positivt tal.

(- 3) (- 2) = 6

Nu kan vi beräkna uttrycket.

- 5 - 5 - \frac{8}{- 2 \cdot 2} ⇓ + 2 + (- 3) \cdot (- 2) + 6 = 3

Värdet av uttrycket är

3 .

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}

Förkunskaper

Regel

Regel

Regel

Regel

Regel

Regel

Regel

Ledtråd

Lösning