Negativa tal

Vi bryter ut (- 1) från a och b och skriver om dem som a=(- 1)A och b=(- 1)B, där A och B är positiva heltal. Vi sätter in dessa identiteter för a och b i uttrycken och förenklar. Vi börjar med (- a)(- a)(- a)(- a).

På samma sätt blir (- b)(- b)(- b)(- b) = B^4. Då har vi skrivit om uttrycken som potenser med positiva baser. Men vad betyder det egentligen att a är mindre än b? Det betyder att a ligger längre vänsterut på tallinjen än b. Det är alltså mer negativt, så A är större än B, vilket innebär att A^4 är större än B^4. Detta betyder att (- a)(- a)(- a)(- a) > (- b)(- b)(- b)(- b).

Vi kan notera att (-3)^3 finns i både täljare och nämnare. Det innebär att vi kan förkorta med den. Sedan förenklar vi parenteserna.

Kvoten blir alltså 2,5.

För varje mål som görs släpper ett annat lag in det, dvs. för varje mål ett lag går plus på målskillnaden måste ett annat lag gå minus. Det betyder att om man summerar alla målskillnader ska summan bli 0. Summan av de första lagens målskillnad blir +5+(-2)=3. Det betyder att lag C har en målskillnad på -3.

Lag A har 6 poäng. Det enda sättet att få det är att vinna båda sina matcher, så Lag A vann över Lag B och C. Lag C har 0 poäng så de måste ha förlorat båda sina matcher. Det betyder att Lag B har vunnit en match och förlorat en match. Det ger dem en totalpoäng på 3+0=3.

Hur kan Lag C's matcher ha slutat? De har 0 poäng så de måste ha förlorat båda matcher. De har inte själva gjort några mål så de det enda resultaten som kan ge dem målskillnaden -3 är om deras matcher slutade 0-1 och 0-2.

Titta nu på Lag A. De har vunnit båda sina matcher och har gjort 5 mål. De har även en målskillnad på +5. Det betyder att de inte kan ha släppt in något mål. I så fall hade de haft en lägre målskillnad. Hur kan deras matcher ha slutat? Det finns två scenarier.

Vi tittar på dem, ett i taget.

Fall 1

Vi tittar på fallet där Lag A vinner sina matcher med 3-0 och 2-0.

Om Lag A vinner en match med 2-0, måste det vara den match som Lag C förlorar med 0-2, eftersom Lag C inte har förlorat en match med 0-3. Det betyder att Lag A vinner mot Lag B med 3-0 och att Lag C's andra förlust, med 0-1, var mot Lag B.

I det här fallet förlorar Lag B mot Lag A med 3-0. Nu tittar vi på det andra fallet.

Fall 2

Här vinner Lag A sina matcher med 4-0 och 1-0. Målresultaten för Lag C är fortfarande samma.

Den match som Lag A vinner med 1-0 måste vara den som Lag C förlorar med 0-1, eftersom de inte förlorar någon match med 0-4. Det betyder att Lag A vinner sin match mot Lag B (den andra matchen) med 4-0 och att Lag C's 0-2-förlust var mot Lag B.

I det här fallet förlorar Lag B med 0-4 mot Lag A.

Slutsats

Det bästa resultatet Lag B kan ha fått mot Lag A är alltså förlust med 3-0 dvs. det första fallet.

Nu ser vi att Lag B har gjort 1 mål (mot Lag C) vilket ger följande tabell.

Vi kan börja med att förenkla bråket.

Uttrycket var alltså ett krånligare sätt att skriva a/6. Vi likställer detta med hundra och löser ut a.

a ska alltså väljas till 600 vilket är ett jämnt heltal. Hur blir det med b och c? Vi vet att a ska vara det största talet, b det nästa största och c det minst. Så länge denna olikhet håller och vi väljer jämna heltal är vi fria att välja vilka värden vi vill. Varför inte: b=200 och c=- 1 202. Eftersom dessa variabler förkortas bort i förenklingen påverkar de inte kvotens värde. Endast a påverkar värdet och är därmed den intressanta variabeln.

Vi vet att X är större än Y. Det innebär i sin tur att X-Y är positivt, på samma sätt som 4-2 är positivt eftersom 4 är större än 2. I nämnaren står det Y-X och är negativt eftersom Y är mindre än X. Vi visar positiva summor med röd färg och negativa summor med grön. (X-Y)(Z-W)/Y-X Vi skriver om kvoten en aning.

Till vänster har vi nu ett bråk med positiv täljare och negativ nämnare. Det betyder att detta bråk är negativt, och vi vet att hela den ursprungliga kvoten ska bli positiv: Negativ*(Z-W)= Positiv. För att uppfylla detta måste Z-W vara negativt eftersom produkten av två negativa tal blir positiv. För att Z-W ska bli negativt måste W vara större än Z. Om kvoten är positiv innebär det alltså att W är större än Z.

Vi har fått det givet att Y är mindre än X och att X i sin tur är mindre än Z. I förra deluppgiften kom vi dessutom fram till att Z är mindre än W, så vi vet hur alla talen förhåller sig till varandra. Med hjälp av olikheter kan vi skriva detta på ett mer kompakt sätt. Y

Tecknet för Z+W-X

Både Z och W är större än X. Då måste även summan av dem vara större än X. Ett tal subtraheras från någonting större, vilket betyder att detta uttryck är positivt.

Tecknet för Y-Z och Y-W

Y är mindre än alla tal. Därför måste båda dessa differenser bli negativa.

Tecknet för X+W-Y

X och W är båda större än Y. Då är även summan av dem större än Y. Detta betyder att Z+W-Y är positivt.

Tecknet för X-W

Eftersom X är mindre än W kommer denna differens att bli negativ.

Kvoten

Nu vet vi tecknet på varje faktor som ingår i kvoten. Vi använder det för att bestämma dess tecken: Positiv* Negativ* Negativ/Positiv* Negativ. Produkten av de två negativa talen i täljaren är positiv och produkten av det positiva och negativa talet i nämnaren är negativ. Det ger oss Positiv* Positiv/Negativ. Täljaren är positiv och nämnaren negativ. Det betyder att kvoten är negativ.