Ändringskvot och Sekant: Utforska Lutning och Sekant

$x$	$2 \cdot 1 . 1^{x}$	$y$
$10$	$2 \cdot 1 . 1^{10}$	$\sim 5.187$
$30$	$2 \cdot 1 . 1^{30}$	$\sim 34.899$

x

2 \cdot 1 . 1^{x}

y

10

2 \cdot 1 . 1^{10}

\sim 5.187

30

2 \cdot 1 . 1^{30}

\sim 34.899

En sekant skär grafen till

y = x^{3}

i tre punkter. Den ena punkten är

(- 2, - 8) .

Bestäm

x

-koordinaterna till sekantens övriga skärningspunkter med grafen om du vet att ändringskvoten för funktionen är

4

mellan varje par av punkter.

Eftersom en ändringskvot kan tolkas som lutningen på en sekant så finns det tillräckligt med information för att bestämma sekantens ekvation. Genom att sätta in k=4 samt koordinaterna från punkten (- 2, - 8) i räta linjens ekvation y=kx+m kan vi lösa ut sekantens m-värde.

Vi ser att m=0, så sekantens ekvation är y=4x. Likställer vi denna med funktionen y=x^3 får vi en ekvation som vi kan lösa för att bestämma på de x-värden där sekanten och funktionen skär varandra.

Vi kan bryta ut x och lösa ekvationen med nollproduktmetoden.

Utöver punkten (-2,-8) finns alltså skärningspunkter där x=0 och x=2.

Funktionen

f (x)

är definierad som

f (x) = 2 x^{3} - 28 x^{2} + 100 x .

För vilket eller vilka värden på

b

gäller att funktionens ändringskvot på intervallet

0 \leq x \leq b

är lika med

10 ?

Vi börjar med att bestämma två punkter på intervallet, som i metoden för att bestämma ändringskvoten. Vi vet att ändpunkterna på det sökta intervallet är x=0 och x=b. Sätter vi in dessa i funktionen får vi f(0) = 2* 0^3 - 28 *0^2 + 100 * 0 = 0, vilket innebär att origo är en av punkterna. För x = b byter man helt enkelt ut x mot b, vilket ger f(b) = 2b^3 - 28b^2 + 100b. Den andra punkten har alltså x-koordinaten b och y-koordinaten 2b^3 - 28b^2 + 100b. Vi sätter in dessa i k-formeln och förenklar för att bestämma ett uttryck för ändringskvoten.

Vi vill nu att ändringskvoten vara lika med 10, vilket ger 2b^2 - 28b + 100 = 10. Nu vill vi bestämma b, så vi förenklar ekvationen och löser ut b med pq-formeln.

Det finns alltså två värden på b som uppfyller detta, b=5 och b=9. Det här tolkas grafiskt som att en sekant genom origo med lutningen 10 skär tredjegradskurvan där x=5 och x=9.

I koordinatsystemet syns grafen till $f (x) = x^{2} - 3 x + 2$ samt en tangent som skär grafen i punkten $(3, 2) .$

Uppskatta tangentens lutning med en ändringskvot. Svara med en decimal.

Vi kan inte bestämma tangentens lutning, eftersom vi endast känner till en punkt på linjen. Vår uppgift är istället att uppskatta lutningen med en ändringskvot, vilket vi kan tolka som lutningen på en sekant. Vi tänker oss alltså att vi ritar in en sekant (grön i figuren), som har en lutning som är nästan samma tangentens.

Vi zoomar in för att förtydliga vad vi gör. Vi drar alltså en sekant som har en lutning som liknar tangentens och använder punkterna där sekanten skär kurvan för att bestämma dess lutning. Sekanten kan t.ex. gå genom punkten (3.1, f(3.1)).

Vi bestämmer därför f(3.1).

Nu kan vi bestämma ändringskvoten mellan punkterna (3,2) och (3.1,2.31).

Ändringskvoten mellan punkterna är 3.1 vilket är ett ungefärligt värde på tangentens lutning. Vi skulle även kunna välja en punkt som ligger ännu närmare x=3 i x-led och få en bättre uppskattning.

Tredjegradsfunktionen

f

har ändringskvoten

0.5

mellan punkterna

(0, f (0))

och

(2, f (2)) .

Samma ändringskvot gäller mellan

(2, f (2))

och

(6, f (6)) .

Bestäm ändringskvoten mellan

(0, f (0))

och

(6, f (6)) .

Motivera.

En ändringskvot kan tolkas som lutningen på en sekant, så vi ska alltså bestämma lutningen på sekanten mellan två punkter, (0, f(0)) och (6, f(6)). Vi börjar med en skiss där vi låter en sekant mellan punkterna (0, f(0)) och (2, f(2)) på en godtycklig tredjegradsfunktion ha lutningen 0.5. Det kan t.ex. se ut som i figuren.

På motsvarande sätt ska den sekant som dras mellan punkterna (2, f(2)) och (6, f(6)) också ha lutningen 0.5.

De båda sekanterna har alltså samma lutning och delar en punkt, (2,f(2)), vilket innebär att de är delar av samma sekant. Därför kan vi dra slutsatsen att även sekanten mellan (0, f(0)) och (6, f(6)) har samma lutning, nämligen 0.5.

Eftersom ändringskvoten är samma som sekantens lutning är alltså svaret att den är 0.5 mellan punkterna (0, f(0)) och (6, f(6)).

För funktionen

f (x) = 4 x^{2}

är ändringskvoten

28

mellan

x = a

och

x = 2 .

Bestäm

a .

Ändpunkterna på intervallet vi ska beräkna ändringskvoten för har x-värdena a och 2, och vi får motsvarande y-värden genom att sätta in dessa i f(x). Vi börjar alltså med att bestämma f(a) och f(2). Uttrycket för f(a) får vi genom att ersätta x med a: f( a)=4 a^2.

Värdet för f(2) får vi genom att sätta in x=2 och beräkna.

Ändpunkterna är alltså (a,4a^2) och (2,16). Vi kan nu ställa upp ändringskvoten och sätta den lika med 28. Skriver vi sedan om den lite får vi en andragradsekvation.

Denna ekvation kan vi lösa med exempelvis pq-formeln.

Vi får två värden: a=2 och a=5. Är båda svaren rimliga? Vi går tillbaka till uppgiftsformuleringen och ser att det ska vara en ändringskvot på 28 mellan x=2 och x=a. Om a vore 2 skulle de två punkterna vi ska räkna ändringskvoten mellan alltså sammanfalla. Att a=2 är därför orimligt, eftersom vi behöver två olika punkter för att bestämma en ändringskvot. Vi inser också att svaret a=2 är orimligt pga. ändringskvoten 28 = 4a^2-16a-2 är odefinierad om a=2. Det enda rimliga svaret är alltså a=5.

Medellutning

Lutning

Enhet för lutning

Regel

Sekant

Exempel

Bestäm sekantens ekvation

Ändringskvot

Exempel

Bestäm och tolka ändringskvoten

Beräkna ändringskvot

Medellutning

Rekommenderade uppgifter

	7 sidor teori
	19 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.