Ändringskvot och Sekant: Utforska Lutning och Sekant

$x$	$2 \cdot 1 . 1^{x}$	$y$
$10$	$2 \cdot 1 . 1^{10}$	$\sim 5.187$
$30$	$2 \cdot 1 . 1^{30}$	$\sim 34.899$

x

2 \cdot 1 . 1^{x}

y

10

2 \cdot 1 . 1^{10}

\sim 5.187

30

2 \cdot 1 . 1^{30}

\sim 34.899

På intervallet $a \leq x \leq 1.6$ är ändringskvoten för funktionen $0.48 .$ Bestäm koordinaterna för punkten $(a, a + 0.3) .$

Grafen till en andragradsfunktion y=0.8x^2-1.5 och två punkter.

Eftersom vi känner till vad ändringskvoten på intervallet är så kan vi sätta in ändpunkterna i formeln för ändringskvot och lösa ut a.

I punkten (a,a+0.3) motsvaras x-koordinaten av a, så den är -1. Vi adderar 0.3 till -1 för att bestämma y-koordinaten, a+0.3: a+0.3=-1+0.3=-0.7. Punkten (a,a+0.3) har alltså koordinaterna (-1,-0.7).

Den $1$ januari år $2017$ var värdet på en av Oves skogsaktier $2$ kr. Under året steg den sedan med i genomsnitt med $0.50$ kr per månad fram till $31$ december. Skissa en graf som visar hur aktiens värde kan ha varierat under årets månader.

Från informationen vet vi att aktien steg med i genomsnitt 0.50 kr per månad. På 12 månader motsvarar det en total ökning på 0.50 * 12 = 6 kr, dvs. den ökar från 2 kr i januari till att vara värd 8 kr i december. I övrigt vet vi inget om hur aktiens pris har varierat under årets lopp. En möjlig graf hade kunnat vara som den blå.

Grafen ska alltså börja på 2 kr i januari och sluta på 8 kr i december. Oavsett hur grafen ser ut däremellan kommer den röda ändringskvoten vara 0.50 kr per månad.

I koordinatsystemet syns andragradskurvan $y = - x^{2} + 7 x - 9$ och en sekant, samt en av sekantens skärningspunkter med kurvan.

Vad är ändringskvoten mellan de punkter där sekanten skär andragradskurvan?

Bestäm sekantens andra skärningspunkt med kurvan.

Ändringskvoten kan tolkas som lutningen på sekanten, vilken är konstant. För att bestämma lutningen kan vi därför välja vilka två punkter som helst på sekanten, inte nödvändigtvis skärningspunkterna. Här väljer vi punkterna (3,3) och (4,0).

Nu bestämmer vi sekantens lutning, vilket är detsamma som ändringskvoten.

Ändringskvoten är alltså - 3.

Om vi kan bestämma sekantens ekvation, y=kx+m, kan sekantens skärningspunkter med andragradsfunktionen bestämmas genom att lösa ekvationen -x^2+7x-9=kx+m.

Vi vet att k=-3 samt en av punkterna på sekanten, t.ex. (4,0). Genom att sätta in detta i räta linjens ekvation kan vi lösa ut m-värdet.

Sekanten har alltså ekvationen y=-3x+12. Vi likställer nu denna med andragradskurvan för att hitta skärningspunkternas x-värden.

För att lösa ut x använder vi pq-formeln.

Utöver x=3 skär alltså sekanten andragradskurvan i x=7. Till sist sätter vi in detta x-värde i sekantens ekvation eller andragradskurvan, för att bestämma motsvarande y-värde. Det spelar ingen roll vilken vi väljer eftersom y-värdet är samma för detta x. Här sätter vi in i sekantens ekvation: y=- 3* 7+12=- 9. Den andra skärningspunkten är alltså (7,- 9).

Michelle har under de senaste åren jobbat extra i en butik och tabellen nedan visar hennes timlön under dessa år.

$x$ (år)	$2012$	$2013$	$2014$	$2015$	$2016$	$2017$
$y$ (kr)	$94$	$95$	$98$	$103$	$104$	$109$

Beräkna ändringskvoterna för lönen

2012

2015

respektive

2015

2017

Ändringskvoter beräknas enligt formeln Δ y/Δ x = y_2-y_1/x_2-x_1. Vi börjar med att beräkna ändringskvoten för den första tidsperioden. Vi kan se hennes lön vid de två tillfällena som två punkter: (2012, 94) och (2015,103). Det ger oss Δ y/Δ x=103-94/2015-2012= 3 Ändringskvoten för den andra tidsperioden blir på motsvarande sätt Δ y/Δ x=109-103/2017-2015= 3

En ändringskvot beskriver en genomsnittlig förändring under ett intervall. I det här fallet är det Michelles lön som ändrar sig över tid, så ändringskvoten kan tolkas som medelökningen för hennes lön under tidsperioderna. Enheten för ändringskvoten får vi genom att dividera enheterna: kr/år Hennes genomsnittliga löneökning under de tre första åren var alltså lika stor som under de två sista åren: 3 kr/år.

Finns det någon skillnad mellan

k

-värde och ändringskvot? Motivera!

En ändringskvot beskriver en funktions genomsnittliga förändring på ett intervall. Om funktionen är icke-linjär kommer ändringskvoten vara olika på olika intervall. Det kan vi se genom att studera lutningen på sekanter som går mellan olika intervalls ändpunkter, eftersom en sådan lutning beräknas med en ändringskvot. Om sekanternas lutningar varierar gör även ändringskvoterna det.

Om funktionen är linjär kommer ändringskvoten däremot vara samma oavsett vilket intervall den beräknas på. Detta värde motsvarar linjens lutning, dvs. dess k-värde.

Sammanfattningsvis beskriver alltså en ändringskvot en genomsnittlig förändring på ett intervall för vilken funktion som helst medan ett k-värde anger lutningen på en rät linje.

Medellutning

Lutning

Enhet för lutning

Regel

Sekant

Exempel

Bestäm sekantens ekvation

Ändringskvot

Exempel

Bestäm och tolka ändringskvoten

Beräkna ändringskvot

Medellutning

Rekommenderade uppgifter

	7 sidor teori
	19 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.