{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
arrow_left {{ state.menu.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
arrow_left {{ state.menu.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
arrow_left {{ state.menu.current.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
Mathleaks
Använd offline
Expandera meny menu_open
close expand
Derivata

Medellutning

Begrepp

Lutning

Lutningen för en graf anger hur y-värdet ökar eller minskar för större och större x-värden, dvs. hur mycket den växer eller avtar. Om lutningen är positiv innebär det att funktionen växer medan en negativ lutning innebär att den avtar. För en horisontell linje, som varken ökar eller minskar, är lutningen 0.

Positiv, negativ och ingen lutning

Räta linjer har en konstant lutning som kan läsas av direkt som k-värdet, men för funktioner som inte är räta ändrar sig lutningen med x-värdet. För andragradsfunktionen nedan är grafens lutning negativ när x är negativt och positiv när x är positivt, och ju längre från origo man går desto brantare blir grafen.

Regel

Enhet för lutning

När en grafs lutning tolkas som en förändringshastighet går det att bestämma dess enhet med hjälp av enheterna på koordinataxlarna.

Regel

Det går att motivera detta samband med hjälp av en graf som t.ex. visar en cykelresa, där x-axeln har enheten minuter och y-axeln har enheten kilometer från en viss startpunkt.

Lutningen på ett intervall, t.ex. de första 20 minuterna, kan beräknas med k-formeln:
När värdena divideras kommer även enheterna från diagrammet att divideras, och lutningen får då enheten km/min.

Begrepp

Sekant

En rät linje som skär en kurva mer än en gång, dvs. två eller fler gånger, kallas för en sekant. Exempelvis är den röda linjen i koordinatsystemet en sekant eftersom den skär den blå kurvan två gånger.

Kurvan behöver inte vara grafen till en funktion. En rät linje som skär en geometrisk figur på två ställen är också en sekant. Om den geometriska figuren är en cirkel kallas den delen av sekanten som befinner sig inuti cirkeln för korda.

Exempel

Bestäm sekantens ekvation

fullscreen

Bestäm ekvationen för den sekant som funktionen f(x) har mellan x=-4 och x=1.

Visa Lösning expand_more

Eftersom en sekant är en rät linje har den en ekvation på formen y=kx+m. Enligt uppgiften ska sekanten gå mellan x=-4 och x=1, så vi markerar dessa punkter på grafen till f(x) och drar en rät linje genom dem.

Vi ser att sekanten går igenom punkterna (-4,0) och (1,4). För att bestämma ekvationen till denna räta linje börjar vi med att bestämma k-värdet genom att sätta in punkterna i k-formeln.

k=0.8

Sätter vi in detta i ekvationen får vi y=0.8x+m. Vi bestämmer sedan m-värdet genom att sätta in en av punkterna i ekvationen och lösa ut m.

y=0.8x+m
4=0.81+m
4=0.8+m
3.2=m
m=3.2
Genom att sätta in m=3.2 ser vi att sekanten har ekvationen
y=0.8x+3.2.

Regel

Ändringskvot

En ändringskvot, beskriver den genomsnittliga förändringen för en funktion på ett intervall. Den kan till exempel beskriva medelhastigheten för en bil under en viss tid eller medeltillväxten för bakterier under ett experiment. För att beräkna ändringskvoten bestämmer man ändpunkterna på intervallet, (x1,y1) och (x2,y2), och dividerar förändringen i y-led med den i x-led.

Man använder alltså en motsvarighet till k-formeln och resultatet kan tolkas som medellutningen över intervallet. Ändringskvoten kan dock beräknas för vilken funktion som helst, till skillnad från k-värdet som endast kan beräknas för räta linjer. Ett annat sätt att tolka ändringskvoten är som lutningen för den sekant som ritas mellan intervallets ändpunkter.

Exempel

Bestäm och tolka ändringskvoten

fullscreen

Johanna har värmt en macka som hon ska äta när hon spelar datorspel. Hon sätter igång spelet 5 minuter efter att mackan är färdig men blir så distraherad att hon glömmer att äta den i ytterligare 15 minuter. Grafen visar mackans temperatur T i C som en funktion av tiden t i minuter.

Bestäm och tolka ändringskvoten mellan t1=5 och t2=20.

Visa Lösning expand_more
Ändringskvoten kan i vårt fall beräknas med formeln
där vi vet från uppgiften att t1=5 och t2=20. Värdena på T1 och T2 kan vi läsa av från koordinatsystemet. Eftersom punkterna inte sitter på värden som är lätta att läsa av blir de ungefärliga. Vi kan också om vi vill rita en sekant mellan punkterna.

Nu sätter vi in i formeln och beräknar ändringskvoten.

Vi får ett negativt värde på ändringskvoten, vilket innebär att det är en minskning. Enheten får vi genom att dividera y-axelns enhet med x-axelns vilket ger oss enheten
Eftersom en ändringskvot beskriver en genomsnittlig förändring kan alltså tolkas som att mackan svalnade med i genomsnitt ungefär /minut mellan 5 och 20 minuter efter att mackan värmts klart.

Metod

Beräkna ändringskvot

För att beräkna en funktions ändringskvot på intervallet mellan x1 och x2 använder man formeln
Om man har funktionens graf kan man direkt läsa av koordinaterna, men man måste inte ha tillgång till den utan det går även bra med funktionsuttrycket eller ibland en värdetabell. Man kan t.ex. bestämma ändringskvoten för funktionen på intervallet mellan x=10 och x=30.
1
Bestäm intervallets ändpunkter
expand_more

Om ändpunkternas x-koordinater är givna, som i det här fallet, kan ändpunkternas y-värden beräknas genom att sätta in x-värdena i funktionsuttrycket.

x y
10 5.187
30 34.899

Intervallets ändpunkter är i det här fallet ungefär (10,5.187) och (30,34.899). Genom att behålla många decimaler undviker man stora avrundningsfel.

2
Sätt in koordinaterna i formeln
expand_more
Nu sätter vi in koordinaterna i formeln och beräknar ändringskvoten.
Ändringskvoten är ungefär 1.5.
arrow_left
arrow_right
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward
arrow_left arrow_right
close
Community