Ändringskvot och Sekant: Utforska Lutning och Sekant

$x$	$2 \cdot 1 . 1^{x}$	$y$
$10$	$2 \cdot 1 . 1^{10}$	$\sim 5.187$
$30$	$2 \cdot 1 . 1^{30}$	$\sim 34.899$

Vilka av följande grafer har hela tiden negativ lutning?

Fyra olika funktionsgrafer i ett koordinatsystem.

När lutningen är negativ sjunker y-värdet när x-värdet ökar, dvs. grafen går neråt när man går åt höger i koordinatsystemet. Det finns två grafer som detta stämmer för: g(x) och h(x).

Svaret är alltså g(x) och h(x).

Ray och Ari ska beräkna medellutningen för funktionen

y = 3.21 x + 4.5

mellan

x = - 3

och

x = 7 .

Ray börjar beräkna intervallets ändpunkter men Ari säger "Sluta, du gör det svårare än vad det är!" Har Ari rätt? Motivera!

Funktionen y=3.21x+4.5 är en rät linje. Dessa har konstant lutning så medellutningen kommer motsvara denna, och kan alltså direkt läsas av som funktionens k-värde 3.21.

Till grafen till $y = x^{2}$ har två sekanter ritats.

Bestäm ändringskvoten för

y = x^{2}

på intervallet mellan

x = - 2

och

x = - 1 .

Bestäm ändringskvoten för

y = x^{2}

på intervallet mellan

x = - 1

och

x = 2 .

Eftersom ändringskvoten kan tolkas som lutningen för den sekant som ritats mellan ändpunkterna på intervallet kan vi bestämma ändringskvoten genom att bestämma den röda sekantens lutning.

Lutningen kan beräknas med k-formeln men också avläsas i koordinatsystemet som förändringen i y-led när x ökar med 1. Vi ser att y-värdet minskar med 3 när x ökar med 1, vilket innebär att den har lutningen -3. Därför är även ändringskvoten -3.

Vi gör nu samma sak fast för den gröna sekanten, dvs. läser av förändringen i y-led när x-värdet ökar med 1. Kom ihåg att vi inte måste använda punkterna som ligger på kurvan till y=x^2. Vilka punkter som helst på sekanten går bra att använda.

y-värdet ökar alltså med 1 när x ökar med 1, så ändringskvoten är 1.

Henrik köper aktier i ett nystartat företag för $1000$ kr. Efter $30$ år har värdet på aktierna ökat till $30000$ kr.

Med hur många procent har aktiernas värde vuxit per år i genomsnitt? Svara i hela procent.

Vad är medelökningen i kr/år under de

30

åren? Svara i hela kronor.

Vi antar att värdet växer varje år med en viss förändringsfaktor som vi kan kalla a. Detta betyder att mängden pengar, y, kan beskrivas med en exponentialfunktion y=C* a^x, där C är startvärdet, x är tiden i år och a är räntan uttryckt som en förändringsfaktor. Startvärdet är 1000 kr, aktiernas värde efter 30 år är 30 000 kr och x är antalet år. Vi sätter in dessa värden.

Förändringsfaktorn är cirka 1.12 vilket betyder att den årliga procentuella ökningen var 12 %.

Eftersom vi vill ta reda på den genomsnittliga ökningen beräknar vi ändringskvoten för funktionen mellan x_1=0 och x_2=30. Värdet vid x_1 är y_1=1000 och för x_2 är det y_2=30 000. Vi sätter in detta i formeln för att beräkna ändringskvoter.

Medelökningen är 967 kr/år.

I figuren är grafen till funktionen $f (x)$ utritad.

Grafen till f(x) som är en tredjegradsfunktion.

Bestäm ekvationen för den sekant som skär $f (x)$ i de angivna $x$ -koordinaterna.

x = 1, x = 3

x = 3, x = 5

x = 1, x = 5

Vi markerar först de punkter på grafen som har x-värdena 1 och 3 och drar sedan en sekant genom dem.

Vi söker nu ekvationen y = kx + m till denna sekant. Vi läser av de två punkterna som (1,1) och (3,4) och sätter in dem i k-formeln för att bestämma linjens k-värde.

Nu när vi vet k-värdet kan vi t.ex. sätta in punkten (1,1) i y = 1.5x + m och lösa ut m.

Sekantens ekvation är alltså y = 1.5x - 0.5.

Vi gör på samma sätt och ritar ut sekanten som går mellan de två x-värdena.

Den första punkten känner vi igen från förra uppgiften, (3,4), och den andra läser vi av som (5,1). Vi använder dessa för att bestämma k-värdet med hjälp av k-formeln.

Nu när vi har k-värdet sätter vi t.ex. in punkten (3,4) i ekvationen y = - 1.5x + m och löser ut m.

Vi sätter in k- och m-värdet, vilket ger ekvationen y = - 1.5x + 8.5.

Till sist ska vi bestämma ekvationen till den sekant som skär grafen när x = 1 och x = 5. Vi sätter ut dessa punkter och ritar linjen.

Det går att använda koordinaterna för punkterna på samma sätt som tidigare för att räkna ut k- och m-värdet, men i det här fallet behöver vi inte det utan kan läsa av ekvationen direkt. Sekanten är en horisontell linje som skär y-axeln vid 1, vilket innebär att den har ekvationen y = 1.

En sekant skär kurvan till

y = x^{3} - 5 x + 3

(- 2, 5)

och

(2, 1) .

Vad är ändringskvoten mellan punkterna?

Vi behöver inte använda funktionsuttrycket eftersom vi redan har fått punkterna vi ska bestämma ändringskvoten för. Genom att sätta in punkterna i formeln Δ y/Δ x=y_2-y_1/x_2-x_1

kan vi bestämma ändringskvoten.

Ändringskvoten mellan punkterna är alltså - 1. I figuren syns sekanten och funktionens graf.

Bestäm ändringskvoten mellan $x = 1$ och $x = 4$ för funktionen. Avrunda till två decimaler.

f (x) = - 4 x + 5

g (x) = 5 \cdot 2^{x}

h (x) = \frac{2 x + 5}{4 x - 2}

f(x)=-4x+5 är en rät linje, och räta linjer har samma lutning överallt. Det betyder att oavsett vilka två punkter man väljer kommer ändringskvoten vara samma: linjens k-värde. k-värdet för linjen är -4 vilket betyder att ändringskvoten Δ y/Δ x=-4.

För att bestämma ändringskvoten mellan x=1 och x=4 kan vi också beräkna funktionsvärdena i de punkterna. Vi sätter därför in dem i f(x) och beräknar.

x	- 4x+5	y
1	- 4* 1+5	1
4	-4* 4+5	- 11

Nu använder vi dessa x- och y-värden och beräknar ändringskvoten.

Ändringskvoten är -4.

Precis som i metoden "Beräkna ändringskvot" sätter vi in x-värdena i funktionen och beräknar motsvarande y-värden.

x	5*2^x	y
1	5*2^1	10
4	5*2^4	80

Nu kan vi beräkna ändringskvoten.

Ändringskvoten är ungefär 23.33.

Vi gör på samma sätt och beräknar y-värdena för x=1 och x=4.

x	2x+5/4x-2	y
1	2* 1+5/4* 1-2	7/2
4	2* 4+5/4* 4-2	13/14

Nu kan vi beräkna ändringskvoten.

Grafen visar sträckan i meter $s$ för en cykel som färdats i $t$ sekunder.

Beräkna medelhastigheten för följande intervall.

0

4

sekunder

4

8

sekunder

För att bestämma medelhastigheten mellan 0 och 4 sekunder behöver vi ändpunkterna för intervallet. Dena ena är origo, och den andra är (4,40).

Eftersom den första punkten ligger i (0,0) kan vi beräkna ändringskvoten genom att dela s-värdet med t-värdet för den andra punkten: Δ s/Δ t=40/4=10 m/s. Den sekant som kan dras genom ändpunkterna kommer alltså att ha lutningen 10.

Nu ska vi bestämma medellutningen mellan (4,40) och punkten på grafen med t-värdet 8.

Den vänstra punkten har koordinaterna (4,40). Den andra punkten är lite mer svåravläst, men t-värdet ser ut att vara ungefär 56. Nu kan vi beräkna ändringskvoten mellan punkterna.

Medelhastigheten mellan 4 och 8 sekunder är alltså cirka 4 m/s. Det betyder att den sekant som kan dras genom punkterna har lutningen 4.

Figuren visar funktionen $T (x)$ som beskriver hur en kall läskburk ökar i temperatur $t$ timmar efter att den tagits ut ur ett kylskåp och ställts i rumstemperatur.

Bestäm den genomsnittliga temperaturökningen för läsken från en timme efter att den tagits ut till fyra timmar efter att den tagits ut. Ange svaret med en decimal.

Att beräkna den genomsnittliga temperaturökningen mellan den första och fjärde timmen är detsamma som att beräkna funktionens ändringskvot på intervallet mellan t=1 och t=4. För att beräkna denna ändringskvot måste vi ha koordinaterna för intervallets ändpunkter, så vi läser av dessa så gott det går.

Koordinaterna för ena punkten verkar vara ca (1,16) och för den andra ungefär (4,20). Vi sätter in dessa i k-formeln för att bestämma ändringskvoten.

Den genomsnittliga temperaturökningen mellan den första och fjärde timmen var alltså ca 1.3^(∘)C per timme.

Medellutning

Lutning

Enhet för lutning

Regel

Sekant

Exempel

Bestäm sekantens ekvation

Ändringskvot

Exempel

Bestäm och tolka ändringskvoten

Beräkna ändringskvot

Medellutning

Rekommenderade uppgifter

	7 sidor teori
	19 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.